1、3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 第1课时 二元一次不等式表示的平面区域 【知识提炼知识提炼】 1.1.二元一次不等式二元一次不等式 (1)(1)定义：含有定义：含有_个未知数，且未知数的次数是个未知数，且未知数的次数是_的的 不等式不等式. . 两两 1 1 (2)(2)解集：满足二元一次不等式的解集：满足二元一次不等式的x x和和y y的取值构成有序的取值构成有序 数对数对(x(x，y)y)，所有这样的有序数对，所有这样的有序数对_构成的集合构成的集合 称为二元一次不等式的解集称为二元一次不等式的解集. .它的几何意义是：可以看它
2、的几何意义是：可以看 成直角坐标系内的点构成的集合成直角坐标系内的点构成的集合. . (x(x，y)y) 2.2.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域 二元一次不二元一次不 等式等式 Ax+By+C0Ax+By+C0 表示直线表示直线_某一侧所某一侧所 有点有点 组成的平面区域，我们把直线组成的平面区域，我们把直线 画成画成 _，以表示区域，以表示区域_边边 界界 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 虚线虚线 不包括不包括 二元一次不二元一次不 等式等式 Ax+By+C0Ax+By+C0 表示直线表示直线_某一侧某一侧 所有点所有点 组成的平面区域，我们把直组成的平面区域
3、，我们把直 线画成线画成 _，以表示区域，以表示区域_边边 界界 Ax+By+C=0Ax+By+C=0 实线实线 包括包括 平面区平面区 域的确域的确 定定 依据依据 直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0同一侧的所有点，把同一侧的所有点，把 它们的它们的 坐标坐标(x(x，y)y)代入代入Ax+By+CAx+By+C所得符号都所得符号都 相同相同 方法方法 在直线在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的一侧取某个特殊的一侧取某个特殊 点点(x(x0 0， y y0 0) )作为测试点，由作为测试点，由_的符号的符号 可以可以 断定断定Ax+By+C0Ax+By+C0表示的是直线表示
4、的是直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0哪哪 一侧的平面区域一侧的平面区域 AxAx0 0+By+By0 0+C+C 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题 (1)(1)不等式不等式2x2x- -3y03y0是二元一次不等式吗？是二元一次不等式吗？ 提示：提示：是，符合二元一次不等式的两个特征是，符合二元一次不等式的两个特征. . (2)(2)平面区域的边界实线与虚线有何区别？平面区域的边界实线与虚线有何区别？ 提示：提示：边界为实线时表示包括边界，对应的不等式含边界为实线时表示包括边界，对应的不等式含 有等号；边界为虚线时表示不包括边界，对应的不等有等号；边界为虚线时表
5、示不包括边界，对应的不等 式不含等号式不含等号. . 2.2.下列给出的各式中，是二元一次不等式的是下列给出的各式中，是二元一次不等式的是( ( ) ) (1)2xy.(2)2x3.(3)2x(1)2xy.(2)2x3.(3)2x2 2- -yx2 2. . A.(1) B.(3)(4) C.(1)(5) D.(2)(6)A.(1) B.(3)(4) C.(1)(5) D.(2)(6) 【解析解析】选选C.(1)(5)C.(1)(5)符合二元一次不等式的两个特征，符合二元一次不等式的两个特征， (2)(2)中只含有一个未知数，中只含有一个未知数，(3)(6)(3)(6)中的最高次数为二次，中的
6、最高次数为二次， (4)(4)是一个等式是一个等式. . 3.3.原点与点原点与点( (- -1 1，10)10)在直线在直线x+yx+y- -1=01=0的的_(_(填填 “同侧”或“两侧”“同侧”或“两侧”).). 【解析解析】由由0+00+0- -10知原点与点知原点与点( (- -1 1，10)10) 在直线在直线x+yx+y- -1=01=0的两侧的两侧. . 答案：答案：两侧两侧 4.4.已知点已知点A(2A(2，1)1)，B(1B(1，0)0)，C(C(- -1 1，0)0)，则在不等式，则在不等式 x x- -2y- - . . 答案：答案：mm- - 1 3 1 3 【知识探
7、究知识探究】 知识点知识点1 1 二元一次不等式二元一次不等式 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：二元一次不等式概念中包含几个限制条件？：二元一次不等式概念中包含几个限制条件？ 问题问题2 2：二元一次不等式的解集与平面内的点有关系吗？：二元一次不等式的解集与平面内的点有关系吗？ 【总结提升总结提升】 1.1.对二元一次不等式概念的说明对二元一次不等式概念的说明 把握二元一次不等式的概念应从两个方面：一方面是把握二元一次不等式的概念应从两个方面：一方面是 “元”，即有两个未知数；另一方面是次数，即未知“元”，即有两个未知数；另一方面是次数，即未知
