1、高中物理竞赛习题专题六：静电场1.电荷面密度均为的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A)放置，其周围空间各点电场强度E(设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B)中的()分析与解“无限大”均匀带电平板激发的电场强度为，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B).2.下列说法正确的是()(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷(B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零(C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的
2、电场强度都不可能为零分析与解依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B).3.下列说法正确的是()(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零(B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零(C) 电势为零的点，电场强度也一定为零(D) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零分析与解电场
3、强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D).4.在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p 的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将()(A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p 水平指向棒尖端而停止(B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动(C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p 水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远
4、离棒尖端移动(D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动分析与解电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B).5.精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过1021 e，而中子电量与零差值的最大范围也不会超过1021e，由最极端的情况考虑，一个有8 个电子，8 个质子和8 个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？ 若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引力的大小.分析考虑到极限情况， 假设电子与质子电量差值的最大范围为21021 e，
5、中子电量为1021 e，则由一个氧原子所包含的8 个电子、8 个质子和8个中子可求原子所带的最大可能净电荷.由库仑定律可以估算两个带电氧原子间的库仑力，并与万有引力作比较.解一个氧原子所带的最大可能净电荷为二个氧原子间的库仑力与万有引力之比为显然即使电子、质子、中子等微观粒子带电量存在差异，其差异在1021e范围内时，对于像天体一类电中性物体的运动，起主要作用的还是万有引力.6.若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为若棒为无限长(即L)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较
6、.分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq Qdx/L，它在点P 的电场强度为整个带电体在点P 的电场强度接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是证(1) 延长线上一点P 的电场强度，利用几何关系 rr x统一积分变量，则电场强度的方向沿x 轴.(2)
7、根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为利用几何关系 sin r/r， 统一积分变量，则当棒长L时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P 点电场强度此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同图(B).这说明只要满足r2/L2 1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.7.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小.分析这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，从教材第5 3 节的例1 可以看出，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O
8、处的电场强度.解将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O 激发的电场强度为由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系，统一积分变量，有积分得 8.水分子H2O 中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示，假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r0 .试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度.分析水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为，而夹角为2.叠加后水分子的电偶极矩大小为，方向沿对称轴线，如图所示.由于点O 到场点A 的距离x r0 ，利用教材第5 3 节中电偶极子在延长线上的电场强度可求得电场的分布.也可由点电荷的电场强度叠加，求电场
9、分布.解1水分子的电偶极矩在电偶极矩延长线上解2在对称轴线上任取一点A，则该点的电场强度由于 代入得测量分子的电场时， 总有x r0 ， 因此， 式中，将上式化简并略去微小量后，得9.如图为电四极子，电四极子是由两个大小相等、方向相反的电偶极子组成.试求在两个电偶极子延长线上距中心为z 的一点P 的电场强度(假设z d).分析根据点电荷电场的叠加求P 点的电场强度.解由点电荷电场公式，得考虑到z d，简化上式得通常将Q 2qd2 称作电四极矩，代入得P 点的电场强度10.边长为a 的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz 和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点.现将立方体置于电场强
10、度 (k，E1 ，E2 为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量.解如图所示，由题意E 与Oxy 面平行，所以任何相对Oxy 面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即.而考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有同理 因此，整个立方体表面的电场强度通量11.地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷.晴天大气电场平均电场强度约为，方向指向地面.试求地球表面单位面积所带的电荷(以每平方厘米的电子数表示).分析考虑到地球表面的电场强度指向地
11、球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷.解在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径(为地球平均半径).由高斯定理地球表面电荷面密度单位面积额外电子数5 17设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.分析通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有根据高斯定理，可解得电场强度的分布.(2) 利用带电球壳
12、电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为，每个带电球壳在壳内激发的电场，而在球壳外激发的电场由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布解1因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理得球体内(0rR)球体外(r R)解2将带电球分割成球壳，球壳带电由上述分析，球体内(0rR)球体外(r R)12.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度.分析用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性
13、，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和.解由教材中第5 4 节例4 可知，在无限大带电平面附近为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场它们的合电场强度为在圆孔中心处x 0，则E 0在距离圆孔较远时x r，则上述结果表明，在x r 时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计.13.在电荷体密度为 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空
