1、第二章 圆锥曲线与方程单元测试(A卷基础篇）（人教A版）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（2018秋杭州期末）方程mx2+（m+1）y2m（m+1）（mR）表示的曲线不可能是（）A抛物线B椭圆C双曲线D直线【答案】解：方程mx2+（m+1）y2m（m+1）（mR）中不含有x（或y）的一次项，方程mx2+（m+1）y2m（m+1）（mR）不可能表示抛物线，故选：A【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查抛物线方程，比较基础2（2018秋宜春期末）对抛物线x24y，下列描述正确的是（）A开口向上，焦点为（0，1）B开口向上，焦点为(0，116)C开口向右，焦点为（
2、1，0）D开口向右，焦点为(116，0)【答案】解：抛物线的标准方程为x24y，2p4，p2，解得p2=1，因此抛物线的焦点为（0，1），准线为y1，可得该抛物线的开口向上故选：A【点睛】本题给出抛物线的方程，求它的开口方向和焦点坐标着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题3（2019春内江期末）方程mx2+y2l表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A（1，+）B（0，+）C（0，1）D（0，2）【答案】解：根据题意，方程mx2+y2l即x21m+y21，若其表示焦点在y轴上的椭圆，必有11m0，解可得：m1，即m的取值范围为（1，+）；故选：A【点睛】本题考查椭圆的标准
3、方程，注意椭圆的标准方程的形式，属于基础题4（2018秋大武口区校级期末）平面内到两定点F1（3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹（）A椭圆B线段C两条射线D双曲线【答案】解：根据双曲线的定义，|MF1|MF2|4，且|F1F2|64，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义与应用问题，是基础题目5（2018秋禹州市校级月考）下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（）Ay=1-x2Blnx+lny0Cx=yDx|y|【答案】解：选项A中方程y=1-x2表示的曲线是单位圆的上半部分，与对应图象不符；选项B中方程lnx+lny0表示的
4、曲线是y=1x(x0)的图象，与对应图象不符；选项C中方程x=y表示的是yx2（x0）的图象，与对应图象不符；选项D中方程x|y|表示的曲线是yx（x0）与yx（x0）的图象，与对应图象符合故选：D【点睛】本题考查曲线与方程的应用，图形的判断，是基本知识的考查6（2018秋莲都区校级月考）双曲线9y24x21的渐近线方程为（）Ay49xBy94xCy23xDy32x【答案】解：根据题意，双曲线9y24x21的标准方程为y219-x214=1，其焦点在y轴上，且a=13，b=12，则其渐近线方程为y23x；故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线渐近线方程的计算，注意分析双曲线的焦点
5、位置7（2018秋娄底期末）设椭圆x2m2+y2n2=1（m0，n0）的一个焦点为（0，2），离心率为12，则mn（）A843B23-4C43-8D3-2【答案】解：椭圆x2m2+y2n2=1（m0，n0）的一个焦点为（0，2），可得c2，离心率为12，可得a4，所以b=23，即m23，n4，所以mn23-4故选：B【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查8（2018秋商丘期末）AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是（）A2B12C32D52【答案】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|x1+x2+px1+x2+14，x
6、1+x22=32，故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的定义在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决9（2019春大兴区期末）已知直线ykx+2（kR）与椭圆x29+y2t=1恒有公共点，则实数t的取值范围是（）A（0，4B4，9）C（9，+）D4，9）（9，+）【答案】解：根据题意，直线ykx+2（kR）恒过定点（0，2），椭圆x29+y2t=1与y轴正半轴的交点为（0，t），若直线ykx+2（kR）与椭圆x29+y2t=1恒有公共点，必有t2t9，解可得t4且t9，则t的取值范围为4，9）（9，+）；故选：D【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及直线恒过定点的问题，属于
7、基础题10（2019春安徽期末）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的焦距为25，其渐近线方程为y12x，则焦点到渐近线的距离为（）A1B3C2D23【答案】解：根据题意，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的焦距为25，即2c25，则c=5，则双曲线的焦点为（5，0）又由双曲线的渐近线方程为y12x，即x2y0，则焦点到渐近线的距离d=|5|4+1=1，故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题11（2019春上饶期末）已知点F是抛物线x24y的焦点，点P为抛物线上的任意一点，M（1，2）为平面上点，则|PM|+|PF|的最小值为（）A
