1、2.2 等差数列 第1课时 等差数列 【知识提炼知识提炼】 1.1.等差数列的定义等差数列的定义 条件条件 (1)(1)从第从第_项起项起 (2)(2)每一项与它的每一项与它的_的差等于的差等于_ 结论结论 这个数列就叫做等差数列这个数列就叫做等差数列 有关有关 概念概念 这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的_，通常用字母，通常用字母_ 表示表示 2 2 前一项前一项 同一个常数同一个常数 公差公差 d d 2.2.等差中项等差中项 (1)(1)条件：三个数条件：三个数a a，A A，b b成等差数列成等差数列. . (2)(2)结论：结论：A A叫做叫做a a，b b的等差中项的等差
2、中项. . (3)(3)关系：关系：_._. ab A 2 3.3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式 (1)(1)条件：等差数列条件：等差数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d.d. (2)(2)通项公式：通项公式：a an n=_.=_. a a1 1+(n+(n- -1)d1)d 【即时小测即时小测】 1.1.判断判断 (1)(1)常数列是等差数列常数列是等差数列.(.( ) ) (2)(2)若一个数列从第若一个数列从第2 2项起每一项与前一项的差都是常项起每一项与前一项的差都是常 数，则这个数列是等差数列数，则这个数列是等差数列.(.( ) ) (3)(3)数
3、列数列aan n 满足满足a an+1 n+1- -a an n=1(n1) =1(n1)，则数列，则数列aan n 是等差数是等差数 列列.(.( ) ) (4)(4)等差数列中从第二项起的任何一项都是相邻两项的等差数列中从第二项起的任何一项都是相邻两项的 等差中项等差中项.(.( ) ) 【解析解析】 (1)(1)正确正确. .常数列是公差为常数列是公差为0 0的等差数列的等差数列. . (2)(2)错误错误. .这里未强调每一项与前一项的差是同一个常这里未强调每一项与前一项的差是同一个常 数，不符合等差数列的定义，因而是错误的数，不符合等差数列的定义，因而是错误的. . (3)(3)错误
4、错误.n1.n1应改为应改为nNnN* *. . (4)(4)正确正确. .等差数列中的任意相邻的三项都能成等差数等差数列中的任意相邻的三项都能成等差数 列，所以该结论正确列，所以该结论正确. . 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) (4)(4) 2.2.已知实数已知实数m m是是1 1和和5 5的等差中项，则的等差中项，则m m等于等于( ( ) ) A.A. B.B. C.3C.3 D.D.3 3 【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得2m=1+52m=1+5，解得，解得m=3.m=3. 55 3.3.等差数列等差数列aan n 中，中，a a2 2= =- -4 4，
5、d=3d=3，则，则a a1 1为为( ( ) ) A.A.- -9 B.9 B.- -8 8 C.C.- -7 7 D.D.- -4 4 【解析解析】选选C.C.由题意得，由题意得，a a2 2=a=a1 1+d+d， 所以所以a a1 1=a=a2 2- -d=d=- -4 4- -3=3=- -7.7. 4.4.等差数列等差数列aan n 中，中，a a1 1=3=3，a an n=21=21，d=2d=2，则，则n=_.n=_. 【解析解析】由由a a1 1=3=3，a an n=21=21，d=2d=2得，得， 21=3+2(n21=3+2(n- -1)1)，解得，解得n=10.n=
