1、5.1.1任意角必备知识必备知识自主学习自主学习导思导思1.1.体操中体操中“前空翻转体前空翻转体540540度度”“”“后空翻转体后空翻转体720720度度”是什么意思？是什么意思？2.2.任意角可以分为哪几类？任意角可以分为哪几类？3.3.什么是终边相同的角？什么是终边相同的角？1.1.任意角任意角(1)(1)角的分类角的分类类型类型定义定义图示图示正正角角一条射线绕其端点，按一条射线绕其端点，按_方向方向旋转形成的角旋转形成的角 负负角角一条射线绕其端点，按一条射线绕其端点，按_方向方向旋转形成的角旋转形成的角 零零角角一条射线没有做任何旋转一条射线没有做任何旋转 逆时针逆时针顺时针顺时
2、针(2)(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.(3)(3)应用：可以定义任意的旋转角应用：可以定义任意的旋转角.2.2.象限角象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x x轴的轴的_重合，那么，角的重合，那么，角的终边终边(除端点外除端点外)在第几象限，就说这个角是在第几象限，就说这个角是_._.如果角的终边在坐标如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.3.终边相同的角终边相同的角(1)(1)定义：所有与角定
3、义：所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内在内.(2)(2)表示：集合表示：集合S=|=+k360S=|=+k360，kZ.kZ.(3)(3)本质：表示成角本质：表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和.非负半轴非负半轴第几象限角第几象限角【思考思考】反过来，若角反过来，若角，满足满足S=|=+k360S=|=+k360，kZkZ时，角时，角，是否是终边相同的角？是否是终边相同的角？提示：提示：当角当角，满足满足S=|=+k360S=|=+k360，kZkZ时，表示成角时，表示成角与与相相隔整数个周角，即角隔整数个周角，即角，终边相同终边相同.【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆
4、辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)经过经过1 1小时，时针转过小时，时针转过3030.()(2)(2)终边与始边重合的角是零角终边与始边重合的角是零角.()(3)(3)第二象限的角是钝角第二象限的角是钝角.()提示：提示：(1)(1)，因为是顺时针旋转，所以时针转过，因为是顺时针旋转，所以时针转过-30-30.(2)(2)，终边与始边重合的角是，终边与始边重合的角是k360k360(kZ).(kZ).(3)(3)，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角.2.2.与与4545角终边相同的角是角终边相同的角是()
5、A.-45A.-45B.225B.225C.395C.395D.-315D.-315【解析解析】选选D.D.与与4545角终边相同的角可以表示为角终边相同的角可以表示为4545+k360+k360，kZkZ，结合，结合四个选项可以发现只有答案四个选项可以发现只有答案D D符合题意符合题意.3.(3.(教材二次开发：例题改编教材二次开发：例题改编)已知已知0 0360360，且，且与与600600角终边相同，角终边相同，则则=_=_，它是第，它是第_象限角象限角.【解析解析】因为因为600600=360=360+240+240，所以，所以240240角与角与600600角终边相同，且角终边相同，
6、且0 0240240360360，故，故=240=240，它是第三象限角，它是第三象限角.答案：答案：240240三三关键能力关键能力合作学习合作学习类型一任意角的概念及应用类型一任意角的概念及应用(数学抽象数学抽象)【题组训练题组训练】1.(20201.(2020杭州高一检测杭州高一检测)下列说法：终边相同的角必相等；锐角必是第下列说法：终边相同的角必相等；锐角必是第一象限角；小于一象限角；小于9090的角是锐角；第二象限的角必大于第一象限的角；的角是锐角；第二象限的角必大于第一象限的角；若角若角的终边经过点的终边经过点M(0M(0，-3)-3)，则角，则角是第三或第四象限的角，其中错误是第
7、三或第四象限的角，其中错误的是的是()A.A.B.B.C.C.D.D.2.2.给出下列四个命题：给出下列四个命题：-75-75是第四象限角；是第四象限角；225225是第三象限角；是第三象限角；475475是第三象限角；是第三象限角；-310-310是第一象限角是第一象限角.其中正确的命题有其中正确的命题有()A.1A.1个个 B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个3.3.将时钟拨快将时钟拨快2020分钟，则分针转过的度数是分钟，则分针转过的度数是_._.【解析解析】1.1.选选C.C.终边相同的角必相等错误，如终边相同的角必相等错误，如0 0与与360360终边相同，但不相终边相同
