1、第2课时 等比数列的性质 1.1.了解等比数列的单调性与首项了解等比数列的单调性与首项a a1 1及公比及公比q q的关系的关系. . 2.2.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质结合等差数列的性质，了解等比数列的性质. . 3.3.掌握等比数列的性质，并能综合应用解决有关问题掌握等比数列的性质，并能综合应用解决有关问题. . 1.1.等比数列的常用性质等比数列的常用性质 设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，则，则 (1)a(1)an n=a=am mq qn n- -m m(m(m，nNnN* *).). (2)(2)若若m+n=k+m+n=k+l(m(m，n n，k
2、k，lNN* *) )，则，则_._. a am ma an n=a=ak ka al 2.2.等比数列的单调性等比数列的单调性 (1)(1)当当a a1 100，_或或a a1 11 00 q1q1 q=1q=1 1.1.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a6 6=6=6，a a9 9=9=9，则，则a a3 3=(=( ) ) A.3A.3 B.B. C.C. D.4D.4 【解析解析】选选D.D.由由a a3 3，a a6 6，a a9 9成等比数列，得成等比数列，得a a6 62 2=a=a3 3a a9 9，所以，所以 a a3 3=4.=4. 3 2 16 9 2.2.已
3、知数列已知数列aan n 是等比数列，若是等比数列，若a an n00，且，且a a2 2a a4 4+2a+2a3 3a a5 5+a+a4 4a a6 6=25=25， 则则a a3 3+a+a5 5= = . . 【解析解析】因为因为数列数列aan n 是等比数列，所以是等比数列，所以a a2 2a a4 4= =a a3 32 2， a a4 4a a6 6=a=a5 52 2，所以，所以a a2 2a a4 4+2a+2a3 3a a5 5+a+a4 4a a6 6 = =a a3 32 2+2a+2a3 3a a5 5+a+a5 52 2=(a=(a3 3+ a+ a5 5) )2
4、 2= 25= 25， 又又a an n00，所以，所以a a3 3+a+a5 5=5.=5. 答案：答案：5 5 3.3.在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a3 3a a5 5a a7 7a a9 9a a11 11=243 =243，则，则 = = . . 【解析解析】由由等比数列的性质知等比数列的性质知a a3 3a a11 11=a =a5 5a a9 9= =a a7 72 2得得a a7 75 5=243=243，所以，所以 a a7 7=3=3，而，而a a7 7a a11 11=a =a9 92 2，所以，所以 =a=a7 7=3.=3. 答案：答案：3 3 2 9
5、11 a a 2 9 11 a a 等比数列的性质等比数列的性质 探究探究1 1：已知等比数列：已知等比数列aan n ：1 1，2 2，4 4，8 8，1616，2 2n n- -1 1， (1)(1)计算计算a a1 1a a4 4= = ；a a2 2a a3 3= = . .并说明并说明a a1 1a a4 4与与a a2 2a a3 3有什有什 么关系？它们项数之间有什么关系？么关系？它们项数之间有什么关系？ 提示：提示：a a1 1a a4 4=8=8，a a2 2a a3 3=8=8，所以，所以a a1 1a a4 4=a=a2 2a a3 3；项数之和对应相等，；项数之和对应相
6、等， 即即1+4=2+3.1+4=2+3. (2)(2)若项数满足若项数满足4+5=2+74+5=2+7，那么项之间满足，那么项之间满足a a4 4a a5 5=a=a2 2a a7 7吗？吗？ 提示提示：满足，因为满足，因为a a4 4=2=23 3=8=8，a a5 5=2=24 4=16=16，a a2 2=2=2， a a7 7=2=26 6=64=64，所以，所以a a4 4a a5 5=128=a=128=a2 2a a7 7. . (3)(3)若若m+n=p+m+n=p+l(m(m，n n，p p，lNN* *) )，那么，那么a am ma an n=a=ap pa al吗？吗
