1、3.1.3 导数的几何意义 第三章 3.1 变化率与导数 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义. 3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 导数的几何意义 函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处 的切线的 .也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为 . 知识点二 函数的导函数 当xx0时，f(x0)是一个确定的数，
2、则当x变化时，f(x)是x的一个函数， 称f(x)是f(x)的导函数(简称导数).f(x)也记作y， 即 f(x)ylim x0 fxxfx x . 斜率 f(x0) yf(x0)f(x0)(xx0) 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 已知过曲线上一点求切线方程 例1 若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值. ylim x0 xx33axxx33ax x lim x0 3x2x3xx2x33ax x lim x03x 23xx(x)23a3x23a. 设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)， 结合已知条件，得 3x2 03a3， x3 03ax0y03x01， 解得
3、a1 3 2 2 ， x0 3 4 2 ， 解 yx33ax. a1 3 2 2 . 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 求过曲线 y1 x在点 2，1 2 处的切线方程. 解 因为lim x0 f2xf2 x lim x0 1 2x 1 2 x lim x0 1 22x 1 4. 所以这条曲线在点 2，1 2 处的切线斜率为1 4， 由直线的点斜式方程可得切线方程为 y1 2 1 4(x2)， 即x4y40. 解析答案 题型二 求过曲线外一点的切线方程 例2 已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程. 解 ylim x0 y x lim x0 2xx272x27 x l
4、im x0 (4x2x)4x. 由于点P(3,9)不在曲线上. 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0， 故所求的切线方程为yy04x0(xx0). 将 P(3,9)及 y02x2 07 代入上式， 得 9(2x2 07)4x0(3x0). 解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8xy150或16xy390. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 求过点 A(2,0)且与曲线 y1 x相切的直线方程. 解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)， 由 y| lim x0 1 x0x 1 x0 x 1 x2 0， 得所求直线方
5、程为 yy0 1 x2 0(xx0). 由点(2,0)在直线上，得 x2 0y02x0， 再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01， 所求直线方程为xy20. 0 x x 解析答案 题型三 求切点坐标 例3 在曲线yx2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y4x5； (2)垂直于直线2x6y50； (3)与x轴成135的倾斜角. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知抛物线y2x21，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30? 解 设点的坐标为(x0，y0)， 则 y2(x0x)212x2 014x0x2(
6、x) 2. y x4x02x. 当 x 无限趋近于零时，y x无限趋近于 4x0. 即f(x0)4x0. (1)抛物线的切线平行于直线4xy20， 即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3). (2)抛物线的切线与直线x8y30垂直， 即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9). 斜率为4， 斜率为8， 题型归纳 计算切线与坐标轴围成的图形的面积 求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类： (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要 求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算. (2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的
7、图形的面积. 解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标. (3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为： 求两曲线的交点坐标； 求交点处两条切线的切线方程； 求两切线与坐标轴的交点坐标； 依据数形结合的思想计算图形的面积. 解析答案 返回 例 4 已知曲线 y1 x和 yx 2.求两曲线交点处的两条切线与 y 轴所围成的 三角形的面积. 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8 D.2 解析 f(2)lim x0 f2xf2 x lim x0 22x2
8、8 x lim x0 (82x)8， 即斜率k8. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则( ) A.a1，b1 B.a1，b1 C.a1，b1 D.a1，b1 解析 由题意，知ky|x0 lim x0 0x2a0xbb x 1，a1. 又(0，b)在切线上，b1，故选A. A 1 2 3 4 5 解析答案 3.已知曲线 y1 2x 22 上一点 P 1，3 2 ，则过点 P 的切线的倾斜角为( ) A.30 B.45 C.135 D.165 解析 y1 2x 22， ylim x0 1 2xx 22 1 2x 22 x lim x0
9、1 2x 2xx x lim x0 x1 2x x. y|x11. 点 P 1，3 2 处切线的斜率为 1，则切线的倾斜角为 45 . B 解析答案 1 2 3 4 5 4.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为 _. 解析 设点 P(x0,2x2 04x0)， 则 f(x0)lim x0 fx0xfx0 x lim x0 2x24x0x4x x 4x04， 令4x0416得x03，P(3,30). (3,30) 解析答案 1 2 3 4 5 5.曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程为_. 解析 y2(x1)212(1)21 2(x)24x， y x2x4，
10、lim x0 y xlim x0 (2x4)4， 由导数几何意义知，曲线y2x21在点(1,3)处的切线的斜率为4， 切线方程为y4x1，即4xy10. 4xy10 课堂小结 返回 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数， 二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的 一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲 线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在 切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点. 1.导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率， 即 klim x0 fx0xfx0 x f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
