1、 3.4 基本不等式： 第1课时 基本不等式 ab ab 2 1.1.理解基本不等式及其证明过程理解基本不等式及其证明过程. . 2.2.能用基本不等式证明不等式及比较大小能用基本不等式证明不等式及比较大小. . 重要不等式与基本不等式重要不等式与基本不等式 (1)(1)重要不等式：重要不等式：a a2 2+b+b2 2_2ab_2ab，条件：，条件：a a，bRbR；“= =”成立的成立的 条件是：条件是：_._. (2)(2)基本不等式：基本不等式：_，条件：，条件：a0a0，b0b0，“= =”成立的成立的 条件是条件是_._. (3)(3)有关概念：有关概念：_叫做正数叫做正数a a，
2、b b的算术平均数，的算术平均数，_叫做正叫做正 数数a a，b b的几何平均数的几何平均数. . a=ba=b ab ab 2 a=ba=b ab 2 ab 1.a1.a，b b，c c是互不相等的正数，且是互不相等的正数，且a a2 2+c+c2 2=2bc=2bc，则下列关系中可，则下列关系中可 能成立的是能成立的是( ( ) ) A.abcA.abc B.bcaB.bca C.bacC.bac D.acbD.acb 【解析解析】选选C.C.因为因为a a，c c均为正数，且均为正数，且acac， 所以所以a a2 2+c+c2 22ac2ac， 又因为又因为a a2 2+c+c2 2=
3、2bc=2bc，所以，所以2bc2ac2bc2ac， 所以所以baba，可排除，可排除A A，D.D.取取a=1a=1，b=2b=2， 则有则有c c2 2- -4c+1=04c+1=0，解得，解得c=2c=2 ， 当当c=2c=2- - 时，有时，有bac.bac. 3 3 2.2.不等式不等式a+12 (a0)a+12 (a0)中等号成立的条件是中等号成立的条件是 . . 【解析解析】a+12 a+12 可变形为可变形为 等号成立的条件为等号成立的条件为a=1.a=1. 答案：答案：a=1a=1 a a a 1 a 1 2 ， 3.3.若若P=xP=x2 2+1+1，Q=2xQ=2x，则，
4、则P P与与Q Q的大小关系是的大小关系是 . . 【解析解析】根据重要不等式知根据重要不等式知P=xP=x2 2+1+12x2x，故，故P PQ.Q. 答案：答案：P PQ Q 基本不等式基本不等式 探究探究1 1：观察如图所示图形，其中：观察如图所示图形，其中ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C是是ABAB上上 的一点，的一点，CDABCDAB，AC=aAC=a，BC=bBC=b，据此思考下列问题：，据此思考下列问题： (1)(1)用用a a，b b如何表示如何表示CDCD？ 提示：提示：由条件知由条件知RtRtACDACDRtRtDCBDCB，所以，所以CDCD2 2=CA=CA
5、CBCB，所以，所以 CD= .CD= . (2)AB(2)AB与与DEDE的大小关系怎样？的大小关系怎样？ 提示：提示：ABABDE.DE. ab (3) (3) 成立吗？成立吗？ 提示：提示：成立成立. .因为因为ABDEABDE，即，即a+b2 a+b2 ，所以，所以 (4)C(4)C点在何位置时，上述不等式等号成立？点在何位置时，上述不等式等号成立？ 提示：提示：当且仅当点当且仅当点C C与圆心重合，即与圆心重合，即a=ba=b时，等号成立时，等号成立. . ab ab 2 ab ab ab. 2 探究探究2 2：根据基本不等式及其成立的条件：根据基本不等式及其成立的条件， 回答下列问
6、题：回答下列问题： ( (1 1) )若若a a，b b同号同号，则则 的关系如何的关系如何？ 提示：提示：当当a a，bb0 0时时， 当当a a，b0 0， ab ab 2 与 ab ab 2 ； ab abab ababab. 222 所以 ，即 (2)(2)当当a a，b b异号时，不等式异号时，不等式 成立吗？成立吗？ 提示：提示：一定不成立，因为当一定不成立，因为当a a，b b异号时，异号时，ab0时，时，x+ 2x+ 2；当；当x0时，时， 当当ab0，b0b0，则下列不等式中，不成，则下列不等式中，不成 立的是立的是( )( ) 2.2.若若a ab b1 1，P= Q= (
