1、 3.4 基本不等式： 第1课时 基本不等式 ab ab 2 【知识提炼知识提炼】 重要不等式与基本不等式重要不等式与基本不等式 ab 2 a=ba=b 几何平均数几何平均数 算术平均数算术平均数 2ab2ab 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题 (1)(1)基本不等式中的基本不等式中的a a，b b可以是代数式吗？可以是代数式吗？ 提示：提示：可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立. . (2) (2) 与与 是等价的吗？是等价的吗？ 提示：提示：不等价，前者条件是不等价，前者条件是a0a0，b0b0，后者是，后者是a a，b b
2、R.R. ab ab 2 2 ab ()ab 2 2.2.下列不等式正确的是下列不等式正确的是( ( ) ) 2 22 2 11 A.a2 B.a()2 aa 11 C.a2 D.a()2 aa 【解析解析】选选C.C.因为因为a a2 2+ + 中中a a2 200， 所以所以 即即 所以所以a a2 2+ 2+ 2，故选，故选C.C. 2 1 a 2 2 2 2 1 a 1 a a 2a ， 2 2 11 (a)1 2a ， 2 1 a 3.3.下列不等式中，对任意实数下列不等式中，对任意实数x x都成立的是都成立的是( ( ) ) A.lg(xA.lg(x2 2+1)lgx+1)lgx
3、B.xB.x2 2+12x+12x C. 1C. 1 D.logD.loga ax+logx+logx xa2a2 【解析解析】选选C.AC.A中，中，x x0 0时不成立；在时不成立；在B B中，中，x=1x=1时不成时不成 立；对于立；对于D D，当，当logloga ax0，b0)b0)：a a2 2+12a+12a； 2 2； ab ab ； 其中正确的有其中正确的有_._. 【解析解析】a a2 2+1=a+1=a2 2+1+12 22a2a，故错；由，故错；由 2 2，可得，可得 a+b2 a+b2 ，显然错误；，显然错误；ab ab 2aba2aba2 2+b+b2 2， 正确；
4、正确； 2aba2aba2 2+b+b2 2，正确，正确. . 答案：答案： ab ab 2 ab () 2 22 2 abab (). 22 ab ab ab 2 ab () 2 2 ab () 2 22 ab 2 【知识探究知识探究】 知识点知识点 基本不等式基本不等式 观察如图所示的内容，回答下列问题：观察如图所示的内容，回答下列问题： 问题问题1 1：基本不等式中对于：基本不等式中对于a a，b b有何限定条件？有何限定条件？ 问题问题2 2：如何用几何法推导出基本不等式？：如何用几何法推导出基本不等式？ 【总结提升总结提升】对基本不等式的理解对基本不等式的理解 (1)(1)对于条件的
5、理解对于条件的理解 a a，b b必须为正数必须为正数. . 当当a=ba=b且只有在这唯一的条件下等号才成立且只有在这唯一的条件下等号才成立. . (2)(2)几何解释几何解释 以以a+ba+b长的线段为直径作圆，在直径长的线段为直径作圆，在直径ABAB上取点上取点C C，使，使AC=aAC=a， CB=b.CB=b.过点过点C C作垂直于直径作垂直于直径ABAB的弦的弦DDDD，则，则CD= .CD= . 如图所示：如图所示： ab 因为圆的半径为因为圆的半径为 ，所以，所以 ，其中当且仅当，其中当且仅当 点点C C与圆心重合，即与圆心重合，即a=ba=b时，等号成立，则该定理又可时，等号
6、成立，则该定理又可 以叙述为：半径不小于半弦以叙述为：半径不小于半弦. . ab 2 ab 2 ab 【题型探究题型探究】 类型一类型一 对基本不等式的理解及其简单应用对基本不等式的理解及其简单应用 【典例典例】1.1.下列不等式下列不等式a a2 2+12a+12a；a a2 2+44a+44a； 2 2； ab.ab.其中恒成立的是其中恒成立的是( ( ) ) A.A. B.B. C.C. D.D. ba | ab 22 22 2a b ab 2.(20152.(2015营口高二检测营口高二检测) )已知已知a0a0，b0b0，则下列不等，则下列不等 式不一定成立的是式不一定成立的是( (
7、 ) ) 22 1 Aab2 2 ab 11 B ab ()4 ab ab C.ab ab 2ab D.ab ab 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何判断是否成立？中如何判断是否成立？ 提示：提示：当当a a，b b异号时，式子异号时，式子 恒大于零，而恒大于零，而ab2a错错 误误. .由于由于a a2 2- -4a+4=(a4a+4=(a- -2)2)2 200，所以，所以a a2 2+44a+44a恒成立；恒成立； 同号，所以同号，所以 2 2恒成立恒成立. .当当a a，b b异号时，异号时， 式子式子 恒大于零，而恒大于零，而ab1，b1b1时，时，lga+lgb lg
8、a+lgb C.C.当当a4a4时，时， D.D.当当ab1，b1b1时，时，lgalga，lgblgb均为正数，所以均为正数，所以 lga+lgb lga+lgb 成立成立. . 2 lg a lg b 类型二类型二 利用基本不等式进行大小比较与不等式的证明利用基本不等式进行大小比较与不等式的证明 【典例典例】1.(20151.(2015四平高二检测四平高二检测) )已知已知a0a0，b0b0，则，则 中最小的是中最小的是( ( ) ) 22 abab2ab ab 22ab ， 22 abab2ab A. B. ab C. D. 22ab 2.(20152.(2015徐州高二检测徐州高二检测
9、) )设设a a，b b，c c都是正数，求证：都是正数，求证： bcacab abc. abc 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中可采取哪些方法进行比较大小？中可采取哪些方法进行比较大小？ 提示：提示：可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大可采用特殊值法或利用基本不等式进行比较大 小小. . 2.2.典例典例2 2中如何利用基本不等式将中如何利用基本不等式将 变形？变形？ 提示：提示：因为因为a a，b b，c c都是正数，所以都是正数，所以 也都是正也都是正 数数. .所以所以 bcacab abc bc ac ab abc ， ， bcacacabbcab 2c2a2b. a