8、，但不相等；等；锐角的范围为锐角的范围为(0(0，9090)，必是第一象限角，正确；，必是第一象限角，正确；小于小于9090的角是锐角错误，如负角；的角是锐角错误，如负角；第二象限的角必大于第一象限的角错误，如第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120120是第二象限角，是第二象限角，390390是第是第一象限角；一象限角；若角若角的终边经过点的终边经过点M(0M(0，-3)-3)，则角，则角是终边在是终边在y y轴负半轴上的角，故错轴负半轴上的角，故错误误.其中错误的是其中错误的是.2.2.选选C.C.因为因为-90-90-75-7500，所以，所以-75-75是第四象限角，正确；因为是第
9、四象限角，正确；因为180180225225270270，所以，所以225225是第三象限角，正确；是第三象限角，正确；因为因为360360+90+90475475360360+180+180，所以，所以475475是第二象限角，错误；因为是第二象限角，错误；因为-360360-310-310-270-270，所以，所以-310-310是第一象限角，正确是第一象限角，正确.所以这四个命题中有所以这四个命题中有3 3个是正确的个是正确的.3.3.分针每分钟转分针每分钟转6 6，由于顺时针旋转，所以，由于顺时针旋转，所以2020分钟转了分钟转了-120-120.答案：答案：-120-120【解题策
10、略解题策略】根据角的概念解题的关键根据角的概念解题的关键(1)(1)准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限.(2)(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角.【补偿训练补偿训练】已知集合已知集合A=A=第一象限角第一象限角，B=B=锐角锐角，C=C=小于小于9090的角的角，则下，则下面关系正确的是面关系正确的是()A.A=B=CA.A=B=CB.AB.AC CC.AC=BC.AC=BD.BC D.BC C C【解析解析】选选D.D.由已知得由已知得B BC C，所以，所以
11、BC=CBC=C，故，故D D正确正确.类型二终边相同的角的表示及应用类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象直观想象)【典例典例】写出终边落在直线写出终边落在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合S S，并把，并把S S中适合不等式中适合不等式-360360720720的元素的元素写出来写出来.四步四步内容内容理解理解题意题意条件：角的终边在直线条件：角的终边在直线y=xy=x上上.结论：求角的集合；结论：求角的集合；求适合求适合-360-360720720的角的角.思路思路探求探求在在0 0360360内找到终边在内找到终边在y=xy=x上的角；上的角；推广到任意角；推广到任意角；找出找
12、出-360-360720720内的角内的角.四步四步内容内容书写书写表达表达直线直线y=xy=x与与x x轴的夹角是轴的夹角是4545，在，在0 0360360范围内，终边在直线范围内，终边在直线y=xy=x上的角有两个：上的角有两个：4545，225225.因此，终边在直线因此，终边在直线y=xy=x上的角的集合：上的角的集合：S=|=45S=|=45+k360+k360，kZ|=225kZ|=225+k360+k360，kZkZ=|=45=|=45+2k180+2k180，kZ|=45kZ|=45+(2k+1)180+(2k+1)180，kZ=|=45kZ=|=45+n180+n180，n
13、Z.nZ.所以所以S S中适合中适合-360-360720720的元素是：的元素是：4545-2-2180180=-315=-315；4545-1-1180180=-135=-135；4545+0+0180180=45=45；4545+1+1180180=225=225；4545+2+2180180=405=405；4545+3+3180180=585=585.注意解题过程的规范性：注意解题过程的规范性：终边在直线终边在直线y=xy=x上注意讨论两种情况上注意讨论两种情况.这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合.四步四步内容内容题后题后反思反思在在0
14、0360360范围内，终边在范围内，终边在y=xy=x上的角有两个，这是同学们容上的角有两个，这是同学们容易忽视的地方；最后在易忽视的地方；最后在-360-360720720求角时，要适当选取求角时，要适当选取k k的值的值.【解题策略解题策略】(1)(1)一般地，可以将所给的角一般地，可以将所给的角化成化成k360k360+的形式的形式(其中其中0 0360360，kZ)kZ)，其中的，其中的就是所求的角就是所求的角.(2)(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加角时，采用连续加36