7、lg a+lg b)P= Q= (lg a+lg b)，R=R= 试比较试比较P P，Q Q，R R的大小关系的大小关系. . 22 111 A.ab2 2B. ab ()4 abab ab2ab C.abD.ab abab lg a lg b， 1 2 ab lg 2 ， 【解题指南解题指南】1.1.对每一选项利用基本不等式逐一判断对每一选项利用基本不等式逐一判断. . 2.2.在在ab1ab1的条件下，可得的条件下，可得lgalgb0lgalgb0，进而可利用基本不等式，进而可利用基本不等式 比较比较P P与与Q Q的大小；再根据基本不等式及对数函数的单调性得出的大小；再根据基本不等式及对
8、数函数的单调性得出 Q Q与与R R的大小的大小. . 【自主解答自主解答】1.1.选选D.D.对于对于A A： 不等式成立不等式成立. . 对于对于B B：因为：因为 相乘得相乘得 成立成立. . 对于对于C C：因为：因为 又又 成立成立. . 对于对于D D：因为：因为 11 ab2 ab abab 1 2 2 ab2 2 ab ， 111 ab2 ab020. abab ， 11 ab ()4 ab 22 2222 abab abab2abab2()2() 22 ， 22 ab12ab abab 2ababab ，所以 11 ab2 ab ab2 ab ， 2ab2ab2ab abab
9、. abab2 ab 所以，即不成立 2.2.因为因为a ab b1 1，所以，所以lg alg alg blg b0 0，所以，所以Q=Q= (lg a+lg b)(lg a+lg b) =P=P； Q=Q= 所以所以P PQ QR.R. 1 2 lg a lg b 1ab lg alg blg alg blg ablgR. 22 【规律总结规律总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式( (和与和与 积积) )，同时要注意结合函数的性质，同时要注意结合函
10、数的性质( (单调性单调性).). (2)(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0a0，b0.b0. 【变式训练变式训练】已知已知a a，b b，c c都是非负实数，试比较都是非负实数，试比较 与与 (a+b+c)(a+b+c)的大小的大小. . 【解析解析】因为因为a a2 2+b+b2 22ab2ab，所以，所以2(a2(a2 2+b+b2 2)(a+b)(a+b)2 2， 22 ab 2222 bcca 2 22 2222 222222 222222 2 abab 2 22 bcbccaca 22 2 abbccaabbcca 2 abb
11、cca2 abc abc. 所以， 同理， 所以， 即， 当且仅当时，等号成立 类型二类型二 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式 1.(20141.(2014天津高二检测天津高二检测) )设设a a，b b是正实数，以下不等式：是正实数，以下不等式： a|aa|a- -b|b|- -b b；a a2 2+b+b2 24ab4ab- -3b3b2 2；ab+ 2.ab+ 2. 其中恒成立的是其中恒成立的是( ( ) ) A.A. B.B. C.C. D.D. 2.2.设设a a，b b，c c都是正数，试证明不等式：都是正数，试证明不等式： 2ab ab ab ； 2 ab bcc
12、aab 6. abc 【解题指南解题指南】1.1.根据基本不等式及其变形形式证明根据基本不等式及其变形形式证明. . 2.2.原不等式左边可化为原不等式左边可化为 再利用基本不再利用基本不 等式证明等式证明. . bacabc ()()() abaccb ， 【自主解答自主解答】1.1.选选D.D.由题知，由题知，a0a0，b0.b0.中中 可化可化 为为a+b a+b 缺少两者相等的情况，故错误缺少两者相等的情况，故错误. .中，因为中，因为a+ba+b |a|a- -b|b|成立，所以成立，所以a|aa|a- -b|b|- -b b，故正确，故正确. .中中a a2 2+b+b2 24ab