8、3B2C4D23【答案】解：抛物线标准方程 x24y，p2，焦点F（0，1），准线方程为y1设p到准线的距离为PA，（即PA垂直于准线，A为垂足），则|PM|+|PF|PA|+|PM|AM|3，（当且仅当P、A、M共线时取等号），故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到|PM|+|PF|PA|+|PM|AM|，是解题的关键12（2019陕西三模）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)与抛物线y28x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|5，则双曲线的离心率为（）A2B22C5+12D6【答案】解：抛物线y28x的焦点坐标F（2，0），p4
9、，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，p2c，c2，设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|m+p2=m+25，m3P点的坐标为（3，24）|a2+b2=49a2-24b2=1解得：a2=1b2=3，c2则双曲线的离心率为2，故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本的运算能力解答关键是利用性质列出方程组二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（2019春自贡期末）椭圆x23+y21的焦距长为22【答案】解：根据题意，椭圆x23+y21的焦点在x轴上，其中a=3，b1，则c=3-1=2，则其焦距2c22；故答案为：22【点睛】本题考查椭圆的标准方程，
10、涉及椭圆的几何性质，属于基础题14（2008秋贾汪区校级月考）直线xa和函数yx2+1的图象最多有1个公共点【答案】解：联立x=ay=x2+1消去x得ya2+1可知其交点最多有1个故答案为：1【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系考查了学生对基础知识的综合运用15（2019春徐汇区校级月考）以椭圆x22+y2=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是x2y21【答案】解：椭圆x22+y2=1的焦点为F（1，0），顶点为（2，0）；则双曲线的顶点为（1，0），焦点为（2，0），a1，c=2，b=c2-a2=2-1=1，双曲线的方程为x2y21，故答案为：x2y21【点睛】本题考查了椭圆与双曲
11、线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题16（2019威海二模）已知抛物线y22px（p0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p2或8【答案】解：抛物线y22px（p0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，如图：可得|FQ|3，所以p5|FQ|，所以P2或8故答案为：2或8【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查三解答题（共6小题，满分70分）17（10分）（2019春浦东新区期中）求曲线x2+y21与直线yx+1的交点坐标【答案】解：根据题意，由x2+y2=1y=x+1，得x2+（x+1）21，整理得：x2+x0，解得；x1或x0，所以，由yx+
12、1得，y0或y1；即曲线x2+y21与直线yx+1的交点坐标为（1，0）或（0，1）【点睛】本题考查曲线与方程的关系，直接联立曲线与直线的方程即可，属于基础题18（12分）（2019春浦东新区期中）已知双曲线的一个焦点为（5，0），其渐近线方程为y=34x，求此双曲线的标准方程【答案】解：由已知可设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1，则其渐近线方程为y=bax，由已知渐近线方程为y=34x，所以，ba=34（4分）又因为双曲线的一个焦点为（5，0），所以，a2+b252（6分）由ba=34#/DEL/#a2+b2=52#/DEL/#a2=16b2=9（10分）故所求双曲线的标准方程为x2
13、16-y29=1【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力19（12分）（2019春遂宁期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程（1）求与椭圆x249+y224=1有公共焦点，且离心率e=54的双曲线的方程；（2）求顶点在原点，准线方程为x4的抛物线的方程【答案】解：（1）椭圆x249+y224=1的焦点坐标为（5，0），（5，0），又双曲线离心率e=ca=54所以双曲线a4，c5，故双曲线的方程为：x216-y29=1（2）由题意，抛物线的焦点在x轴上，开口向左，p2=4p=8，所以抛物线方程为：y216x【点睛】本题考查椭圆以及双曲线抛物线的简单性质的应用