6、10. 答案：答案：1010 5.5.等差数列等差数列- -3 3，- -1 1，1 1，的通项公式为的通项公式为a an n=_.=_. 【解析解析】等差数列等差数列- -3 3，- -1 1，1 1，的首项为的首项为- -3 3，公差为，公差为 2 2，所以通项公式为，所以通项公式为a an n= =- -3+(n3+(n- -1)1)2=2n2=2n- -5.5. 答案：答案：2n2n- -5 5 【知识探究知识探究】 知识点知识点1 1 等差数列的定义等差数列的定义 观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题： 问题问题1 1：数列：数列0.30.3，0.60.6，0.90.9，1
7、.21.2，1.51.5，1.81.8，2.12.1， 2.42.4是等差数列吗？是等差数列吗？ 问题问题2 2：等差数列中相邻项之间有什么关系？：等差数列中相邻项之间有什么关系？ 【总结提升总结提升】 1.1.等差数列定义的作用等差数列定义的作用 (1)(1)判定一个数列是否是等差数列判定一个数列是否是等差数列. . (2)(2)确定等差数列中任意两项的关系确定等差数列中任意两项的关系. . 2.2.对等差数列定义的三点说明对等差数列定义的三点说明 (1)“(1)“从第从第2 2项起”：项起”： 第第1 1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的
8、差”相吻合；差”相吻合； 定义中包括首项这一基本量，且必须从第定义中包括首项这一基本量，且必须从第2 2项起保证项起保证 使数列中各项均与其前面一项作差使数列中各项均与其前面一项作差. . (2)“(2)“每一项与它的前一项的差”：每一项与它的前一项的差”： 这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差 的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项 必须相邻必须相邻. . (3)“(3)“同一个常数”：若一个数列，从第同一个常数”：若一个数列，从第2 2项起，每一项起，每一 项与它的前一项的差等于常
9、数，但是常数不同，这个项与它的前一项的差等于常数，但是常数不同，这个 数列不是等差数列数列不是等差数列. . 知识点知识点2 2 等差中项等差中项 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：任意两个实数都有等差中项吗？：任意两个实数都有等差中项吗？ 问题问题2 2：能借助等差中项的定义证明一个数列是等差数：能借助等差中项的定义证明一个数列是等差数 列吗？列吗？ 【总结提升总结提升】对等差中项的两点说明对等差中项的两点说明 (1)(1)在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两 项的等差中项项的等差中项. .
10、(2)(2)如果如果a an n- -a an n- -1 1=a=an+1 n+1- -a an n(n2) (n2)，则该数列，则该数列aan n 为等差数为等差数 列，反之亦然列，反之亦然. .所以所以2a2an n=a=an n- -1 1+a+an+1 n+1(n2) (n2)，则数列，则数列aan n 为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一 种方法种方法. . 知识点知识点3 3 等差数列的通项公式等差数列的通项公式 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：等差数列的通项公式与一次函数有
11、什么关系？：等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？ 问题问题2 2：由等差数列的定义如何推导等差数列的通项公：由等差数列的定义如何推导等差数列的通项公 式？式？ 【总结提升总结提升】 1.1.理解等差数列通项公式应注意的四点理解等差数列通项公式应注意的四点 (1)(1)由数列的首项由数列的首项a a1 1与公差与公差d d，可写出通项公式，可写出通项公式. . (2)(2)由数列的任意两项，可确定其首项与公差由数列的任意两项，可确定其首项与公差. . (3)(3)由数列的通项公式可求数列的任意一项，也可判定由数列的通项公式可求数列的任意一项，也可判定 某数是否为数列的项某数是否为数列的项.
