1、2.4 等比数列 第1课时 等比数列 1, 3, 5, 7, 9，; (1) 3, 0, -3, -6, ; (2) 等差数列定义等差数列定义 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项与项起，每一项与 它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做叫做等差数列等差数列，这个常数叫做等差数列的，这个常数叫做等差数列的公差公差，公，公 差通常用字母差通常用字母d d表示表示. . 12341234 ， ， ， ， ， ， ， ， （ （3）3） 1010101010101010 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭庄子曰：
2、“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”.” 意思：意思：“一尺长的木棒，一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也取每日取其一半，永远也取 不完”不完”. . 1111 1 24816 ， 如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为一视为一 份，则每日剩下的部分依次份，则每日剩下的部分依次 为：为： 生活中的数列生活中的数列 1.1.放射性物质镭的半衰期为放射性物质镭的半衰期为1 6201 620年，如果从现年，如果从现 有的有的1010克镭开始，每隔克镭开始，每隔1 6201 620年，剩余量依次为年，剩余量依次为 10 00010 0001.05 , 10 0001.05 , 10 0001.051.05
3、2 2 , 10 000, 10 0001.051.053 3 ， 10 00010 0001.051.054 4 ，10 00010 0001.051.055 5 2.2.某人年初投资某人年初投资10 00010 000元，如果年收益率为，元，如果年收益率为， 那么按照复利计算，年内各年末的本利和依次为那么按照复利计算，年内各年末的本利和依次为 234 1111 10 10,10( ) ,10( ) ,10( ) , 2222 ， 1.1.理解等比数列的概念理解等比数列的概念. .( (重点）重点） 2.2.掌握等比数列的通项公式，通过实例发现数掌握等比数列的通项公式，通过实例发现数 列的等
4、比关系，提高数学建模的能力列的等比关系，提高数学建模的能力（重点、（重点、 难点）难点） 看下列数列：看下列数列： 5. 3，9，27，81，; 1111 2. 1 ; 24 8 16 ， ， ， ， ， 234234 11111111 3.10，3.10，1010 ,10,10 () ,10() ,10 () ,10() ,10 () ,;() ,; 22222222 4.10 000 1.05 , 10 000 1.052 , 10 000 1.053 ， 10 000 1.054 ， 10 000 1.055 ; 234234 1.11.1，2 2，2 2 ，2 2 ，2 , ;2 ,
5、; 探究点探究点1 1：等比数列定义：等比数列定义 思考：它们的共同特点是什么？思考：它们的共同特点是什么？ 提示：从第二项起，每一项与它的前一项的提示：从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数比都等于同一个常数. 1111 6, , , ,. 24816 . 等比数列的定义等比数列的定义: 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项起，每一 项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个 数列叫做数列叫做等比数列等比数列. . 这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比， 公比通常用字母公比通常用字母q q表示表
6、示 (q(q0).0). 等比数列的定义等比数列的定义 * (n2nN )， q a a n n 1 * (n1,nN ) 1n n a q a 或或 3524n 1234n 1 aaaaa q aaaaa 注意：注意： 1.1.公比是公比是等比数列从第等比数列从第2 2项起，每一项与它的项起，每一项与它的 前一项的比，不能颠倒前一项的比，不能颠倒. . 2.2.对于一个给定的等比数列，它的公比是对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个同一个 常数常数. . 写出上面六个等比数列的通项公式写出上面六个等比数列的通项公式( (如下如下) )，类比等差，类比等差 数列的通项公式的推导过程，补全首项
7、是数列的通项公式的推导过程，补全首项是 ，公比，公比 是是q q的等比数列的等比数列 的通项公式的通项公式. . 1 a n a n-1n-1n n-1 nn n 11 1. 2 2. 3. 10 4. 10 0001.05 22 1 5. 3 6. -1 2 （ ）（） （） () 1n aa q n-1 如果一个数列如果一个数列 是等比数列，它的公比是是等比数列，它的公比是q q，那么，那么 , 1 a, 2 a, 3 a, n a ， ， 21 aaq 由此可知，等比数列由此可知，等比数列 的通项公式为的通项公式为 n a 2 321 aaqaq 3 431 aaqaq 4 541 aa
8、qaq 1 1 (0) n n aaqq 设设a an n是公比为正数的等比数列，是公比为正数的等比数列，a a1 1=2,a=2,a3 3=a=a2 2+4.+4.求求 a an n的通项公式的通项公式. . 解：解：设设q q为等比数列为等比数列a an n的公比，由的公比，由a a1 1=2, a=2, a3 3=a=a2 2+4,+4, 得得2q2q2 2=2q+4,=2q+4, 即即q q2 2- -q q- -2=0,2=0,解得解得q=2q=2或或q=q=- -1 1（舍去），（舍去）， 故故q=2.q=2.所以所以a an n=a=a1 1q qn n- -1 1=2=22 2
9、n n- -1 1=2=2n n. . 【即时练习即时练习】 探究点探究点2：等比中项：等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，观察如下的两个数之间，插入一个什么数后， 这三个数就会成为一个等比数列：这三个数就会成为一个等比数列： （1 1）1 1，_，9 9 （2 2）- -1 1，_，- -4 4 （3 3）- -1212，_，- -3 3 （4 4）1 1，_，1 1 3 3 2 2 6 6 1 1 如果在如果在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数G G，使，使a a，G G，b b成等成等 比数列，那么比数列，那么G G叫做叫做a a与与b b的的等比中项等比中项.
