1、第3课时 三角形中的几何计算 类型一类型一 有关三角形的面积问题有关三角形的面积问题 1.(20141.(2014新课标全国卷新课标全国卷)钝角三角形钝角三角形ABCABC的面积是的面积是 ， AB=1AB=1，BC= BC= ，则，则AC=(AC=( ) ) A.5A.5 B. B. C.2C.2 D.1D.1 2.2.在在ABCABC中，中，cosA= cosB= BC=5cosA= cosB= BC=5，则，则ABCABC的面积的面积 为为 . . 5 13 ， 3 5， 2 1 2 5 3.(20143.(2014西安高二检测西安高二检测) )在在ABCABC中，已知中，已知c=2c=
2、2，C= C= (1)(1)若若ABCABC的面积等于的面积等于 求求a a，b b的值的值. . (2)(2)若若sinB=2sinAsinB=2sinA，求，求ABCABC的面积的面积. . . 3 3， 【解题指南解题指南】1.1.利用三角形面积公式求得角利用三角形面积公式求得角B B，然后结合条，然后结合条 件，利用余弦定理，求得件，利用余弦定理，求得AC.AC. 2.2.解答本题先求解答本题先求sinCsinC，再利用正弦定理求，再利用正弦定理求ACAC，便可求得三角，便可求得三角 形的面积形的面积. . 3.(1)3.(1)根据三角形的面积根据三角形的面积S= absinCS= a
3、bsinC及余弦定理列出及余弦定理列出a a，b b的方的方 程组，解此方程组即可程组，解此方程组即可. . (2)(2)由条件找出由条件找出a a与与b b的关系式，并借助余弦定理求的关系式，并借助余弦定理求a a，b b，再求，再求 面积面积. . 1 2 【自主解答自主解答】1.1.选选B.B.因为因为S S ABCABC= acsinB= = acsinB= 1 1sinBsinB = = ，所以，所以sinB= sinB= ，所以，所以B= B= 或或 . .当当B= B= 时，经计算时，经计算ABCABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去为等腰直角三角形，不符合题意，舍去. .所
4、以所以B= B= ，使用余弦，使用余弦 定理，定理，b b2 2=a=a2 2+c+c2 2- -2accosB2accosB，解得，解得b= b= ，故选，故选B.B. 2 1 2 5 1 2 1 2 2 2 4 3 4 4 3 4 2.2.由由cosA= cosA= 得得sinA=sinA= 由由cosB= cosB= 得得sinB=sinB= 所以所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 由正弦定理得由正弦定理得AC=AC= 所以所以ABCABC的面积为的面积为 S= S= BCBCACACsinC=
5、 sinC= 答案答案： 5 13 ， 2 12 1 cos A. 13 3 5， 2 4 1 cos B. 5 12354362016 (). 135135656565 4 5 BC sin B13 5 . 12 sin A3 13 1 2 113 168 5. 23653 8 3 3.(1)3.(1)由题意得由题意得 即即 解得解得 ( (负值舍去负值舍去) ) (2)(2)因为因为sinB=2sinAsinB=2sinA，所以，所以b=2ab=2a， 又因为又因为c c2 2=a=a2 2+b+b2 2- -2abcosC2abcosC，所以，所以4=a4=a2 2+b+b2 2- -a
6、bab， 由知由知 ( (负值舍去负值舍去) ) 所以所以 222 1 absin3 23 cab2abcos 3 ， ， 22 ab4 4abab ， ， a2 b2. ， 2 3 a 3 4 3 b 3 ， ， 112 34 332 3 Sabsin C. 223323 【延伸探究延伸探究】若题若题2 2条件变为：条件变为：BC=2BC=2，C= cosB= C= cosB= 试求试求ABCABC的面积的面积. . 【解析解析】由题意由题意cosB= cosB= 得得sinB= sinB= sinA=sin(sinA=sin(- -B B- -C)=sin( C)=sin( - -B)B)
7、 由正弦定理由正弦定理 得得AB= AB= 所以所以 4 ，3 5， 3 5 4 . 5 3 4 3323247 2 sin cos Bcos sin B 44252510 ， BCAB sin Asin C ， 10 . 7 111048 SBC AB sin B2. 22757 【规律总结规律总结】求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧 (1)(1)若平面图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构若平面图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构 造三角形，转化为求三角形的面积造三角形，转化为求三角形的面积. . (2)(2)若所给图形为平面三角