12、. (4)(4)通项公式可变形为通项公式可变形为a an n=dn+(a=dn+(a1 1- -d)d)，当，当d0d0时可把时可把a an n 看作自变量为看作自变量为n n的一次函数的一次函数. . 2.2.等差数列的通项公式常用的推导方法：等差数列的通项公式常用的推导方法： (1)(1)方法一方法一( (叠加法叠加法) )：因为：因为aan n 是等差数列，是等差数列， 所以所以a an n- -a an n- -1 1=d=d，a an n- -1 1- -a an n- -2 2=d=d， a an n- -2 2- -a an n- -3 3=d=d， a a3 3- -a a2
13、2=d=d，a a2 2- -a a1 1=d.=d. 将以上各式相加得：将以上各式相加得：a an n- -a a1 1=(n=(n- -1)d1)d， 所以所以a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d.1)d. (2)(2)方法二方法二( (迭代法迭代法) )：因为：因为aan n 是等差数列，是等差数列， 所以所以a an n=a=an n- -1 1+d=a+d=an n- -2 2+d+d=a+d+d=an n- -2 2+2d=a+2d=an n- -3 3+3d=a+3d=a1 1+(n+(n- -1)d.1)d. 即即a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d
14、.1)d. (3)(3)方法三方法三( (逐差法逐差法) )：因为：因为aan n 是等差数列，则有是等差数列，则有 a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n- -1 1- -a an n- -2 2)+(a)+(an n- -2 2- -a an n- -3 3)+(a)+(a2 2- -a a1 1) ) +a+a1 1=a=a1 1+(n+(n- -1)d.1)d. 【拓展延伸拓展延伸】一次函数与等差数列的关系一次函数与等差数列的关系 解析表达式解析表达式( (通项公式通项公式) ) 定义域定义域 图象图象 等差数列等差数列 a an n=kn+
15、b(=kn+b(其中其中k=dk=d， b=ab=a1 1- -d)d) nNnN* * 直线上的直线上的 孤立的点孤立的点 一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b xRxR 直线直线 【题型探究题型探究】 类型一类型一 等差数列的通项公式及应用等差数列的通项公式及应用 【典例典例】1.(20151.(2015金沙高一检测金沙高一检测)a)an n 是首项为是首项为1 1，公差，公差 为为3 3的等差数列，如果的等差数列，如果a an n=2 017=2 017，则序号，则序号n n等于等于( ( ) ) A.667A.667 B.668B.668 C.669C.669 D.673D.67
16、3 2.(20152.(2015泰兴高一检测泰兴高一检测) )在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知 a a3 3+a+a8 8=10=10，则，则3a3a5 5+a+a7 7=_.=_. 3.3.数列数列aan n 是公差不为零的等差数列，且是公差不为零的等差数列，且a a20 20=22 =22， |a|a11 11|=|a |=|a51 51| |，求 ，求a an n. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，首项中，首项a a1 1、公差、公差d d、序号、序号n n、通、通 项项a an n之间有什么关系？之间有什么关系？ 提示：提示：a an n=a=a1 1
17、+(n+(n- -1)d.1)d. 2.2.典例典例2 2中，由条件是否可以求出等差数列中，由条件是否可以求出等差数列aan n 的首项的首项 和公差？和公差？3a3a5 5+a+a7 7与与a a3 3+a+a8 8是否有关系？是否有关系？ 提示：提示：由条件无法求出等差数列由条件无法求出等差数列aan n 的首项和公差的首项和公差. .借借 助等差数列的通项公式可以分析出助等差数列的通项公式可以分析出3a3a5 5+a+a7 7与与a a3 3+a+a8 8有关有关 系系. . 3.3.典例典例3 3中，如何利用题目条件计算等差数列的首项和中，如何利用题目条件计算等差数列的首项和 公差？公
