1、灿若寒星灿若寒星*整理制作整理制作第第一一章章 三三角角形形的的证证明明4 4 角角平平分分线线广广东东学学导导练练 数数学学 八八年年级级下下册册 配配北北师师大大版版课课前前预预习习1 如图1-4-1，OP平分AOB，PCOA于点C，PDOB于点D，则PC与PD的大小关系是（）A PCPDB PC=PDC PCPDD 不能确定2 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形（）A 三条中线的交点B 三条高的交点C 三条边的垂直平分线的交点D 三条角平分线的交点BD3 用尺规作AOB的平分线的步骤：在OA和OB上分别截取OD，OE，使_；分别以_为圆心，以_的长为半径作弧，弧在AOB的_交于一
2、点C；作_，OC就是AOB的平分线4 在RtABC中,锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D,则ADB=_.5.如图1-4-2,ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于点D,DEAB于点E,且AB=10 cm,则DEB的周长是_.OD=OE点点D，E内内部部射射线线OC4510 cm名名师师导导学学新新知知 1 1角角平平分分线线的的性性质质定定理理定定理理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等注注意意：用语言符号表示：如图1-4-3，如果点P在AOB的平分线上，且PMOA于点M，PNOB于点N，那么PM=PN；点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长；角平分线的性质能够
3、证明线段相等或为证三角形全等准备条件.【例例1 1】如图1-4-4，已知OD平分AOB，在OA，OB边上取OA=OB，P是OD上一点，PMBD，PNAD，垂足分别是点M，N求证：PM=PN解解析析已知PMBD，PNAD，根据角平分线的性质，只要证3=4即可证证明明 OD平分AOB，1=2.在OBD和OAD中，OB=OA，1=2，OD=OD，OBDOAD（SAS）.3=4.PMBD，PNAD，PM=PN.举举一一反反三三如图1-4-5，在ABC中，CD是AB边上的高，BE平分ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求BCE的面积.解解：如如答答图图1-4-1,过过点点E作作EFBC于于点点F.
4、CD是是AB边边上上的的高高，DEAB.BE平平分分ABC，DE=EF=2.BC=5，BCE的的面面积积=新新知知 2 2角角平平分分线线的的性性质质定定理理的的逆逆定定理理定定理理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上语言符号：如图1-4-6，若点P是AOB内一点，PMOA于点M，PNOB于点N，且PM=PN，则点P在AOB的平分线上.性质定理及逆定理的关系：点在角的平分线上点到这个角两边的距离相等.因此角平分线的性质定理的逆定理也是角平分线的判定定理，可以证明两角相等.【例例2 2】如图1-4-7，PAON于点A，PBOM于点B，且PA=PB，MON=50，OPC=30
5、，求PCA的大小.解解析析根据图形可知PCA=OPC+POC，所以关键是找AOP与POB的关系，由PA=PB可知AOP=POB.解解 PAON，PBOM，PA=PB，AOP=POB.又 MON=50，POC=25.PCA=POC+OPC=25+30=55.举举一一反反三三如图1-4-8,BDAM于点D，CEAN于点E，BD,CE交于点F，CFBF，求证：点F在A的平分线上.证证明明：如如答答图图1-4-2,连连接接AF.BDAM,CEAN,FDC=FEB=90.又又CFD=BFE,CF=BF,CDFBFE(AAS).FD=FE.BDAM,CEAN,CAFBAF.AF平平分分BAC,即即点点F在
6、在A的的平平分分线线上上.已知：AOB（如图1-4-9）求作：射线OC，使AOC=BOC.注意：（1）这个作法是以SSS公理为基础的由作法可知：OD=OE，EC=DC.又 OC=OC，OECODC.BOC=AOC.（2）所作图形是过顶点O的射线OC，其关键是确定点C的位置新新知知3作作已已知知角角的的平平分分线线（3）“大于DE”的原因是：如果小于DE，两弧不相交；而等于DE时，两弧虽然有一个交点，但难以准确得到（4）点C是两弧交于AOB内的点，另一交点没有作出，这是因为O，C两点就可以确定出平分AOB的射线【例例3 3】如图1-4-10，在公路的南侧、铁路的东侧有一所学校，这所学校到公路和铁
7、路的距离相等，并且与两路的交叉点O处的距离为400 m 请在图中标出学校的位置，并说明理由（比例尺112 500）解解析析学校到公路和铁路的距离相等，就是指学校在把公路和铁路看作两条直线相交时所成角的平分线上解解把公路和铁路看作两条直线，画出它们所成角的平分线，在角的平分线上从顶点截出表示实际长400 m的线段，即可确定学校的位置，如图1-4-11，图中的点P即为所求 表示实际长400 m的线段为40 00012 500=3.2 cm举举一一反反三三如图1-4-12，点D在ABC的AB边上，且ACD=A.（1）作BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2
8、）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.解解：（1）如如答答图图1-4-3所所示示：（2）DEAC定定理理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等注注意意：交点只可能在三角形的内部，且到三边的垂线段相等.新新知知4三三角角形形角角平平分分线线交交点点的的性性质质定定理理【例例4 4】如图1-4-13，O是ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若A=70，求BOC的度数解解析析要求BOC的度数，只要求得1和3的度数，由180-1-3即可得出BOC的度数.根据题中所给条件，可知12，34，又A70，可得出1+3，从而求得BOC的度数解解 OFAB，ODBC，且OF=OD，BO平分ABC.12.同理可得3=4.举举一一反反三三如图1-4-14，在ABC中，BD,CE分别平分ABC,ACB，且BD,CE交于点O，过O作OPBC于点P，OMAB于点M，ONAC于点N.求证：点O在BAC的平分线上.证证明明：BD平平分分ABC,OPBC，OMAB,OPOM.CE平平分分ACB,OPBC，ONAC,OPON.OMON.点点O在在BAC的的平平分分线线上上.