13、4ab- -3b3b2 2， 可化为可化为a a2 2+4b+4b2 24ab4ab，由基本不等式知，缺少两者相等的情况，由基本不等式知，缺少两者相等的情况， 故错误故错误. .中，中， 故正确故正确. . 2ab ab ab 2 ab， 22 ab2 ab2 22 abab ， 2.2.因为因为a0a0，b0b0，c0c0，所以，所以 所以所以 6 6，当且仅当，当且仅当 即即a=b=ca=b=c时，等号成立时，等号成立. .所以所以 6.6. bacabc 222 abaccb ， bacabc ()()() abaccb ba ca cb ab ac bc ， bccaab abc 【延
14、伸探究延伸探究】在题在题2 2条件不变的情况下，证明条件不变的情况下，证明ab(a+b)+bc(b+c)ab(a+b)+bc(b+c) +ca(c+a)6abc.+ca(c+a)6abc. 【证明证明】因为因为a a，b b，c c都是正数，所以都是正数，所以ab(a+b)+bc(b+c)+ab(a+b)+bc(b+c)+ ca(c+a)=aca(c+a)=a2 2b+abb+ab2 2+b+b2 2c+bcc+bc2 2+c+c2 2a+caa+ca2 2=(a=(a2 2b+bcb+bc2 2)+(b)+(b2 2c+cac+ca2 2)+)+ (c(c2 2a+aba+ab2 2) =6
15、abc) =6abc，所以原不等，所以原不等 式成立，当且仅当式成立，当且仅当a=b=ca=b=c时，等号成立时，等号成立. . 222222222 2 a b c2 a b c2 a b c 【规律总结规律总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)(1)基本不等式成立的前提条件基本不等式成立的前提条件. . (2)(2)通过加减项的方法拼凑成可以使用基本不等式的形式通过加减项的方法拼凑成可以使用基本不等式的形式. . (3)(3)注意注意“1 1”的代换的代换. . (4)(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形形式的运用灵活变换基本不等式的
16、形式并注意其变形形式的运用. . 提醒：提醒：(1)(1)多次使用基本不等式时，注意等号能否成立多次使用基本不等式时，注意等号能否成立. . (2)(2)利用不等式性质累加时，注意等号成立的条件利用不等式性质累加时，注意等号成立的条件. . 【拓展延伸拓展延伸】基本不等式的推广基本不等式的推广 设设a ai iRR+ +(i=1(i=1，2 2，n)n)，这，这n n个数：个数： (1)(1)算术平均数算术平均数A An n= = (2)(2)几何平均数几何平均数G Gn n= = (3)(3)调和平均数调和平均数H Hn n= = (4)(4)平方平均数平方平均数Q Qn n= = 则以上平
17、均值的关系是：则以上平均值的关系是：H Hn nGGn nAAn nQQn n. . 12n aaa . n n 12n a aa . 12n n . 111 aaa 222 12n aaa . n 【变式训练变式训练】已知已知a a，b b，c c为正实数，且为正实数，且a+b+c=1a+b+c=1， 求证：求证： 【解题指南解题指南】 其他同样放缩其他同样放缩. . 111 (1)(1)(1)8. abc 1abcbc2 bc 11 aaaa ， 【证明证明】因为因为a a，b b，c c为正实数，且为正实数，且a+b+c=1a+b+c=1， 所以所以 同理，同理， 上述三个不等式两边均为正，上述三个不等式两边均为正， 相乘得相乘得 当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 时，取等号时，取等号. . 11 abc2 bc 1. aaaa 12 ac 12 ab 11. bbcc ， 1112 bc 2 ac 2 ab (1)(1)(1)8 abcabc ， 1 3