8、形，则需要运用正、余弦定理求出若所给图形为平面三角形，则需要运用正、余弦定理求出 某两边及夹角，再利用三角形面积公式某两边及夹角，再利用三角形面积公式S= absinCS= absinC或或S=S= bcsinAbcsinA或或S= acsinBS= acsinB进行求解进行求解. . 1 2 1 2 1 2 【拓展延伸拓展延伸】与圆有关的三角形面积公式与圆有关的三角形面积公式 (1)S(1)S ABCABC= (a+b+c)r(r = (a+b+c)r(r为为ABCABC内切圆的半径内切圆的半径).). (2)S(2)S ABCABC= (R = (R为为ABCABC外接圆半径外接圆半径)
9、) (3)S(3)S ABCABC=2R =2R2 2sinAsinBsinC.(RsinAsinBsinC.(R为为ABCABC外接圆半径外接圆半径) ) (4)(4)海伦公式：海伦公式：S S ABCABC= = 其中其中p= (a+b+c).p= (a+b+c). 1 2 abc . 4R p p apb (p c) ， 1 2 类型二类型二 三角形中三角恒等式的证明三角形中三角恒等式的证明 1.1.在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c，求证：，求证： 2.2.在在ABCABC中，已知中，已知 (1)(1)求证：求证：tan
10、B=3tanA.tanB=3tanA. (2)(2)若若cosC= cosC= 求求A A的值的值. . 22 2 sin AB ab . csin C AB AC3BA BC. 5 5 ， 【解题指南解题指南】1.1.此题所证结论包含此题所证结论包含ABCABC的边角关系，因此可的边角关系，因此可 以考虑两种途径进行证明：以考虑两种途径进行证明：(1)(1)把角的关系通过正、余弦定理把角的关系通过正、余弦定理 转化为边的关系，然后进行化简、变形转化为边的关系，然后进行化简、变形.(2).(2)把边的关系转化为把边的关系转化为 角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行角的关系，一
11、般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行 恒等变形恒等变形. . 2.(1)2.(1)注意向量数量积公式的应用，正弦定理的应用注意向量数量积公式的应用，正弦定理的应用( (边角转边角转 化化).). (2)(2)先利用先利用cosC= cosC= 求出求出tanCtanC，再利用两角和的正切公式构造，再利用两角和的正切公式构造 与与tanAtanA有关的方程有关的方程. . 5 5 【自主解答自主解答】1.1.方法一：由正弦定理的推广及余弦定理可知，方法一：由正弦定理的推广及余弦定理可知， 右边右边= = 其中其中R R是是ABCABC外接圆的半径外接圆的半径. . 所以原等式成立所以原等式
12、成立. . sin Acos B cos Asin B sin C 222222 222222 2222 22 aacbbcab 2R2ac2bc2R c 2R acbbca 2a2bab 2c2c c2cc 左边， 方法二：由正弦定理可知，方法二：由正弦定理可知， 左边左边= = 所以原等式成立所以原等式成立. . 2222 222 sin Asin B sin A sin B absin A sin B csin Csin C 22 2 ABABABAB 2sincos2cossin sin(AB) sin AB 2222 sin Csin C sin C sin ABsin AB sin
13、 Csin C 右边， 2.(1)2.(1)由由 得得 即为即为cbcosA=3cacosBcbcosA=3cacosB，bcosA=3acosBbcosA=3acosB， 由正弦定理得由正弦定理得sinBcosA=3sinAcosBsinBcosA=3sinAcosB， 两边同除以两边同除以cosAcosBcosAcosB得得tanB=3tanA.tanB=3tanA. 即即tanB=3tanAtanB=3tanA成立成立. . AB AC3BA BC， ABAC cos A3BABC cos B ， (2)(2)因因cosC= cosC= 所以所以C C为锐角，所以为锐角，所以tanC=2
14、tanC=2， 由由(1)tanB=3tanA(1)tanB=3tanA，且，且A+B+C=A+B+C=， 得得tantan- -(A+C)=3tanA(A+C)=3tanA， 即即- -tan(A+C)=3tanAtan(A+C)=3tanA =3tanA=3tanA， 即即 =3tanA=3tanA，所以，所以tanA=1tanA=1或或tanA= tanA= 因因tanB=3tanAtanB=3tanA，由内角和为，由内角和为知两角均为锐角，知两角均为锐角， 故故tanA= tanA= 应舍去应舍去. .所以所以tanA=1tanA=1，所以，所以A= A= 5 5 ， tan Atan
15、 C 1 tan Atan C tan A2 2tan A 1 1 . 3 1 3 . 4 【规律总结规律总结】三角形中三角恒等式的证明技巧三角形中三角恒等式的证明技巧 (1)(1)证明三角形中的恒等式的关键：利用正弦定理和余弦定理证明三角形中的恒等式的关键：利用正弦定理和余弦定理 以及其他公式，对边角关系进行互化以及其他公式，对边角关系进行互化. . (2)(2)证明三角形中的恒等式一般思路是：从要证的三角恒等式证明三角形中的恒等式一般思路是：从要证的三角恒等式 一端出发，证明其与另一端相等一端出发，证明其与另一端相等. .也可同时证明两端都等于同也可同时证明两端都等于同 一个式子一个式子.