18、差？ 提示：提示：首先根据题目条件列出关于公差的方程，然后首先根据题目条件列出关于公差的方程，然后 再求首项再求首项. . 【解析解析】1.1.选选D.D. 由题意得由题意得a an n=1+(n=1+(n- -1)1)3=3n3=3n- -2 2， 由由a an n=2 017=2 017得得2 017=3n2 017=3n- -2 2，解得，解得n=673.n=673. 2.2.设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d， a a3 3+a+a8 8=a=a1 1+2d+a+2d+a1 1+7d=2a+7d=2a1 1+9d=10+9d=10， 3a3a5 5+a+a7 7=3
19、(a=3(a1 1+4d)+a+4d)+a1 1+6d=4a+6d=4a1 1+18d=2(2a+18d=2(2a1 1+9d)=20.+9d)=20. 答案：答案：2020 3.3.设数列设数列aan n 的公差为的公差为d d，因为，因为a a20 20=22 =22，|a|a11 11|=|a |=|a51 51| |， ， 所以所以|22|22- -9d|=|22+31d|.9d|=|22+31d|. 因为因为d0d0，所以，所以2222- -9d=9d=- -2222- -31d.31d. 所以所以d=d=- -2 2，所以，所以a a1 1=22=22- -1919( (- -2)
20、=60.2)=60. 所以所以a an n= =- -2n+62.2n+62. 【方法技巧方法技巧】 1.1.求等差数列通项公式的步骤求等差数列通项公式的步骤 2.2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d 四个参数四个参数 a a1 1，d d，n n，a an n “知三求一”知三求一” 知知a a1 1，d d，n n求求a an n 知知a a1 1，d d，a an n求求n n 知知a a1 1，n n，a an n求求d d 知知d d，n n，a an
21、 n求求a a1 1 【变式训练变式训练】在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知a a5 5=10=10，a a12 12=31 =31， 求求a a20 20， ，a an n. . 【解题指南解题指南】先根据两个独立的条件解出两个量先根据两个独立的条件解出两个量a a1 1和和d d， 进而再写出进而再写出a an n的表达式的表达式. .几个独立的条件就可以解出几几个独立的条件就可以解出几 个未知量，这是方程组的重要应用个未知量，这是方程组的重要应用. . 【解析解析】因为因为a a5 5=10=10，a a12 12=31 =31，则，则 解解 得得 所以所以a an n=a
22、=a1 1+(n+(n- -1)d=3n1)d=3n- -5 5， a a20 20=a =a1 1+19d=55.+19d=55. 1 1 a4d10 a11d31 ， ， 1 a2 d3 ， ， 类型二类型二 等差数列的判定等差数列的判定 【典例典例】已知数列已知数列aan n 是等差数列，设是等差数列，设b bn n=2a=2an n+3+3，求证：，求证： 数列数列bbn n 也是等差数列也是等差数列. . 【解题探究解题探究】本例中要证明数列本例中要证明数列bbn n 是等差数列，只是等差数列，只 要证明什么？要证明什么？ 提示：提示：只要证明只要证明b bn+1 n+1- -b b
23、n n是一个与 是一个与n n无关的常数无关的常数. . 【证明证明】因为数列因为数列aan n 是等差数列，可设其公差为是等差数列，可设其公差为d d， 则则a an+1 n+1- -a an n=d. =d. 从而从而b bn+1 n+1- -b bn n=(2a =(2an+1 n+1+3) +3)- -(2a(2an n+3)=2(a+3)=2(an+1 n+1- -a an n)=2d. )=2d. 它是一个与它是一个与n n无关的常数，无关的常数， 所以数列所以数列bbn n 是等差数列是等差数列. . 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )本例条件改为本例条件改为