15、0360的方式；当所给角是正角时，采用连续减的方式；当所给角是正角时，采用连续减360360的方式，的方式，直到所得结果达到要求为止直到所得结果达到要求为止.特别提醒：表示终边相同的角时，特别提醒：表示终边相同的角时，kZkZ这一条件不能省略这一条件不能省略.【跟踪训练跟踪训练】1.(20201.(2020济南高一检测济南高一检测)下列各角中，与角下列各角中，与角3030终边相同的角是终边相同的角是()A.-390A.-390 B.-330B.-330C.330C.330D.570D.570【解析解析】选选B.B.与角与角3030终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为|=30|=30+k36
16、0+k360，kZkZ，取取k=-1k=-1，可得，可得=-330=-330，所以与角所以与角3030终边相同的角是终边相同的角是-330-330.2.2.写出终边落在写出终边落在x x轴上的角的集合轴上的角的集合S.S.【解析解析】S=|=k360S=|=k360，kZ|=k360kZ|=k360+180+180，kZkZ=|=2k180=|=2k180，kZ|=(2k+1)180kZ|=(2k+1)180，kZkZ=|=n180=|=n180，nZ.nZ.【拓展延伸拓展延伸】运用终边相同的角的注意点运用终边相同的角的注意点所有与角所有与角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同角在内可以用式
17、子在内可以用式子k360k360+，kZkZ表示，在运用时需注意以下四点：表示，在运用时需注意以下四点：(1)k(1)k是整数，这个条件不能漏掉是整数，这个条件不能漏掉.(2)(2)是任意角是任意角.(3)k360(3)k360与与之间用之间用“+”+”连接，如连接，如k360k360-30-30应看成应看成k360k360+(-+(-3030)，kZ.kZ.(4)(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍数个，它们相差周角的整数倍.【拓展训练拓展训练】写出与写出与=-1 91
18、0=-1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720720360360的元素的元素写出来写出来.【解析解析】与与=-1 910=-1 910终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为|=k360|=k360-1 910-1 910，kZ.kZ.因为因为-720-720360360，即，即-720-720k360k360-1 910-1 910360360(kZ)(kZ)，所以所以3 k6 (kZ)3 k6 (kZ)，故取，故取k=4k=4，5 5，6.6.k=4k=4时，时，=4=4360360-1 910-1 910=-470=-470；k=
19、5k=5时，时，=5=5360360-1 910-1 910=-110=-110；k=6k=6时，时，=6=6360360-1 910-1 910=250=250.11361136类型三象限角及其应用类型三象限角及其应用(直观想象直观想象)角度角度1 1用不等式组表示角的集合用不等式组表示角的集合【典例典例】如图所示如图所示.(1)(1)写出终边落在射线写出终边落在射线OAOA，OBOB上的角的集合上的角的集合.(2)(2)写出终边落在阴影部分写出终边落在阴影部分(包括边界包括边界)的角的集合的角的集合.【思路导引思路导引】(1)(1)根据题目给出的角度分别写出根据题目给出的角度分别写出OAO
20、A，OBOB表示的角表示的角.(2)(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.【解析解析】(1)(1)终边落在射线终边落在射线OAOA上的角的集合是上的角的集合是|=k360|=k360+210+210，kZ.kZ.终边落在射线终边落在射线OBOB上的角的集合是上的角的集合是|=k360|=k360+300+300，kZ.kZ.(2)(2)终边落在阴影部分终边落在阴影部分(含边界含边界)的角的集合是的角的集合是|k360|k360+210+210k360k360+300+300，kZ.kZ.【变式探究变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分
21、的角的集合如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.【解析解析】设终边落在阴影部分的角为设终边落在阴影部分的角为，角，角的集合由两部分组成的集合由两部分组成.|k360|k360+30+30k360k360+105+105，kZ.kZ.|k360|k360+210+210k360k360+285+285，kZ.kZ.所以角所以角的集合应当是集合与的并集，即的集合应当是集合与的并集，即S=|k360S=|k360+30+30k360k360+105+105，kZkZ|k360|k360+210+210k360k360+285+285，kZkZ=|2k180=|2k180+30+302k1802k