14、，标准方程的求法，考查计算能力20（12分）（2019春福州期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半（1）求椭圆的方程；（2）经过点M（1，12）作直线l，交椭圆于A，B两点如果M恰好是线段AB的中点，求直线l的方程【答案】解：（1）根据题意，椭圆x2a2+y2b2=1的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半即2a4，则a2，2b=12（2a）2，则b1，故椭圆的方程为：x24+y2=1；（2）由（1）得故椭圆的方程为：x24+y2=1，设直线l的方程为：y-12=k（x1），将直线y-12=k（x1）代入椭圆方程，得（1+4k2）x24k（2k1）x+（2k1）2
15、40，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=4k(2k-1)1+4k2，M（1，12）恰好是线段AB的中点，x1+x22，即4k(2k-1)1+4k2=2，解得k=-12则直线l的方程为y-12=-12（x1），变形可得x+2y20【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，属于综合题21（12分）（2018秋海淀区期末）椭圆x22+y2=1的左焦点为F，过点M（2，0）的直线l与椭圆交于不同两点A，B（）求椭圆的离心率；（）若点B关于x轴的对称点为B，求|AB|的取值范围【答案】解：（）因为a22，b21，所以a=2，b=1，c=1，所以离心率e=ca=22（）法一
16、：设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l存在斜率，设直线l的方程为yk（x+2），所以x22+y2=1y=k(x+2)，所以（2k2+1）x2+8k2x+8k220816k20，所以k212，所以x1+x2=-8k22k2+1x1x2=8k2-22k2+1，因为B（x2，y2），所以|AB|=(x1-x2)2+(y1+y2)2，因为(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=8-16k2(2k2+1)2y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4=4k2k2+1，所以 |AB|=8-16k2(2k2+1)2+16k2(2k2+1)2=8(2k2+1)2=222
17、k2+1，因为0k212，所以|AB|(2，22法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l是x轴时，|AB|=22，当直线l不是x轴时，设直线l的方程为xty2，所以x22+y2=1x=ty-2，所以（t2+2）y24ty+20，8t2160，所以t22，所以y1+y2=4tt2+2y1y2=2t2+2，因为B（x2，y2），所以|AB|=(x1-x2)2+(y1+y2)2，因为 (x1-x2)2=(ty1-ty2)2=t2(y1-y2)2=t2(y1+y2)2-4y1y2=(t2+1)16t2(t2+2)2，所以|AB|=(t2+1)16t2(t2+2)2-8t2t2+2=8t4(
18、t2+2)2=22t2t2+2=22t2t2+2=22(1-2t2+2)，因为t22，所以|AB|(2，22)，综上，|AB|的取值范围是(2，22【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）（2019东湖区校级三模）已知离心率为32的椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过点(2，22)，A，B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P在椭圆C上且不与四个顶点重合（）求椭圆C的标准方程；（）若直线PA与y轴交于N，直线PB与x轴交于M，试探究|AM|BN|是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【答案】解：（1）根据题意，椭圆C的离心率为32，
19、则有e=ca=32，又点(2，22)在椭圆上，2a2+12b2=1，又由a2b2+c2，解得a22，b21；故椭圆的标准方程为x24+y2=1（2）|AM|BN|是定值，由于点P不与四个顶点重合，所以直线PA、PB的斜率存在且不为0，设P（x0，y0），A（2，0），B（0，1），则直线PA的方程为y=y0x0-2(x-2)，N点坐标为(0，-2y0x0-2)，直线PB的方程为y=y0-1x0x+1，M点坐标为(-x0y0-1，0)；因此|AM|BN|=|2+x0y0-1|1+2y0x0-2|=|(x0+2y0-2)2(x0-2)(y0-1)|=|x02+4y02+4+4x0y0-4x0-8y0x0y0-x0-2y0+1|，又因为点P在椭圆上，所以x02+4y02=4，则|AM|BN|=|4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2|=4，所以|AM|BN|是定值【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质以及标准方程，属于综合题.