10、bbcac ， 【解析解析】1.1.选选D.D.方法一：特殊值法方法一：特殊值法. . 令令a=4a=4，b=2b=2，则，则 所以所以 最小最小. . 方法二：方法二： 由由 可知可知 最小最小. . 22 abab2ab8 3ab810. 22ab3 ， 2ab ab 2ab2 11 ab ab ， 22 2abab ab 11 22 ab ， 2ab ab 2.2.因为因为a a，b b，c c都是正数，所以都是正数，所以 也都是正数也都是正数. . 所以所以 三式相加得三式相加得 即即 ，当且仅当，当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号. . bc ac ab abc ， ， b
11、cacacabbcab 2c2a2b. abbcac ， bcacab 2()2 abc abc ， bcacab abc abc 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )若将典例若将典例2 2改为“改为“a a，b b，c c都是负数，都是负数， 求证：求证： bcacab (abc) abc 【证明证明】因为因为a a，b b，c c都是负数，所以都是负数，所以 也都是负也都是负 数数. .所以所以 三式相加得三式相加得2( )2( )- -2(a+b+c)2(a+b+c)， 即即 ， 当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号. . bc ac ab abc ，
12、 ， bcacbcacacabacab ()2c()2a ababbcbc ， bcabbcab ()2b acac ， bcacab abc bcacab (abc) abc 2.(2.(改变问法改变问法) )若典例若典例2 2的条件不变，如何证明的条件不变，如何证明 bcacba abcacb ？ 【解析解析】因为因为a a，b b，c c都是正数，所以都是正数，所以 因此因此 即即 当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号. . bcc 2 aba ， bab caa 22 acc bcb ， bcacba 2()2() abcacb ， bcacba . abcacb 【方
13、法技巧方法技巧】利用基本不等式证明不等式的策略与注利用基本不等式证明不等式的策略与注 意事项意事项 (1)(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助 不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”， 逐步推向“未知”逐步推向“未知”. . (2)(2)注意事项：注意事项： 多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； 累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等累
14、加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等 式时注意使用；式时注意使用； 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形 成基本不等式模型，再使用成基本不等式模型，再使用. . 【补偿训练补偿训练】已知正数已知正数0 ，a a2 2+b+b2 22ab2ab， 所以，最大的只能是所以，最大的只能是a a2 2+b+b2 2与与a+ba+b之一之一. . 而而a a2 2+b+b2 2- -(a+b)=a(a(a+b)=a(a- -1)+b(b1)+b(b- -1)1)， 又又00，则，则a a2 2+1a.+1a. (2)(2)若若a0a0，b0b0，
15、则，则 (3)(3)若若a0a0，b0b0，则，则(a+b) 4.(a+b) 4. (4)(4)若若aRaR且且a0a0，则，则 +a6.+a6. 其中恒成立的是其中恒成立的是_._. 11 (a)(b)4. ab 11 () ab 9 a 【失误案例失误案例】 【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：提示：错误的根本原因是对基本不等式的适用条件没错误的根本原因是对基本不等式的适用条件没 有理解透彻，在使用时前提是为正数有理解透彻，在使用时前提是为正数. . 【自我矫正自我矫正】因为因为 所以所以a a2 2+1a+1a，故，故(1)(1)恒
16、成立恒成立. . 因为因为a0a0，所以，所以a+ 2a+ 2，因为，因为b0b0，所以，所以b+ 2b+ 2， 所以当所以当a0a0，b0b0时，时， ，故，故(2)(2)恒成立恒成立. . 因为因为(a+b) =2+ (a+b) =2+ ，又因为，又因为a a，b(0b(0，+)+)， 22 13 a1a(a)0 24 ， 1 a 1 b 11 (a)(b)4 ab 11 () ab ba ab 所以所以 2 2， 所以所以(a+b) 4(a+b) 4，故，故(3)(3)恒成立恒成立. . 因为因为aRaR且且a0a0，不符合基本不等式的条件，不符合基本不等式的条件， 故故 +a6+a6是
17、错误的是错误的. . 答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3) ba ab 11 () ab 9 a 【防范措施防范措施】 1.1.把握基本不等式适用的条件把握基本不等式适用的条件 基本不等式适用的条件是“一正，二定，三相等”，基本不等式适用的条件是“一正，二定，三相等”， 这三个条件缺一不可，如本例忽视正实数，则会导致这三个条件缺一不可，如本例忽视正实数，则会导致 错选错选. . 2.2.对基本不等式的适用条件要理解透彻对基本不等式的适用条件要理解透彻 有些不等式尽管表面上看不符合基本不等式的适用条有些不等式尽管表面上看不符合基本不等式的适用条 件，但经过变形后可以使用基本不等式，如件，但经过变形后可以使用基本不等式，如(4)(4)可分为可分为 当当a0a0和当和当a0a0两种情况两种情况. .