22、180+105+105，kZkZ|(2k+1)180|(2k+1)180+30+30(2k+1)180(2k+1)180+105+105，kZkZ=|2k180=|2k180+30+302k1802k180+105+105或或(2k+1)180(2k+1)180+30+30(2k+1)180(2k+1)180+105+105，kZkZ=|n180=|n180+30+30n180n180+105+105，nZ.nZ.角度角度2 2nn或或 所在象限的判定所在象限的判定【典例典例】若若是第二象限角，则是第二象限角，则22，分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？【思路导引思路导引】根据已知条件，用
23、不等式表示出根据已知条件，用不等式表示出的范围，再求出的范围，再求出nn或或 的范的范围，然后判定所在象限即可围，然后判定所在象限即可.n2n【解析解析】(1)(1)因为因为是第二象限角，是第二象限角，所以所以9090+k360+k360180180+k360+k360(kZ)(kZ)，所以所以180180+k720+k72023602360+k720+k720，所以所以22是第三或第四象限的角，或角的终边在是第三或第四象限的角，或角的终边在y y轴的非正半轴上轴的非正半轴上.(2)(2)因为因为是第二象限角，是第二象限角，所以所以9090+k360+k360180180+k360+k360(
24、kZ)(kZ)，所以所以4545+k180+k180 90 90+k180+k180(kZ).(kZ).当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时，时，4545+n360+n360 90 90+n360+n360(nZ)(nZ)，即即 是第一象限角；是第一象限角；当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时，时，225225+n360+n360 270 270+n360+n360(nZ)(nZ)，即即 是第三象限角是第三象限角.故故 是第一或第三象限角是第一或第三象限角.222222【解题策略解题策略】关于角关于角nn或或 象限的确定象限的确定(1)(1)由由的范围，表示出的范围，表示出nn，的
25、范围，由的范围，由n n的取值确定象限的取值确定象限.(2)(2)特别地，求特别地，求 所在象限时，可以把每个象限等分为所在象限时，可以把每个象限等分为n n份，在每一份中按顺份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.nnn【题组训练题组训练】1.1.角角=-60=-60+k180+k180(kZ)(kZ)的终边落在的终边落在()A.A.第四象限第四象限B.B.第一、二象限第一、二象限C.C.第一象限第一象限D.D.第二、四象限第二、四象限【解析解析】选选D.D.令令k=0k=0，=-60=-60，在第四象限；，在第四象限；再令再令k=
26、1k=1，=-60=-60+180+180=120=120，在第二象限，在第二象限.2.2.已知角已知角的终边在如图阴影表示的范围内的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界不包含边界)，那么角，那么角的集合是的集合是_._.【解析解析】观察图形可知，角观察图形可知，角的集合是的集合是|k360|k360+45+45k360k360+150+150，kZ.kZ.答案：答案：|k360|k360+45+45k360k360+150+150，kZkZ3.3.若角若角是第一象限角，则是第一象限角，则(1)-(1)-是第是第_象限角；象限角；(2)(2)是第是第_象限角象限角.【解析解析】因为因为是第一
27、象限角，所以是第一象限角，所以k360k360k360k360+90+90(kZ).(kZ).(1)-k360(1)-k360-90-90-k360-k360(kZ)(kZ)，所以所以-所在区域与所在区域与(-90(-90，0 0)范围相同，故范围相同，故-是第四象限角是第四象限角.3(2)(2)方法一方法一(分类讨论分类讨论)：k120k120 k120 k120+30+30(kZ).(kZ).当当k=3n(nZ)k=3n(nZ)时，时，n360n360 n360 n360+30+30，所以所以 是第一象限角；是第一象限角；当当k=3n+1(nZ)k=3n+1(nZ)时，时，n360n360
28、+120+120 n360 n360+150+150，3333所以所以 是第二象限角；是第二象限角；当当k=3n+2(nZ)k=3n+2(nZ)时，时，n360n360+240+240 n360 n360+270+270，所以所以 是第三象限角是第三象限角.综上可知，综上可知，是第一或第二或第三象限角是第一或第二或第三象限角.3333方法二方法二(几何法几何法)：如图，先将各象限分成：如图，先将各象限分成3 3等份，再从等份，再从x x轴的正向的上方起，依轴的正向的上方起，依次将各区域标上次将各区域标上1 1，2 2，3 3，4 4，则标有，则标有1 1的区域即为的区域即为 角的终边落在的区域
