1、2.1.2 椭圆的简单几何性质(一) 第二章 2.1 椭 圆 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形. 2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质， 并能画出图象. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 答案 范围 _，_ _，_ 顶点 _， _ _， _ 轴长 短轴长_，长轴长_ 焦点 焦距 |F1F2|_ 对称性 对称轴：_ 对称中心：
2、_ 离心率 e _ axa byb bxb aya A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 2b 2a ( a2b2，0) (0， a2b2) 2a2b2 x轴、y轴 原点 c a (0,1) 答案 返回 知识点二 离心率的作用 当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；当椭圆离心率越 ， 则椭圆越接近于圆. 接近1 接近0 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 椭圆的简单几何性质 例1 求椭圆25x2y225的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 解 把已知方程化成标准方程为 y2 25x 21， 则a5，b1. 所以
3、 c2512 6， 因此，椭圆的长轴长2a10，短轴长2b2， 两个焦点分别是 F1(0，2 6)，F2(0,2 6)， 椭圆的四个顶点分别是A1(0，5)，A2(0,5)，B1(1,0)，B2(1,0). 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 求椭圆m2x24m2y21 (m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、 顶点坐标和离心率. 解析答案 题型二 由椭圆的几何性质求方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为 ，焦距为8； 解 由题意知，2c8，c4， 1 2 ec a 4 a 1 2，a8， 从而b2a2c248， 椭圆的标准方程是 y2
4、64 x2 481. 解析答案 (2)已知椭圆的离心率为 e2 3，短轴长为 8 5. 解 由 ec a 2 3，得 c 2 3a， 又 2b8 5，a2b2c2，所以 a2144，b280， 所以椭圆的标准方程为 x2 144 y2 801 或 x2 80 y2 1441. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 椭圆过点(3,0)，离心率 e 6 3 ，求椭圆的标准方程. 解析答案 题型三 求椭圆的离心率 例 3 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上的点 M 的横 坐标等于右焦点的横坐标， 其纵坐标等于短半轴长的2 3， 求椭圆的离心率. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知椭
5、圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍， 且经过点A(5,0)，求椭圆C的离心率. 解 若焦点在 x 轴上，得 2a52b， 25 a2 0 b21， 解得 a5， b1， ca2b252122 6， ec a 2 6 5 . 若焦点在 y 轴上，得 2a52b， 0 a2 25 b2 1， 解得 a25， b5， ca2b22525210 6， ec a 10 6 25 2 6 5 . 故椭圆 C 的离心率为2 6 5 . 方法归纳 椭圆离心率的求法 椭圆离心率的三种求法： 求椭圆的离心率一般运用直接法、定义法、方程法求解. (1)求椭圆的离心率时，若不能直接求得 c a的值，通常由已知
6、寻求 a，b，c 的关系式，再与 a2b2c2组成方程组，消去 b 得只含 a，c 的方程，再化 成关于 e 的方程求解. (2)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定 a2，b2，求 a，c 的值，利用 公式 ec a直接求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解， 从而达到 简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于 a， b， c 的不等式， 消去 b 后，转化为关于 e 的不等式，从而求出 e 的取值范围. 解析答案 例 4 若椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，线段 F1F2 被点 b 2，0 分成
7、53 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.16 17 B.4 17 17 C.4 5 D. 2 5 5 解析 依题意，得 cb 2 cb 2 5 3， c2b，ab2c2 5b，e 2b 5b 2 5 5 . D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 点评 解析答案 例 5 设 P 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上的一点， F1， F2 是其左， 右焦点. 已知F1PF260 ，求椭圆离心率的取值范围. 点评 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.椭圆以两条坐标轴为对称轴， 一个顶点是(0,13)， 另一个顶点是(10,0)， 则焦点坐标为(
8、 ) A.( 13,0) B.(0， 10) C.(0， 13) D.(0， 69) 解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10， 则 ca2b2 69，故焦点坐标为(0， 69). D 解析答案 1 2 3 4 5 2.如图，已知直线l：x2y20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B， 则椭圆的离心率为( ) A.1 5 B.2 5 C. 5 5 D.2 5 5 解析 x2y20，y1 2x1，而 b c 1 2， 即 a2c2 c2 1 2， a2 c2 5 4， c a 2 5 5 . D 1 2 3 4 5 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 离心率是(
9、 ) 解析答案 A.4 5 B.3 5 C. 2 5 D. 1 5 解析 由题意有，2a2c2(2b)，即ac2b， 又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac， 即 5e22e30，e3 5或 e1(舍去). B 解析答案 1 2 3 4 5 4.若焦点在 y 轴上的椭圆x 2 m y2 2 1 的离心率为1 2，则 m 的值为_. 解析 焦点在y轴上，0m2， a 2，b m，c2m， 又 ec a 1 2， 2m 2 1 2，解得 m 3 2. 3 2 解析答案 1 2 3 4 5 5.椭圆25x29y2225的长轴长，短轴长，离心率依次为_. 解析 由题意，可将椭圆方程化为标准式为 y2 25 x2 9 1， 由此可得a5，b3，c4， 2a10,2b6，e4 5. 10,6，4 5 课堂小结 返回 1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式. 2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定 型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定 类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心 率e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用.