7、？ 提示提示：相等，相等，a am ma an n=2=2m m- -1 12 2n n- -1 1=2=2m+n m+n- -2 2， ， a ap pa al=2=2p p- -1 12 2l- -1 1=2=2p+ p+l- -2 2， ，因为因为m+n=p+m+n=p+l， 所以所以m+nm+n- -2=p+2=p+l- -2 2，所以所以a am ma an n=a=ap pa al. . 探究探究2 2：对任意的等比数列：对任意的等比数列aan n ，若有，若有m+n=p+m+n=p+l(m(m，n n，p p，lNN* *) )， 那么那么a am ma an n=a=ap pa
8、 al吗？吗？ 提示：提示：相等，设等比数列相等，设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，则，则a am m=a=a1 1q qm m- -1 1， a an n=a=a1 1q qn n- -1 1，a ap p=a=a1 1q qp p- -1 1，a al=a=a1 1q ql- -1 1，a am ma an n= a= a1 1q qm m- -1 1a a1 1q qn n- -1 1= =a a1 12 2 q qm + n m + n- -2 2， ， a ap pa al= a= a1 1q qp p- -1 1a a1 1q ql- -1 1= =a a1 12 2q
9、 qp + p + l- -2 2， ， 因为因为m+n=p+m+n=p+l，所以所以a am ma an n=a=ap pa al. . 探究探究3 3：对任意的等比数列：对任意的等比数列aan n ，若，若a am ma an n=a=ap pa al(m(m，n n，p p， lNN* *) )，则，则m+n=p+m+n=p+l吗？吗？ 提示：提示：不一定相等，当数列不一定相等，当数列aan n 为常数列时，为常数列时，m+nm+n与与p+p+l不一定不一定 相等相等. . 【探究总结探究总结】 1.1.等比数列性质的关注点等比数列性质的关注点 (1)(1)利用性质利用性质m+n=p+q
10、m+n=p+qa am ma an n=a=ap pa aq q时要注意只有序号之和时要注意只有序号之和 相等时才成立，且相等时才成立，且a am ma an n=a=ap pa aq q m+n=p+q.m+n=p+q. (2)(2)性质的特殊情况：若性质的特殊情况：若m+n=2pm+n=2p，则，则a am ma an n= =a ap p2 2. . 2.2.等比数列四个常用性质等比数列四个常用性质 (1)(1)下标成等差数列，则其对应项成等比数列下标成等差数列，则其对应项成等比数列. . (2)(2)从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比从第二项起，每一项都是与它等距离的前后
11、两项的等比 中项中项. . (3)(3)奇数项奇数项( (或偶数项或偶数项) )依次仍组成等比数列依次仍组成等比数列. . (4)(4)若若aan n ，bbn n 都是等比数列，则都是等比数列，则aan nb bn n ， a an n( 0)0)， 仍是等比数列仍是等比数列. . n n a b ， 2 n n 1 a a ， 类型一类型一 利用等比数列的性质求解基本量利用等比数列的性质求解基本量 1.(20141.(2014永安高一检测永安高一检测) )等比数列等比数列aan n 中，首项中，首项a a1 1=1=1，公比，公比 q=2q=2，则数列，则数列aan n2 2 的通项是的通
12、项是 . . 2.2.在等比数列在等比数列aan n 中，已知中，已知a a4 4a a7 7= =- -512512，a a3 3+a+a8 8=124=124，且公比为，且公比为 整数，则整数，则a a10 10= = . . 【解题指南解题指南】1.1.先由先由aan n 为等比数列，求出为等比数列，求出a an n的通项，判断的通项，判断 aan n2 2 是等比数列，再求其通项是等比数列，再求其通项. . 2.2.利用若利用若m+n=p+q(mm+n=p+q(m，n n，p p，qNqN* *) )，则，则a am ma an n=a=ap pa aq q求解求解. . 【自主解答自