14、腔球心O的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为分析本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为 的均匀带电球和一个电荷体密度为、球心在O的带电小球体(半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔内P 点产生的电场强度分别为E1 、E2 ，则P 点的电场强度 EE1 E2 .证带电球体内部一点的电场强度为所以 ，根据几何关系，上式可改写为14.一个内外半径分别为R1 和R2 的均匀带电球壳，总电荷为Q1 ，球壳外同心罩一个半径为R3 的均匀带
15、电球面，球面带电荷为Q2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.分析以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而 .在确定高斯面内的电荷 后，利用高斯定理即可求出电场强度的分布.解取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析r R1 ，该高斯面内无电荷，故R1 r R2 ，高斯面内电荷故 R2 r R3 ，高斯面内电荷为Q1 ，故r R3 ，高斯面内电荷为Q1 Q2 ，故电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两侧，电场
16、强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r R3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变.15.两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1 和R2 R1 )，单位长度上的电荷为.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r R1 ，(2) R1 r R2 ，(3) r R2 .分析电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有
17、侧面的电场强度通量不为零，且，求出不同半径高斯面内的电荷.即可解得各区域电场的分布.解作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理r R1 ，在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变R1 r R2 ，r R2， 在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变这与5 20 题分析讨论的结果一致.16.如图所示，有三个点电荷Q1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且Q1 Q3 Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、Q3 的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析由库仑力的定义，根据Q1 、Q3 所受合力为零可求得Q2 .外力作功W应等于电场力作功W 的负值，即WW
18、.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为其中E 是点电荷Q1 、Q3 产生的合电场强度.(2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有其中V0 是Q1 、Q3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势).解1由题意Q1 所受的合力为零解得 由点电荷电场的叠加，Q1 、Q3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为将Q2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为解2与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时，并由电势的叠加得Q1 、Q3 在点O 的电势将Q2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功比较上述两种方法，显然用功与电势能变化
19、的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.17.已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为为电荷线密度.(1)求在r r1 和r r2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明.解(1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有(2) 不能.严格地讲，电场强度只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r处的电势应与直线上的电势相等.18.水分子的电偶极矩p 的大小为6.20 1030 C m.求在下述情况下，距离分子为r 5.00 109 m 处的电势.(
20、1) ；(2) ；(3) ， 为r 与p 之间的夹角.解由点电荷电势的叠加(1) 若(2) 若(3) 若19.一个球形雨滴半径为0.40 mm，带有电量1.6 pC，它表面的电势有多大？ 两个这样的雨滴相遇后合并为一个较大的雨滴，这个雨滴表面的电势又是多大？分析取无穷远处为零电势参考点，半径为R 带电量为q 的带电球形雨滴表面电势为当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，半径增大为，代入上式后可以求出两雨滴相遇合并后，雨滴表面的电势.解根据已知条件球形雨滴半径R1 0.40 mm，带有电量q1 1.6 pC，可以求得带电球形雨滴表面电势当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后，雨滴半径，带有电量q2 2
21、q1 ，雨滴表面电势20.电荷面密度分别为和的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.分析由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.解由“无限大” 均匀带电平板的电场强度，叠加求得电场强度的分布，电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功 电势变化曲线如图(b)所示.21.两个同心球面的半径分别为R1 和R2 ，各自带有电荷Q1 和Q2 .求：(1)
22、各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？分析通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1(1) 由高斯定理可求得电场分布由电势 可求得各区域的电势分布.当rR1 时，有当R1 rR2 时，
23、有当rR2 时，有(2) 两个球面间的电势差解2(1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即rR1 ，则若该点位于两个球面之间，即R1 rR2 ，则若该点位于两个球面之外，即rR2 ，则(2) 两个球面间的电势差22.一圆盘半径R 3.00 102 m.圆盘均匀带电，电荷面密度2.00105 Cm2 .(1) 求轴线上的电势分布；(2) 根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布；(3) 计算离盘心30.0 cm 处的电势和电场强度.分析将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在
24、轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布.解(1) 带电圆环激发的电势由电势叠加，轴线上任一点P 的电势的 (1)(2) 轴线上任一点的电场强度为 (2)电场强度方向沿x 轴方向.(3) 将场点至盘心的距离x 30.0 cm 分别代入式(1)和式(2)，得当xR 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有由此可见，当xR 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E 和V 的误差分别不超过0.3和0.8，这已足以满足一般的测量精度.23.轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结
25、合成为较重原子核的过程，叫做核聚变.在此过程中可以释放出巨大的能量.例如四个氢原子核(质子)结合成一个氦原子核(粒子)时，可释放出25.9MeV 的能量.即这类聚变反应提供了太阳发光、发热的能源.如果我们能在地球上实现核聚变，就能获得丰富廉价的能源.但是要实现核聚变难度相当大，只有在极高的温度下，使原子热运动的速度非常大，才能使原子核相碰而结合，故核聚变反应又称作热核反应.试估算：(1)一个质子()以多大的动能(以电子伏特表示)运动，才能从很远处到达与另一个质子相接触的距离？ (2)平均热运动动能达到此值时，温度有多高？ (质子的半径约为1.0 1015 m)分析作为估算，可以将质子上的电荷分布看作球对称分布，因此质子周围的电势分布为将质子作为经典粒子处理，当另一质子从无穷远处以动能Ek飞向该质子时，势能增加，动能减少，如能克服库仑斥力而使两质子相碰，则质子的初始动能假设该氢原子核的初始动能就是氢分子热运动的平均动能，根据分子动理论知：由上述分析可估算出质子的动能和此时氢气的温度.解(1) 两个质子相接触时势能最大，根据能量守恒由可估算出质子初始速率该速度已达到光速的4.(2) 依照上述假设，质子的初始动能等于氢分子的平均动能得 实际上在这么高的温度下，中性原子已被离解为电子和正离子，称作等离子态，高温的等离子体不能用常规的容器来约束，只能采用磁场来约束(托卡马克装置)23