16、 . 【变式训练变式训练】在在ABCABC中，证明：中，证明： 【解析解析】因为因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinCsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，由正弦定，由正弦定 理可得理可得acosC+ccosA=bacosC+ccosA=b， 所以所以 22 CA1 acosccosabc . 222 22 CA11 acosccosacacos Cccos Aabc . 2222 类型三类型三 正弦定理、余弦定理在解三角形问题中的综合应用正弦定理、余弦定理在解三角形问题中的综合应用 1.1.设设ABCABC的内角的内角A A，B B，C
17、C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c，若三边的，若三边的 长为连续的三个正整数，且长为连续的三个正整数，且ABCABC，3b=20acosA3b=20acosA，则，则sinAsinA sinBsinCsinBsinC为为( ( ) ) A.432A.432 B.567B.567 C.543C.543 D.654D.654 2.(20142.(2014湖南高考湖南高考) )如图，在平面四边如图，在平面四边 形形ABCDABCD中，中，AD=1AD=1，CD=2CD=2，AC= .AC= . (1)(1)求求cosCADcosCAD的值的值. . (2)(2)若若cosBAD=
18、cosBAD= ，sinCBA= sinCBA= 求求BCBC的长的长. . 7 7 14 21 6 ， 【解题指南解题指南】1.1.先把边先把边a a，c c均用均用b b表示出来，再利用余弦定理表示出来，再利用余弦定理 化简求值化简求值. . 2.2.利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解. . 【自主解答自主解答】1.1.选选D.D.由题意知：由题意知：a=b+1a=b+1，c=bc=b- -1 1， 所以所以3b=20acosA=20(b+1) 3b=20acosA=20(b+1) =20(b+1) =20(b+1) 整理得：整理得
19、：7b7b2 2- -27b27b- -40=040=0， 解之得：解之得：b=5(b=5(负值舍去负值舍去) )，可知：，可知：a=6a=6，c=4.c=4.结合正弦定理可知结合正弦定理可知 sinAsinBsinC=654.sinAsinBsinC=654. 222 bca 2bc 22 2 bb 1b 1 2b b 1 ， 2.(1)2.(1)在在ADCADC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得cosCAD=cosCAD= (2)(2)设设BAC=BAC=，则，则=BAD=BAD- -CAD.CAD. 因为因为cosCAD= cosCAD= ，cosBAD= cosBAD= sinCAD
20、= sinCAD= sinBAD= sinBAD= 222 ACADCD7 142 7 . 2AC AD72 7 2 7 7 7 14 ， 22 2 721 1cosCAD1() 77 ， 22 73 21 1cosBAD1(). 1414 于是于是sin=sin(BADsin=sin(BAD- -CAD)CAD) =sinBADcosCAD=sinBADcosCAD- -cosBADsinCAD=cosBADsinCAD= 在在ABCABC中，由正弦定理得，中，由正弦定理得， 故故BC= BC= 3 212 77213 (). 1471472 BCAC . sin sin CBA 3 7 A
21、C sin 2 3. sin CBA21 6 【规律总结规律总结】解三角形问题的类型及其一般思路解三角形问题的类型及其一般思路 (1)(1)已知三角形两角和一边解三角形：先利用三角形内角和定已知三角形两角和一边解三角形：先利用三角形内角和定 理求出第三个角，然后可以用正弦定理或余弦定理求另外两边理求出第三个角，然后可以用正弦定理或余弦定理求另外两边. . (2)(2)已知两边和它们的夹角解三角形：先用余弦定理求第三边，已知两边和它们的夹角解三角形：先用余弦定理求第三边， 再用正弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三角再用正弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三角. . (3)(3)
22、已知三边解三角形：用余弦定理求各个角；或先用余弦定已知三边解三角形：用余弦定理求各个角；或先用余弦定 理求出一个角理求出一个角( (如最大角或最小角如最大角或最小角) )，再用正弦定理求另一个角，再用正弦定理求另一个角， 最后用三角形内角和定理求第三个角最后用三角形内角和定理求第三个角. . (4)(4)已知两边和其中一边的对角解三角形：先用正弦定理求另已知两边和其中一边的对角解三角形：先用正弦定理求另 一边的对角，再用三角形内角和定理求第三个角，最后用正弦一边的对角，再用三角形内角和定理求第三个角，最后用正弦 定理或余弦定理求第三边；或先用余弦定理求出第三边，再用定理或余弦定理求第三边；或先
23、用余弦定理求出第三边，再用 正弦定理求其余两个角正弦定理求其余两个角. . 【变式训练变式训练】在在ABCABC中，中，B=45B=45，AC= cosC= AC= cosC= (1)(1)求求BCBC边的长边的长. . (2)(2)记记ABAB的中点为的中点为D D，求中线，求中线CDCD的长的长. . 10， 2 5 . 5 【解析解析】(1)(1)由由cosC= cosC= 得得sinC= sinC= sinA=sin(180sinA=sin(180- -4545- -C)= C)= 由正弦定理知由正弦定理知 (2)AB= (2)AB= 由余弦定理知由余弦定理知 2 5 5 ， 5 . 5 23 10 cos C sin C. 210 AC103 10 BCsin A3 2. sin B102 2 AC1051 sin ACB2.BDAB 1. sin B522 2 22 CDBDBC2BD BC cos B 2 1 18 2 1 3 213. 2
