1、4.4.2对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质(1)(1)图象和性质：图象和性质：导思导思1.1.与指数函数类比，对数函数的图象和性质是怎样与指数函数类比，对数函数的图象和性质是怎样的？的？2.2.实数有相反数，函数有反函数吗？实数有相反数，函数有反函数吗？0a10a1a1图象图象 0a10a1a1定义域定义域(0(0，+)+)值域值域R R性质性质过定点过定点_在在(0(0，+)+)上是上是_在在(0(0，+)+)上是上是_(1(1，0)0)减函数减函数增函数增函数(2)(2)本质：作出不同底数的对数
2、函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质.(3)(3)应用：比较大小；求定义域、值域；解不等式；应用：比较大小；求定义域、值域；解不等式；求参数的范围求参数的范围.【思考思考】对于对数函数对于对数函数y=logy=log3 3x x，y=logy=log5 5x x，y=y=，y=y=，为什么一定过点，为什么一定过点(1(1，0)0)？提示：提示：当当x=1x=1时，时，logloga a1=01=0恒成立，即对数函数的图象一定
3、过点恒成立，即对数函数的图象一定过点(1(1，0).0).14log x16log x2.2.反函数反函数指数函数指数函数y=ay=ax x(a0(a0，且，且a1)a1)与对数函数与对数函数y=logy=loga ax(a0 x(a0，且，且a1)a1)互为反函数，互为反函数，它们的它们的_与与_正好互换正好互换.定义域定义域值域值域【思考思考】函数函数y=logy=log3 3x x与与y=y=互为反函数吗？互为反函数吗？提示：提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数.x1()3【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”
4、“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)对数函数对数函数y=logy=log5 5x x与与y=y=的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称.()(2)(2)对数函数的图象都在对数函数的图象都在y y轴的右侧轴的右侧.()(3)(3)若对数函数若对数函数y=logy=log(a-1)(a-1)x x是减函数，则是减函数，则a2.a2.()15log x提示：提示：(1)(1).两函数的图象关于两函数的图象关于x x轴对称轴对称.(2).(2).由对数函数的图象可知，正确由对数函数的图象可知，正确.(3)(3).由对数函数的单调性可知，由对数函数的单调性可知，0a-110a-11，所以，所以1a
5、2.1a2.2.(2.(教材二次开发：复习巩固改编教材二次开发：复习巩固改编)函数函数y=y=的定义域是的定义域是()A.1A.1，+)+)B.B.C.(1C.(1，+)+)D.D.【解析解析】选选D.D.函数函数y=y=的定义域满足：的定义域满足：解得解得 x1.0(2x-3)(a0且且a1)a1)的图象恒过定点的图象恒过定点P P，则，则P P点的坐标是点的坐标是_._.【解析解析】令令2x-3=12x-3=1，解得，解得x=2x=2，且，且f(2)=logf(2)=loga a1=01=0恒成立，所以函数恒成立，所以函数f(x)f(x)的的图象恒过定点图象恒过定点P(2P(2，0).0)
6、.答案：答案：(2(2，0)0)关键能力关键能力合作学习合作学习类型一利用单调性比较大小类型一利用单调性比较大小(逻辑推理逻辑推理)【题组训练题组训练】1.1.已知已知a=loga=log2 23 3，b=logb=log2 2e e，c=ln 2c=ln 2，则，则a a，b b，c c的大小关系是的大小关系是()A.abcA.abcB.bacB.bacC.cbaC.cbaD.cabD.cab2.(20202.(2020遵义高一检测遵义高一检测)已知：已知：a=log65a=log65，b=0.3b=0.3，c=ln c=ln ，则下列结论，则下列结论正确的是正确的是()A.abcA.abc
7、B.bacB.bacC.cbaC.cbaD.cabD.cabcA.abcB.acbB.acbC.bacC.bacD.bcaD.bca12【解析解析】1.1.选选A.a=logA.a=log2 23b=log3b=log2 2elogelog2 22=12=1，c=ln 2ln e=1c=ln 2bc.abc.2.2.选选D.D.因为因为0=log0=log6 61log1log6 65log50 0=1=1，ln ln 1=0ln ln 1=0，所以，所以cab.cab.3.3.选选A.A.因为因为loglog3 315=1+log15=1+log3 35=1+5=1+，loglog4 420
8、=1+log20=1+log4 45=1+5=1+且且0log0log5 533log15log4 4202202，且，且loglog6 630log30bc.abc.1251log 351log 45511,log 3log 4【解题策略解题策略】比较对数值大小时常用的四种方法比较对数值大小时常用的四种方法(1)(1)同底数的利用对数函数的单调性同底数的利用对数函数的单调性.(2)(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)(3)底数和真数都不同，找中间量底数和真数都不同，找中间量.(4)(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性