8、 数的次数是一次数的次数是一次. . 2.2.对二元一次不等式解集的说明对二元一次不等式解集的说明 二元一次不等式的解集是指满足此二元一次不等式的二元一次不等式的解集是指满足此二元一次不等式的 变量变量x x和和y y的取值所构成的有序数对的取值所构成的有序数对(x(x，y)y)的集合的集合. .有序有序 数对可以看成直角坐标平面内点的坐标数对可以看成直角坐标平面内点的坐标. .于是，二元一于是，二元一 次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合. . 知识点知识点2 2 二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域 观察图形，回答
9、下列问题：观察图形，回答下列问题： 问题问题1 1：平面内所有的点与已知直线有何关系？：平面内所有的点与已知直线有何关系？ 问题问题2 2：Ax+By+C0Ax+By+C0表示的平面区域与表示的平面区域与A A，B B有何关系？有何关系？ 【总结提升总结提升】 1.1.平面内直线对平面区域的划分平面内直线对平面区域的划分 在平面直角坐标系中，平面内所有点被直线在平面直角坐标系中，平面内所有点被直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0 分为三类：分为三类： (1)(1)在直线在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0上上. . (2)(2)在直线在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的上方的
10、区域内的上方的区域内. . (3)(3)在直线在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的下方的区域内的下方的区域内. . 2.Ax+By+C0(A0)2.Ax+By+C0(A0)表示的平面区域，此处不妨设表示的平面区域，此处不妨设C0 A=0A=0，B0，B=0B=0 A0A0，B0B0 A0A0，B0表示的平面区域表示的平面区域. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中怎样检验点在给出的平面区域中怎样检验点在给出的平面区域 内？内？ 提示：提示：可将点的坐标代入不等式中，验证是否成立即可将点的坐标代入不等式中，验证是否成立即 可可. . 2.2.典例典例2 2中常用哪些点来判断不
11、等式表示的平面区域？中常用哪些点来判断不等式表示的平面区域？ 提示：提示：常利用原点常利用原点. . 3.3.典例典例3 3中一般分哪几步作出不等式所表示的平面区域？中一般分哪几步作出不等式所表示的平面区域？ 提示：提示：(1)(1)作边界作边界.(2).(2)用特殊点定区域用特殊点定区域.(3).(3)用阴影表示，用阴影表示， 注意边界实虚注意边界实虚. . 【解析解析】1.1.分别将点分别将点P P1 1(0(0，1)1)，P P2 2( (- -1 1，0)0)，P P3 3(2(2，3)3) 的坐标代入不等式的坐标代入不等式x x- -2y+302y+30中，点中，点P P1 1(0(
12、0，1)1)，P P2 2( (- -1 1，0)0) 的坐标使不等式成立，故点的坐标使不等式成立，故点P P3 3不在此平面区域内，点不在此平面区域内，点P P1 1， P P2 2在此平面区域内在此平面区域内. . 答案：答案：P P1 1与与P P2 2 2.2.取原点取原点O(0O(0，0)0)，因为原点坐标满足，因为原点坐标满足3x+2y+603x+2y+60，所，所 以不等式对应的区域应该是直线以不等式对应的区域应该是直线3x+2y+6=03x+2y+6=0位于包含原位于包含原 点一侧的部分点一侧的部分( (含边界含边界) )，故正确，故正确. . 答案：答案： 3.3.先画直线先
13、画直线2x+y2x+y- -4=0(4=0(画成虚线画成虚线).).取原点取原点(0(0，0)0)代入代入 2x+y2x+y- -4 4得得2 20+00+0- -4=4=- -40表示的平面区域内，不等式表示的平面区域内，不等式 2x+y2x+y- -4040表示的区域如图中的阴影部分表示的区域如图中的阴影部分. . 【延伸探究延伸探究】将典例将典例3 3中的不等式中的“中的不等式中的“”改为改为 “”，又怎样画平面区域呢？”，又怎样画平面区域呢？ 【解析解析】不等式不等式2x+y2x+y- -4 40 0表示的平面区域如图中的阴表示的平面区域如图中的阴 影部分：影部分： 【方法技巧方法技巧
