1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定 第一章 1.4 全称量词与存在量词 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们 的否定在形式上的变化规律. 2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的 否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 全称命题的否定 全称命题p：xM，p(x)， 它的否定綈p： . 知识点二 特称命题的否定 特称命题p：x0M，p(x0)， 它的否定綈p： . 知识点三 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定
2、是 命题. 特称命题的否定是 命题. 答案 x0M，綈p(x0) xM，綈p(x) 特称 全称 思考 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？ 答案 不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是 “并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是 平行四边形”. (2)对省略量词的命题怎样否定？ 答案 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命 题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或 “对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 全称命题的否定 例1 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平
3、行四边形的对边都平行； 解 其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； 解 其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)a，bR，方程axb都有惟一解； 解 其否定为：a，bR，使方程axb的解不惟一或不存在. (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解 其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解 綈p：有些自然数的平方不是正数.
4、(3)p：任何实数x都是方程5x120的根； 解 綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根. (4)p：对任意实数x，x210. 解 綈 p：存在实数 x0，使得 x2 011，使 x2 02x030； 解 綈p：x1，x22x30.(假). (2)p：有些素数是奇数； 解 綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假). 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有 实数的绝对值都不是正数”.
5、它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四 边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)x0，y0Z，使得 2x0y03. 解 命题的否定是“x，yZ， 2xy3”. 当 x0，y3 时， 2xy3，因此命题的否定是假命题. 解析答案 题型三 特称命题、全称命题的综合应用 例3 已知函数f(x)x22x5. (1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由； 解 不等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可
6、. 故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立， 此时，只需m4. 解析答案 反思与感悟 (2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围. 解 不等式mf(x0)0可化为mf(x0)， 若存在一个实数x0， 使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min. 又f(x)(x1)24， f(x)min4，m4. 所求实数m的取值范围是(4，). 解析答案 跟踪训练3 已知f(x)3ax26x1(aR). (1)当a3时，求证：对任意xR，都有f(x)0； 证明 当a3时，f(x)9x26x1， 364(9)(1)0， 对任意xR，都有f(x)0. 解析答案 (2
7、)如果对任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围. 解 f(x)4x恒成立， 3ax22x10恒成立， a0， 0， 即 a100. 解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题： “所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. C 解析答案 1 2 3 4 5 4.命题“x0，)，x3x0”的否定是( ) A.x(，0)，x3x0 B.x(，0)，x3x0 C.x00，)，x3 0x00 D.x00，)，x3 0x00 解析 全称命题的否定是特称命题. 全称命题：x0，)，x3x0 的否定是特称命题：x00，)， x3 0x00. C 解析答案 1 2 3 4 5
8、 5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_. 解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”， 是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”. 有的向量与零向量不共线 课堂小结 返回 1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的 全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为 “不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考 虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.