29、，故角的终边落在的区域，故 为第一或第二或第三象限角为第一或第二或第三象限角.答案：答案：(1)(1)四四(2)(2)一或二或三一或二或三3【补偿训练补偿训练】已知已知为第一象限角，求为第一象限角，求180180-是第是第_象限角象限角.【解析解析】因为因为为第一象限角，为第一象限角，所以所以k360k360k360k360+90+90，kZkZ，所以所以k180k180 k180 k180+45+45，kZkZ，所以所以-45-45-k180-k180-k180-k180，kZkZ，所以所以135135-k180-k180180180-180-180-k180-k180，kZ.kZ.2222
30、当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时，时，135135-n360-n360180180-180-180-n360-n360，为第二象限，为第二象限角；角；当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时，时，-45-45-n360-n360180180-n360-n360，为第四象限角，为第四象限角.所以所以180180-是第二或第四象限角是第二或第四象限角.答案：答案：二或四二或四222课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.在下列说法中，正确的是在下列说法中，正确的是()时钟经过两个小时，时针转过的角是时钟经过两个小时，时针转过的角是6060；钝角一定大于锐角；钝角一定大于锐角；射线射线O
31、AOA绕端点绕端点O O按逆时针旋转一周所成的角是按逆时针旋转一周所成的角是0 0；-2 000-2 000是第二象限角是第二象限角.A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选D.D.时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转6060，因而转过的，因而转过的角为角为-60-60，所以不正确，所以不正确.钝角钝角的取值范围为的取值范围为9090180180，锐角，锐角的的取值范围为取值范围为0 09090，因此钝角一定大于锐角，所以正确，因此钝角一定大于锐角，所以正确.射线射线OAOA按逆按逆时针旋转一周所成的角是时针旋转一周所成的角是360360，所以不
32、正确，所以不正确.-2 000-2 000=-6=-6360360+160+160与与160160终边相同，是第二象限角，所以正确终边相同，是第二象限角，所以正确.2.1792.179角是角是()A.A.第一象限角第一象限角B.B.第二象限角第二象限角C.C.第三象限角第三象限角D.D.第四象限角第四象限角【解析解析】选选B.179B.179是第二象限角是第二象限角.3.(3.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)与与-457-457角终边相同的角的集合是角终边相同的角的集合是()A.|=k360A.|=k360+457+457，kZkZB.|=k360B.|=k360+97+97，
33、kZkZC.|=k360C.|=k360+263+263，kZkZD.|=k360D.|=k360-263-263，kZkZ【解析解析】选选C.-457C.-457=-2=-2360360+263+263，所以与，所以与-457-457角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合是是|=k360|=k360+263+263，kZ.kZ.4.4.若角若角=m360=m360+60+60，=k360=k360+120+120(m(m，kZ)kZ)，则角，则角与与的终边的终边的位置关系是的位置关系是()A.A.重合重合 B.B.关于原点对称关于原点对称C.C.关于关于x x轴对称轴对称D.D.关于关于y
34、 y轴对称轴对称【解析解析】选选D.D.角角的终边和的终边和6060角的终边相同，角角的终边相同，角的终边与的终边与120120角终边相角终边相同，同，因为因为180180-120-120=60=60，所以角所以角与与的终边的位置关系是关于的终边的位置关系是关于y y轴对称轴对称.5.2 0215.2 021角是第角是第_象限角象限角.【解析解析】因为因为2 0212 021=5=5360360+221+221，因为因为221221角在第三象限，所以角在第三象限，所以2 0212 021是第三象限角是第三象限角.答案：答案：三三 任意角任意角核心知识核心知识方法总结方法总结易错提醒易错提醒核心
35、素养核心素养角的概念、表示及分类角的概念、表示及分类象限角象限角终边相同的角终边相同的角象限角的两种判断方法：（象限角的两种判断方法：（1 1）化成终边相同角的表示形式；化成终边相同角的表示形式；（2 2）在坐标系中画出相应的角，）在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置观察终边的位置求在给定范围内终边相同角的方求在给定范围内终边相同角的方法：写出终边相同的角的表示，法：写出终边相同的角的表示，根据给定范围建立关于根据给定范围建立关于k k的不等的不等式，解出式，解出k,k,根据根据k k确定角确定角终边相同的角中必须保证终边相同的角中必须保证k k是整数是整数数学抽象：通过具体实例数学抽象：通过具体实例抽象出象限角、终边相同抽象出象限角、终边相同角的概念，培养数学抽象角的概念，培养数学抽象的核心素养的核心素养