14、】确定二元一次不等式表示平面区域的方确定二元一次不等式表示平面区域的方 法法 (1)(1)直线定界直线定界. .即若不等式不含等号，则应把直线画成即若不等式不含等号，则应把直线画成 虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线. . (2)(2)特殊点定域特殊点定域. .即在直线即在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的某一侧取一个特的某一侧取一个特 殊点殊点(x(x0 0，y y0 0) )作为测试点代入不等式检验，若满足不作为测试点代入不等式检验，若满足不 等式，则表示的就是包括该点的这一侧区域，否则就等式，则表示的就是包括该点的这一侧区域，否则就 表示
15、直线的另一侧区域表示直线的另一侧区域. .特别地，当特别地，当C0C0时，常把原点时，常把原点 作为测试点；当作为测试点；当C=0C=0时，常选点时，常选点(1(1，0)0)或者或者(0(0，1)1)作为作为 测试点测试点. . 【变式训练变式训练】画出画出2x+5y102x+5y10表示的平面区域表示的平面区域. . 【解析解析】先作出边界先作出边界2x+5y=10(2x+5y=10(画成实线画成实线) )，取原点，取原点(0(0， 0)0)，代入，代入2x+5y2x+5y- -10.10.因为因为2 20+50+50 0- -100， 所以平面区域满足的不等式是所以平面区域满足的不等式是2
16、x+y0.2x+y0. (3)(3)平面区域的边界线为实线，方程为平面区域的边界线为实线，方程为 即即x x- -y y- -2=0.2=0. 因为原点因为原点(0(0，0)0)在平面区域中且满足不等式在平面区域中且满足不等式x x- -y y- -20所表示的平面区域内，则所表示的平面区域内，则a a的取值范围为的取值范围为_._. 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中由两点在直线的两侧会得到怎中由两点在直线的两侧会得到怎 样的不等关系？样的不等关系？ 提示：提示：将点将点( (- -1 1，- -2)2)和和(0(0，3)3)的坐标代入的坐标代入x x- -2y+a2y+a中，中，
17、 所得符号不同所得符号不同. . 2.2.典例典例2 2中的点中的点M(aM(a2 2，a)a)不在不等式不在不等式x+2yx+2y- -3030所表示的所表示的 平面区域内的含义是什么？平面区域内的含义是什么？ 提示：提示：将点将点M(aM(a2 2，a)a)的坐标代入的坐标代入x+2yx+2y- -3 3中，可得中，可得 a a2 2+2a+2a- -3 30.0. 【解析解析】1.1.由于点由于点( (- -1 1，- -2)2)和和(0(0，3)3)在直线在直线x x- -2y+a=02y+a=0 的两侧，所以的两侧，所以( (- -1+4+a)(01+4+a)(0- -2 23+a)
18、0所表示的平面所表示的平面 区域内，即将点区域内，即将点M(aM(a2 2，a)a)的坐标代入的坐标代入x+2yx+2y- -3 3中，可得中，可得 a a2 2+2a+2a- -3030，解得，解得- -3a1.3a1. 答案：答案：- -3a13a1 【延伸探究延伸探究】若将典例若将典例1 1中的“两侧”改为“同侧”，中的“两侧”改为“同侧”， 又如何求解？又如何求解？ 【解析解析】由于点由于点( (- -1 1，- -2)2)和和(0(0，3)3)在直线在直线x x- -2y+a=02y+a=0的的 同侧，所以同侧，所以( (- -1+4+a)(01+4+a)(0- -2 23+a)03
19、+a)0，即，即(a+3)(a(a+3)(a- -6)06)0， 解得解得a6. 答案：答案：a6 【方法技巧方法技巧】平面内任意两点平面内任意两点P(xP(x1 1，y y1 1) )，Q(xQ(x2 2，y y2 2) )与与 直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0位置关系位置关系( (不在直线上不在直线上) )的判断方法的判断方法 (1)P(x(1)P(x1 1，y y1 1) )，Q(xQ(x2 2，y y2 2) )在直线在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0同侧同侧 (Ax(Ax1 1+By+By1 1+C)(Ax+C)(Ax2 2+By+By2 2+C)0.+C)0.
20、(2)P(x(2)P(x1 1，y y1 1) )，Q(xQ(x2 2，y y2 2) )在直线在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0异侧异侧 (Ax(Ax1 1+By+By1 1+C)(Ax+C)(Ax2 2+By+By2 2+C)0，因为，因为c”或“或“”，则边界直线要画成虚线，则边界直线要画成虚线. .如如 本例不等号为“本例不等号为“”，边界直线应画成实线”，边界直线应画成实线. . 2.2.巧用特殊点定侧巧用特殊点定侧 判断不等式表示的平面区域在直线的哪一侧，通常将判断不等式表示的平面区域在直线的哪一侧，通常将 某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据 “同侧同号，异侧异号”的规律确定“同侧同号，异侧异号”的规律确定. .例如本例中例如本例中(0(0， 0)0)代入不等式成立，说明原点所在的一侧为所求代入不等式成立，说明原点所在的一侧为所求. .