10、. abG （20142014安徽高考）安徽高考）数列数列aan n 是等差数列，若是等差数列，若 a a1 11 1， a a3 33 3，a a5 55 5 构成公比为构成公比为 q q 的等比数列，则的等比数列，则 q q_. . 【解析】【解析】设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为 d,d,则则 （a a3 33 3） 2 2= =（ （a a1 1+1+1）（）（a a5 5+5+5）， ， 即即(a(a1 1+2d)+3+2d)+3 2 2=(a =(a1 1+1)(a+1)(a1 1+4d+5),+4d+5),解得解得 d=d=- -1,1, 所以所以 a a3 33
11、 3 =a=a1 1+1+1 ，a a5 5+5 =a +5 =a1 1+1+1，所以 ，所以 q=1.q=1. 答案：答案：1 1 【即时练习即时练习】 例例1 1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每某种放射性物质不断变化为其他物质，每 经过一年剩留的这种物质是原来的经过一年剩留的这种物质是原来的84%.84%.这种物这种物 质的半衰期为多长（精确到质的半衰期为多长（精确到1 1年）？年）？ 分析：分析： 时间：时间： 剩留量剩留量: : 最初最初 1 1 经过经过1 1年年 a a1 1=0.84=0.84 经过经过2 2年年 a a2 2=0.84=0.842 2 经过经过3 3年年
12、a a3 3=0.84=0.843 3 经过经过n n年年 a an n=0.84=0.84n n 1n 1n qaa 设设这这质质质质经经过过 条条数数个个数数 nnnn 1 1 种种物物最最初初的的量量是是1，1，n年n年，剩剩留留量量是是 a .由a .由件件可可得得， 解解： 列列a 是a 是一一等等比比列列，其其中中 a =0.84,q =0.84.a =0.84,q =0.84. 设设则则两两边边对对数数 计计 这这质质约约为为 n n n n a =0.5，a =0.5，0.84 =0.5. 取0.84 =0.5. 取，得得 nlg0.84=lg0.5.nlg0.84=lg0.5
13、. 用用算算器器算算得得n4.n4. 答答：种种物物的的半半衰衰期期大大4年4年. . 答：到第答：到第5代大约可以得到种子代大约可以得到种子 粒粒. 培育水稻新品种培育水稻新品种，如果第一代得到如果第一代得到120120粒种子粒种子，并并 且从第一代起且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以由以后各代的每一粒种子都可以 得到下一代的得到下一代的120120粒种子粒种子，到第到第5 5代大约可以得到代大约可以得到 这个新品种的种子多少粒这个新品种的种子多少粒？ 【解析解析】由于每一代的每一粒种子都可得由于每一代的每一粒种子都可得120120粒种粒种 子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的子
14、，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120120 倍，逐代的种子数组成等比数列，记为倍，逐代的种子数组成等比数列，记为 其中其中 n a 5 110 15 120,120,120 1202.5 10aqa 10 2.5 10 【变式练习变式练习】 例例2 2 根据如图的框图，写出所根据如图的框图，写出所 打印数列的前打印数列的前5 5项，并建立数列项，并建立数列 的递推公式，这个数列是等比数的递推公式，这个数列是等比数 列吗？列吗？ 开始开始 输出输出A A 结束结束 否否 A=1A=1 n=1n=1 n=n+1n=n+1 A=2AA=2A n n5?5? 是是 A= AA= A 1 2 图
15、图 ， ， ， 1 21 32 43 54 =1 11 = 22 11 = 24 11 = 28 11 =. 216 a aa aa aa aa 由由可可知知， 将将来来数数记记为为 123123 若若打打印印出出的的依依次次a a解解(即(即A),a ,aA),a ,a：, ., . 1 1 1 2 1 . 2 n n n n a a a 由由于于，因因此此这这个个数数列列是是等等比比数数列列， 其其通通项项公公式式是是（ ） = = 递递 ， 1 1 =1 1 (1). 2 nn a aan 于于是是，可可得得推推公公式式 在在2 2与与6 6之间插入之间插入n n个数，使它们组成等比数列