9、的影响，对底数进行分若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论类讨论.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0 0或或1 1的大小的大小.【补偿训练补偿训练】(2020(2020鄂尔多斯高一检测鄂尔多斯高一检测)已知已知a=a=，b=logb=log4 45 5，c=0.5c=0.50.40.4，则则()A.abcA.abcB.acbB.acbC.cabC.cabD.cbaD.cblog5log4 44=14=1，00.500.50.40.40.50.50 0=1=1，所以，所以acb.ac0 (a0，且，且a1)a1)的图象可
10、能是的图象可能是()x1a1(x)22.(20202.(2020珠海高一检测珠海高一检测)若函数若函数f(x)=logf(x)=loga a(x+m)+1(a0(x+m)+1(a0，且，且a1)a1)恒过定点恒过定点(2(2，n)n)，则，则m+nm+n的值为的值为_._.【思路导引思路导引】1.1.先对先对a a分两种情况讨论，再利用平移检验图象是否符合分两种情况讨论，再利用平移检验图象是否符合.2.2.将定点坐标代入求将定点坐标代入求m m，n.n.【解析解析】1.1.选选D.D.当当0a10a1a1时，函数时，函数y=ay=ax x过定点过定点(0(0，1)1)且单调递且单调递增，则函数
11、增，则函数y=y=过定点过定点(0(0，1)1)且单调递减，函数且单调递减，函数y=logy=loga a 过定点过定点 且且单调递增，各选项均不符合单调递增，各选项均不符合.2.2.依题意依题意logloga a(2+m)+1=n(2+m)+1=n 为定值，为定值，可得可得2+m=12+m=1，即，即m=-1m=-1，所以，所以n=1n=1，m+n=0.m+n=0.答案：答案：0 01(x)2x1a1(0)2，1(x)21(0)2，x1a【解题策略解题策略】1.1.对数函数底数对图象的影响对数函数底数对图象的影响 其中其中a a，b b，c c，d d是图象对应的对数函数的底数，是图象对应的
12、对数函数的底数，根据图象，其大小关系为根据图象，其大小关系为0cd1ab.0cd1a0f(x)(a0，且，且a1)a1)的图象过定点时，只需令的图象过定点时，只需令f(x)=1f(x)=1求出求出x x，即，即得定点为得定点为(x(x，m).m).【跟踪训练跟踪训练】在同一直角坐标系中，函数在同一直角坐标系中，函数f(x)=xf(x)=xa a(x0)(x0)，g(x)=logg(x)=loga ax(a0 x(a0且且a1)a1)的图象的图象可能是可能是()【解析解析】选选D.D.对于对于A A项，对数函数的图象过项，对数函数的图象过(1(1，0)0)点，但是幂函数的图象不过点，但是幂函数的
13、图象不过(0(0，1)1)点，所以点，所以A A项不满足要求；对于项不满足要求；对于B B项，由图象知，幂函数中项，由图象知，幂函数中a1a1，对数函，对数函数中数中0a10a1，矛盾，所以，矛盾，所以B B项不满足要求；项不满足要求；对于对于C C项，由图象知幂函数中项，由图象知幂函数中0a10a1a1，矛盾，所以，矛盾，所以C C项不满项不满足要求；足要求；对于对于D D项，由图象知幂函数与对数函数中项，由图象知幂函数与对数函数中0a10a1，所以，所以D D项满足要求项满足要求.【补偿训练补偿训练】在同一坐标系中，函数在同一坐标系中，函数y=ey=e-x-x与函数与函数y=ln xy=l
14、n x的图象可能是的图象可能是()【解析解析】选选C.C.因为函数因为函数y=ey=e-x-x=是减函数，它的图象位于是减函数，它的图象位于x x轴上方，轴上方，y=ln xy=ln x是增函数，它的图象位于是增函数，它的图象位于y y轴右侧，观察四个选项，只有轴右侧，观察四个选项，只有C C符合条件符合条件.x1()e类型三与对数函数相关的定义域、值域类型三与对数函数相关的定义域、值域(数学运算数学运算)角度角度1 1定义域问题定义域问题【典例典例】函数函数y=y=的定义域为的定义域为_._.【思路导引思路导引】列出不等式求范围列出不等式求范围.【解析解析】由题意知由题意知loglog0.5
15、0.5(2x-1)+10(2x-1)+10，则，则loglog0.50.5(2x-1)-1(2x-1)-1，则，则02x-1201x1时，解得时，解得x x ，不成立；，不成立；当当0 x10 x1时，解得时，解得x x ，所以，所以 x1.x0 x(a0，且，且a1)a1)的最大值比最小值大的最大值比最小值大1 1，则底数，则底数a a的值为的值为()【思路导引思路导引】分两种情况分别表示出最大值、最小值后列式求值分两种情况分别表示出最大值、最小值后列式求值.2A.B.C.2 D.22【解析解析】选选AB.AB.当当0a10a1a1时，函数时，函数f(x)f(x)在在22，上是增函数，上是增