24、a an n=7=7n+2 n+2， ， b bn n=lga=lgan n，所证结论不变，应如何证明，所证结论不变，应如何证明. . 【证明证明】b bn+1 n+1- -b bn n=lga =lgan+1 n+1- -lga lgan n=(n+3)lg7=(n+3)lg7- -(n+2)lg7(n+2)lg7 =lg7.=lg7. 所以数列所以数列bbn n 是等差数列，即数列是等差数列，即数列lgalgan n 是等差数列是等差数列. . 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )本例条件改为本例条件改为 nNnN* * 且且a a1 1=1=1，a an n00，求，求
25、a an n. . 22 n 1n aa4, 【解析解析】因为因为 所以所以 nNnN* *又又 =1=1， 所以数列所以数列 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为4 4的等差数列的等差数列. . 所以所以 =1+(n=1+(n- -1)1)4=4n4=4n- -3 3，又，又a an n00， 所以所以a an n= = 22 n 1n aa4, 22 n 1n aa4, 2 1 a 2 n a 2 n a 4n3. 【方法技巧方法技巧】 1.1.定义法判定等差数列定义法判定等差数列 (1)(1)条件：条件：a an+1 n+1- -a an n=d( =d(常数常数)(nN)(nN* *
26、) )或或a an n- -a an n- -1 1=d(=d(常常 数数)(n1)(n1，nNnN* *).). (2)(2)结论：结论：aan n 是等差数列是等差数列. . (3)(3)应用范围：通常用于解答题应用范围：通常用于解答题. . 2.2.通项公式法判定等差数列通项公式法判定等差数列 (1)(1)条件：数列条件：数列aan n 的通项公式满足一次函数关系式的通项公式满足一次函数关系式 a an n=kn+b(k=kn+b(k，b b是常数是常数).). (2)(2)结论：结论：aan n 是等差数列是等差数列. . (3)(3)应用范围：通常用于选择、填空题应用范围：通常用于选
27、择、填空题. . 【补偿训练补偿训练】设数列设数列aan n ，bbn n 都是等差数列，且都是等差数列，且 a a1 1=25=25，b b1 1=75=75，a a2 2+b+b2 2=100.=100. (1)(1)求证：数列求证：数列aan n+b+bn n 是等差数列是等差数列. . (2)(2)求数列求数列aan n+b+bn n 的通项公式的通项公式. . 【解析解析】(1)(1)设设aan n ，bbn n 的公差分别为的公差分别为d d1 1，d d2 2， 则则(a(an+1 n+1+b +bn+1 n+1) )- -(a (an n+b+bn n) ) =(a=(an+1
28、 n+1- -a an n)+(b )+(bn+1 n+1- -b bn n)=d )=d1 1+d+d2 2，nNnN* *， 它是一个与它是一个与n n无关的常数，无关的常数， 所以所以aan n+b+bn n 为等差数列为等差数列. . (2)(2)由由(1)(1)知数列知数列aan n+b+bn n 是等差数列，是等差数列， 因为因为a a1 1+b+b1 1=a=a2 2+b+b2 2=100=100， 所以所以aan n+b+bn n 为常数列，所以为常数列，所以a an n+b+bn n=100.=100. 【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )在本题条件下，证明
29、数列在本题条件下，证明数列 aan n+2b+2bn n 是等差数列是等差数列. . 【证明证明】设设aan n ，bbn n 的公差分别为的公差分别为d d1 1，d d2 2， 则则(a(an+1 n+1+2b +2bn+1 n+1) )- -(a (an n+2b+2bn n) ) =(a=(an+1 n+1- -a an n)+2(b )+2(bn+1 n+1- -b bn n)=d )=d1 1+2d+2d2 2，nNnN* *， 它是一个与它是一个与n n无关的常数，无关的常数， 所以数列所以数列aan n+2b+2bn n 为等差数列，为等差数列， 2.(2.(变换条件、改变问法