16、，个数，使它们组成等比数列， 则这个数列的公比为（则这个数列的公比为（ ） A. B. A. B. C. D.C. D. 3 n 1 3 n 1 3 n 2 3 n C C 【变式练习变式练习】 例例3 3 一个等比数列的第一个等比数列的第3 3项和第项和第4 4项分别是项分别是1212 和和18,18,求它的第求它的第1 1项和第项和第2 2项项. . 1 2 1 3 1 1 1 12 18 3 2 16 3 aq a q a q q a. 设设这这个个等等比比数数列列的的第第 项项是是 ，公公比比是是 ，那那么么 ， ，得得. . 解解： 把把代代入入，得得 . . = = 21 163
17、8 32 16 128 3 aa q. . 因因此此， 这这个个数数列列的的第第 项项和和第第 项项分分别别是是：与与答答 = = 【方法技巧方法技巧】 如果已知数列中的两项，并且知道项的序号，可如果已知数列中的两项，并且知道项的序号，可 以求得数列的其他项以求得数列的其他项. 数列数列1 1，3 37 7，3 314 14， ，3 321 21， ，中，中，3 398 98是这个数列的（ 是这个数列的（ ） A.A.第第1313项项 B.B.第第1414项项 C.C.第第1515项项 D.D.不在此数列中不在此数列中 C C 【变式练习变式练习】 1.1.（20152015广东高考广东高考）
18、若三个正数若三个正数 a a，b b，c c 成等比成等比 数列，其中数列，其中 52 6a ， 52 6c ， 则则 b=b= 【解析】因为三个正数【解析】因为三个正数 a a，b b，c c 成等比数列，所以成等比数列，所以 2 52 652 61bac ，因为，因为 0b ，所以，所以 b=1b=1. . 答案：答案：1 1 2 2.(.(20152015浙江高考浙江高考) )已知已知 n a 是等差数列，公差是等差数列，公差 d d 不为不为 零若零若2 a ，3 a ，7 a 成等比数列，且成等比数列，且12 21aa ， 则则1 a ，d 【解析】由题可得，【解析】由题可得， 2
19、111 (2 )()(6 )adad ad ， 故有故有1 320ad ，又因为，又因为12 21aa ， 即即1 31ad ，所以，所以 1 2 1, 3 da . . 答案：答案： 2 1 3 3.(20153.(2015全国卷全国卷) )等比数列等比数列aan n 满足满足 a a1 1=3,a=3,a1 1+a+a3 3+a+a5 5=21,=21,则则a a3 3+a+a5 5+a+a7 7= = ( ( ) ) A.21A.21 B.42B.42 C.63C.63 D.84D.84 【解析】【解析】 选选B.B.设等比数列的公比为设等比数列的公比为q,q,则则a a1 1+a+a1
20、 1q q2 2+a+a1 1q q4 4=21,=21, 又因为又因为a a1 1=3,=3,所以所以q q4 4+q+q2 2- -6=0,6=0, 解得解得q q2 2=2,a=2,a3 3+a+a5 5+a+a7 7=(a=(a1 1+a+a3 3+a+a5 5)q)q2 2=42.=42. 1.1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：理解并掌握等比数列的定义及数学表达式： （n2n2，n Nn N* *）；）； 2.2.要会推导等比数列的通项公式：要会推导等比数列的通项公式： ，并掌握其基本应用，并掌握其基本应用. . n 1 n1 aaq(q0) ) 0 ( 1 q q a a
21、n n 3 3. .等比数列与等差数列的区别与联系等比数列与等差数列的区别与联系 不不 同同 点点 等差数列等差数列 （1 1）若）若aan n 为正项等比数列为正项等比数列, ,则则logloga aa an n （a0a0且且a1a1）为等差）为等差 数列；数列； （2 2）若）若aan n 为等差数列，则为等差数列，则 为等比数列（为等比数列（b0b0）. . （1 1）都强调每一项与前一项的关系；都强调每一项与前一项的关系； （2 2）差或比结果都必须是常数；差或比结果都必须是常数； （3 3）数列都可以由数列都可以由a a1 1，d d或或a a1 1，q q确定确定. . 等比数列等比数列 相相 同同 点点 联联 系系 （1 1）强调每一项与前一项的比值；强调每一项与前一项的比值； （2 2）a a1 1与与q q均不为零均不为零. . （1 1）强调每一项与前一项的差；强调每一项与前一项的差； （2 2）a a1 1和和d d可以为零可以为零. . n a b 百川东到海，何时复西归？少壮不努力， 老大徒伤悲。 汉乐府长歌行