13、主解答】1.1.因为因为a an n=2=2n n- -1 1，所以，所以 =4=4， 所以所以aan n2 2 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为4 4的等比数列，故的等比数列，故a an n2 2=4=4n n- -1 1. . 答案：答案：a an n2 2=4=4n n- -1 1 2.2.由由a a4 4a a7 7= =- -512512，得，得a a3 3a a8 8= =- -512.512. 由由 解得解得a a3 3= =- -4 4，a a8 8=128=128或或a a3 3=128=128，a a8 8= =- -4(4(舍舍).). 所以所以q= =q= =-
14、-2.2. 所以所以a a10 10=a =a3 3q q7 7= =- -4(4(- -2)2)7 7=512.=512. 答案：答案：512512 2 n 2 n 1 22 n 1 n 2 a a 2 38 38 a a512 aa124 ， ， 8 5 3 a a 【延伸探究延伸探究】题题2 2条件不变，求数列条件不变，求数列aan n 的通项公式的通项公式. . 【解析解析】由由a a4 4a a7 7= =- -512512，得，得a a3 3a a8 8= =- -512.512. 由由 解得解得a a3 3= =- -4 4，a a8 8=128=128或或a a3 3=128=
15、128，a a8 8= =- -4(4(舍舍).). 所以所以q= =q= =- -2 2， 所以所以a an n=a=a3 3q qn n- -3 3= =- -4 4( (- -2)2)n n- -3 3=(=(- -1)1)n n2 2n n- -1 1. . 38 38 a a512 aa124 ， ， 8 5 3 a a 【规律总结规律总结】解决等比数列问题常用的两种方法解决等比数列问题常用的两种方法 (1)(1)基本量法：利用等比数列的基本量基本量法：利用等比数列的基本量a a1 1，q q，然后求出其他量，然后求出其他量. . 这是等比数列常用的方法，其优点是思路简单、实用这是等
16、比数列常用的方法，其优点是思路简单、实用. .缺点是缺点是 计算较烦琐计算较烦琐. . (2)(2)数列性质法：利用性质整体求值，简化运算过程数列性质法：利用性质整体求值，简化运算过程. .巧妙地利巧妙地利 用性质用性质m+n=p+qm+n=p+qa am ma an n=a=ap pa aq q和和a an na am m= =a ap p2 2 (m + n =2p(m + n =2p，m m，n n， pNpN* *) )可以简化解题过程可以简化解题过程. . 【加固训练加固训练】已知已知aan n 为等比数列，为等比数列，a a4 4+a+a7 7=2=2，a a5 5a a6 6=
17、=- -8 8，则，则 a a1 1+a+a10 10=( =( ) ) A.7A.7 B.5B.5 C.C.- -5 5 D.D.- -7 7 【解析解析】1.1.选选D.D.因为数列因为数列aan n 为等比数列，所以为等比数列，所以a a5 5a a6 6=a=a4 4a a7 7= = - -8 8，联立，联立 解得解得 或或 所以所以q q3 3= =- - 或或 q q3 3= =- -2 2，故，故a a1 1+a+a10 10= +a = +a7 7q q3 3= =- -7.7. 47 47 aa2 a a8 ， ， 4 7 a4 a2 ， 4 7 a2 a4 ， ， 4 3
18、 a q 1 2 类型二类型二 等比数列性质的应用等比数列性质的应用 1.(20151.(2015菏泽高二检测菏泽高二检测) )已知数列已知数列aan n 为正项等比数列，若为正项等比数列，若 a a3 3，a a7 7是方程是方程2x2x2 2- -7x+6=07x+6=0的两个根，则的两个根，则a a1 1a a3 3a a5 5a a7 7a a9 9的的 值是值是( ( ) ) A. A. B.9B.9 C.C.9 9 D.3D.35 5 2.2.已知数列已知数列aan n 为等差数列，公差为等差数列，公差d0d0，由，由aan n 中的部分项组中的部分项组 成的数列成的数列a ab
19、b1 1，a ab b2 2，a ab bn n，为等比数列，其中为等比数列，其中b b1 1=1=1，b b2 2= 5= 5， b b3 3= 17.= 17.求数列求数列bbn n 的通项公式的通项公式. . 21 2 33 【解题指南解题指南】1.1.由根与系数的关系得由根与系数的关系得a a3 3a a7 7=3=3，又，又a a1 1a a9 9= = a a3 3a a7 7=a=a5 52 2，可得，可得a a1 1a a3 3a a5 5a a7 7a a9 9的值的值. . 2.2.根据根据a ab b1 1，a ab b2 2，a ab b3 3成等比数列，得出等差数列成