30、变换条件、改变问法) )本题条件改为本题条件改为a an n=(n+1)=(n+1)2 2， b bn n=n=n2 2- -n(nNn(nN* *) )，求证：数列，求证：数列aan n- -b bn n 是等差数列是等差数列. . 【证明证明】a an n- -b bn n=(n+1)=(n+1)2 2- -(n(n2 2- -n)n) =(n=(n2 2+2n+1)+2n+1)- -(n(n2 2- -n)=3n+1n)=3n+1， (a(an+1 n+1- -b bn+1n+1) )- -(a (an n- -b bn n) ) =3(n+1)+1=3(n+1)+1- -(3n+1)=
31、3(3n+1)=3， 所以数列所以数列aan n- -b bn n 是等差数列是等差数列. . 类型三类型三 等差中项及其应用等差中项及其应用 【典例典例】1.(20151.(2015白鹭洲高一检测白鹭洲高一检测) ) - -1 1， 的等的等 差中项为差中项为_._. 2.2.已知已知 成等差数列，求证：成等差数列，求证： 也成也成 等差数列等差数列. . 2 1 2 1 1 1 1 a b c ， bc ac ab abc ， 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，等差中项的定义是什么？如中，等差中项的定义是什么？如 何计算两个数的等差中项？何计算两个数的等差中项？ 提示：提示：若
32、若a a，A A，b b成等差数列，则成等差数列，则A A是是a a与与b b的等差中项，的等差中项， A= .A= .可直接利用等差中项的定义求解可直接利用等差中项的定义求解. . ab 2 2.2.典例典例2 2中，要证中，要证 成等差数列，只要证成等差数列，只要证 明什么？明什么？ 提示：提示：只要证明只要证明 bc ac ab abc ， bcab2(ac) . acb 【解析解析】1. 1. 的等差中项为的等差中项为 答案：答案： 1 2 1 2 1 ， 11 ( 2 1) 22 1 1 ( 2 12 1)2. 2 2 2.2.因为因为 成等差数列，成等差数列， 所以所以 即即2ac
33、=b(a+c).2ac=b(a+c). 因为因为 所以所以 成等差数列成等差数列. . 1 1 1 a b c ， 211 bac ， 22 b cabc(b c) a(ab)cab(ac) acacac 222 ac2ac2(ac)2(ac) acb(ac)b ， bc ac ab abc ， 【方法技巧方法技巧】 1.1.等差中项的计算等差中项的计算 (1)(1)条件：若条件：若A A是是a a与与b b的等差中项的等差中项. . (2)(2)计算公式：计算公式：A=A= 2.2.等差中项法判定等差数列等差中项法判定等差数列 (1)(1)条件：条件：2a2an+1 n+1=a =an n+
34、a+an+2 n+2(nN (nN* *).). (2)(2)结论：结论：aan n 是等差数列是等差数列. . ab . 2 【变式训练变式训练】已知已知a a，b b，c c成等差数列，那么成等差数列，那么a a2 2(b+c)(b+c)， b b2 2(c+a)(c+a)，c c2 2(a+b)(a+b)是否成等差数列？是否成等差数列？ 【解析解析】因为因为a a，b b，c c成等差数列，所以成等差数列，所以a+c=2b.a+c=2b. 又又a a2 2(b+c)+c(b+c)+c2 2(a+b)(a+b)- -2b2b2 2(c+a)(c+a) =a=a2 2c+cc+c2 2a+a
35、b(aa+ab(a- -2b)+bc(c2b)+bc(c- -2b)2b) =a=a2 2c+cc+c2 2a a- -2abc=ac(a+c2abc=ac(a+c- -2b)=02b)=0， 所以所以a a2 2(b+c)+c(b+c)+c2 2(a+b)=2b(a+b)=2b2 2(c+a).(c+a). 故故a a2 2(b+c)(b+c)，b b2 2(c+a)(c+a)，c c2 2(a+b)(a+b)成等差数列成等差数列. . 【补偿训练补偿训练】若若lg2lg2，lg(2lg(2x x- -1)1)，lg(2lg(2x x+3)+3)成等差数列，成等差数列， 则则x x的值等于的
36、值等于( ( ) ) A.1 B.0A.1 B.0或或32 C.32 D.log32 C.32 D.log2 25 5 【解析解析】选选D.D.因为因为lg2lg2，lg(2lg(2x x- -1)1)，lg(2lg(2x x+3)+3)成等差数成等差数 列，列， 所以所以lg2+lg(2lg2+lg(2x x+3)=2lg(2+3)=2lg(2x x- -1)1)，2(22(2x x+3)=(2+3)=(2x x- -1)1)2 2， 所以所以(2(2x x) )2 2- -4 42 2x x- -5=0.5=0. 解得解得2 2x x=5=5，x=logx=log2 25.5. 类型四类型