16、函数，故故logloga a-log-loga a2=12=1，故，故a=.a=.22【解题策略解题策略】与对数函数值域相关的问题与对数函数值域相关的问题(1)(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法；利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法；(2)(2)若底数中含有字母，需要对底数分大于若底数中含有字母，需要对底数分大于1 1，小于，小于1 1大于大于0 0两种情况讨论两种情况讨论.【题组训练题组训练】1.1.已知函数已知函数f(x)=f(x)=的值域为的值域为-1-1，11，则函数，则函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是()2.2.函数函数y=y=的定义域为的定义域为
17、_._.122log x2A.2 B.1 1212C.2 D.(222，）22log 3x1（）【解析解析】1.1.选选A.A.因为已知函数的值域为因为已知函数的值域为-1-1，11，所以所以 ，化简解得，化简解得 ，故函数故函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为 .2.2.由题意得由题意得loglog2 2(3x+1)2(3x+1)2，则，则03x+1403x+14，解得解得 x1.x1.答案：答案：1211log x222x22222，131(13，【补偿训练补偿训练】函数函数f(x)=2f(x)=2x x+log+log2 2x(x1x(x1，2)2)的值域为的值域为_._.【解析解析
18、】因为因为y=2y=2x x，y=logy=log2 2x x在各自定义域上均为增函数，所以在各自定义域上均为增函数，所以f(x)=2f(x)=2x x+log+log2 2x x在在11，22上单调递增，故上单调递增，故f(x)2f(x)2，5.5.答案：答案：22，55课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.函数函数f(x)=logf(x)=loga a(x+2)(0a1)(x+2)(0a1)的图象必不过的图象必不过()A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限【解析解析】选选A.A.因为因为f(x)=logf(x)=loga a(x+
19、2)(0a1)(x+2)(0a1)的图象是由函数的图象是由函数y=logy=loga ax(0a1)x(0a1)向向左平移左平移2 2个单位得到个单位得到.所以其大致图象如图所示所以其大致图象如图所示.2.2.函数函数y=logy=log2 2x x的定义域是的定义域是11，64)64)，则值域是，则值域是()A.RA.RB.0B.0，+)+)C.0C.0，6)6)D.0D.0，64)64)【解析解析】选选C.C.由函数由函数y=logy=log2 2x x的图象可知的图象可知y=logy=log2 2x x在在(0(0，+)+)上是增函数，因此上是增函数，因此当当x1x1，64)64)时，时
20、，y0y0，6).6).3.(3.(教材二次开发：复习巩固改编教材二次开发：复习巩固改编)利用作图工具作出的利用作图工具作出的a=1.5a=1.5，4 4，时的对数函数时的对数函数y=logy=loga ax x的图象如图所示，的图象如图所示，请你判断对应于请你判断对应于C C1 1，C C2 2，C C3 3的的a a的值分别为的值分别为()A.1.5A.1.5，4 4，B.4B.4，1.51.5，C.C.，1.51.5，4 4D.D.，4 4，1.51.5【解析解析】选选C.C.根据对数函数的性质，显然对应于根据对数函数的性质，显然对应于C C1 1，C C2 2，C C3 3的的a a的
21、值分别为的值分别为 ，1.51.5，4.4.1717171717174.4.已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log2 2(2x-a)(2x-a)，若，若f(2)=0f(2)=0，则，则a=_.a=_.【解析解析】由题意，由题意，f(2)=0f(2)=0，即，即loglog2 2(4-a)=0(4-a)=0，可得可得4-a=14-a=1，则，则a=3.a=3.答案：答案：3 35.5.已知函数已知函数y=logy=loga a(x-3)-1(x-3)-1的图象恒过定点的图象恒过定点P P，则点，则点P P的坐标是的坐标是_._.【解析解析】y=logy=loga ax x的图象恒过点的
22、图象恒过点(1(1，0)0)，令，令x-3=1x-3=1，得，得x=4x=4，则，则y=-1.y=-1.答案：答案：(4(4，-1)-1)对数函数的对数函数的 图象和性质图象和性质核心知识核心知识方法总结方法总结易错提醒易错提醒核心素养核心素养单调性的应用中注意不等符单调性的应用中注意不等符号的选择号的选择直观想象：通过对数函数直观想象：通过对数函数图象的应用，培养直观想图象的应用，培养直观想象的核心素养象的核心素养逻辑推理：通过单调性的逻辑推理：通过单调性的应用，培养逻辑推理的核应用，培养逻辑推理的核心素养心素养定义域、值域定义域、值域过定点过定点单调性单调性利用单调性比较大小时，注意利用单调性比较大小时，注意0 0和和1 1的灵活运用的灵活运用解决过定点问题的关键是令函数解解决过定点问题的关键是令函数解析式中的真数为析式中的真数为1 1求对数型函数求对数型函数y=logy=loga af(x)f(x)的定义域的定义域时特别关注底数的影响时特别关注底数的影响对数函数的图象对数函数的图象对数函数的性质对数函数的性质反函数反函数