20、等比数列，得出等差数列aan n 的首项与的首项与 公差的关系，从而求出数列公差的关系，从而求出数列aab bn n 的通项，再根据的通项，再根据a ab bn n为等差数为等差数 列列aan n 中的第中的第b bn n项，求出数列项，求出数列bbn n 的通项的通项. . 【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.因为因为a a3 3，a a7 7是方程是方程2x2x2 2- -7x+6=07x+6=0的两根，故的两根，故 a a3 3a a7 7=3=3， 又根据等比数列的性质得又根据等比数列的性质得 a a1 1a a9 9=a=a3 3a a7 7=a=a5 52 2=3=3，故，故a
21、 a5 5= = ， 所以所以a a1 1a a3 3a a5 5a a7 7a a9 9=3=33 3 =9 .=9 . 3 33 2.2.依题意依题意a a5 52 2=a=a1 1a a17 17，即 ，即(a(a1 1+4d)+4d)2 2= a= a1 1(a(a1 1+16d)+16d)，所以，所以a a1 1d = 2dd = 2d2 2， 因为因为d0d0，所以，所以a a1 1=2d=2d，数列，数列aab bn n 的公比的公比q=q= =3=3， 所以所以a ab bn n=a=a1 13 3n n- -1 1， 又又a ab bn n=a=a1 1+(b+(bn n-
22、-1)d= a1)d= a1 1， 由得由得a a1 13 3n n- -1 1= = a a1 1. . 因为因为a a1 1= 2d0= 2d0，所以，所以b bn n= 2= 23 3n n- -1 1- -1.1. 51 11 aa4d aa n b1 2 n b1 2 【规律总结规律总结】等差、等比数列综合问题的解题技巧等差、等比数列综合问题的解题技巧 对于等差数列、等比数列的综合问题，既可以按等差数列设项，对于等差数列、等比数列的综合问题，既可以按等差数列设项， 也可以按等比数列设项，然后再根据条件求出其他项，一般是也可以按等比数列设项，然后再根据条件求出其他项，一般是 根据条件列
23、方程组求解根据条件列方程组求解. .同时解题时要注意运用等差数列、等同时解题时要注意运用等差数列、等 比数列的性质得出相应的条件，再对式子做出灵活变形求解比数列的性质得出相应的条件，再对式子做出灵活变形求解. . 【变式训练变式训练】已知递增的等比数列已知递增的等比数列aan n 满足满足a a2 2+a+a3 3+a+a4 4=28=28，且，且 a a3 3+2+2是是a a2 2，a a4 4的等差中项的等差中项. . (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)若若b bn n=log=log2 2a an+1 n+1， ，S Sn n是数列是数列bbn
24、 n 的前的前n n项和，求使项和，求使S Sn n42+4n42+4n成成 立的立的n n的最小值的最小值. . 【解析解析】(1)(1)设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，依题意有，依题意有 2(a2(a3 3+2)=a+2)=a2 2+a+a4 4， 又又a a2 2+a+a3 3+a+a4 4=28=28，将代入得，将代入得a a3 3=8.=8.所以所以a a2 2+a+a4 4=20=20， 于是有于是有 解得解得 或或 又又aan n 是递增的，故是递增的，故a a1 1=2=2，q=2.q=2.所以所以a an n=2=2n n. . 3 11 2 1 a qa q20 a q8 ， ， 1 a2 q2 ， 1 a32 1 q 2 ， ， (2)b(2)bn n=log=log2 22 2n+1 n+1=n+1 =n+1，则，则bbn n 为等差数列，为等差数列， 所以所以S Sn n= = 故由题意可得故由题意可得 42+4n42+4n，得，得n12n12或或nn- -7.7. 又又nNnN* *，所以满足条件的，所以满足条件的n n的最小值为的最小值为13.13. 2 2n 1 n3n n. 22 2 n3n 2