37、四 等差数列的应用等差数列的应用 【典例典例】1.1.将等差数列将等差数列2 2，7 7，1212，1717，2222，中的数中的数 按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写按顺序抄写在本子上，见下表，若每行可写1212个数，个数， 每页共每页共1515行，则数行，则数2 0172 017应抄在第应抄在第_页第页第 _行第行第_个位置上个位置上. . 2 2 7 7 1212 1717 2222 2.2.第一届现代奥运会于第一届现代奥运会于18961896年在希腊雅典举行，此后年在希腊雅典举行，此后 每每4 4年举行一次年举行一次. .奥运会如因故不能举行，届数照算奥运会如因故不能举行，届数照算
38、. . (1)(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式. . (2)2016(2)2016年里约热内卢奥运会是第几届？年里约热内卢奥运会是第几届？20502050年举行奥年举行奥 运会吗？运会吗？ 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，等差数列的首项、公差和通中，等差数列的首项、公差和通 项公式分别是什么？要确定项公式分别是什么？要确定2 0172 017的位置，首先要计算的位置，首先要计算 什么？什么？ 提示：提示：该等差数列的首项为该等差数列的首项为2 2，公差为，公差为5 5，通项公式为，通项公式为 a an n=5n=5n-
39、 -3.3.要确定要确定2 0172 017的位置，首先要确定的位置，首先要确定2 0172 017是该是该 等差数列的第几项等差数列的第几项. . 2.2.典例典例2 2中，举行奥运会的年份构成的数列是等差数列中，举行奥运会的年份构成的数列是等差数列 吗？若是，其首项和公差分别是什么？要判断吗？若是，其首项和公差分别是什么？要判断20502050年年 是否举行奥运会应计算什么？是否举行奥运会应计算什么？ 提示：提示：是等差数列是等差数列. .该等差数列的首项为该等差数列的首项为1 8961 896，公差，公差 为为4.4.要判断要判断20502050年是否举行奥运会，应计算年是否举行奥运会，
40、应计算2 0502 050是否是否 是奥运会的年份构成的等差数列中的项是奥运会的年份构成的等差数列中的项. . 【解析解析】1.1.由题意得，该等差数列的首项为由题意得，该等差数列的首项为2 2，公差为，公差为 5 5，通项公式，通项公式a an n=2+(n=2+(n- -1)1)5=5n5=5n- -3 3， 由由5n5n- -3=2 0173=2 017，得，得n=404.n=404. 每页共每页共121215=18015=180个数，个数，3601，nNnN* *) )， 所以所以aa2n 2n- -1 1+2a +2a2n 2n 是公差为 是公差为6 6的等差数列的等差数列. . 【
41、防范措施防范措施】 1.1.正确理解等差数列的定义正确理解等差数列的定义 用定义法判定等差数列时，必须说明从第二项起所有用定义法判定等差数列时，必须说明从第二项起所有 项与其前一项的差为同一常数，即项与其前一项的差为同一常数，即a an n- -a an n- -1 1=d(n2=d(n2， nNnN* *) )恒成立恒成立. .如本例中，判断数列如本例中，判断数列aa2n 2n- -1 1+2a +2a2n 2n 是等差 是等差 数列，就要说它的第数列，就要说它的第n(n2n(n2，nNnN* *) )项与第项与第n n- -1 1项的差项的差 是同一常数是同一常数( (即公差即公差).).
42、 2.2.找准数列的相邻项找准数列的相邻项 等差数列定义中不但强调了作差的顺序，即后一项减等差数列定义中不但强调了作差的顺序，即后一项减 前面的项，而且强调了这两项必须相邻前面的项，而且强调了这两项必须相邻. .因此，找准相因此，找准相 邻项是解题的关键之一邻项是解题的关键之一. .如本例中数列如本例中数列aa2n 2n- -1 1+2a +2a2n 2n 的第 的第 n n项是项是a a2n 2n- -1 1+2a +2a2n 2n，第 ，第n n- -1 1项是项是a a2(n 2(n- -1)1)- -1 1+2a +2a2(n 2(n- -1)1)，即 ，即a a2n 2n- -3 3 +2a+2a2n 2n- -2 2. .
