1、20222022年年1111月月1717日日第一个算出地球周长的埃拉托色尼 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275前194)。埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。埃拉托色尼天才地将天文学与测地学结合起来，选择同一子午线上的两地西恩纳（今天的阿斯旺）和相距800公里的亚历山大里亚，在夏至日那天进行太阳位置观察的比较。在西恩纳附近，尼罗河的一个河心岛洲上，有一口深井，夏至日那天太阳光可直射井底。它表明太阳在夏至日正好位于天顶。与此同时，他在亚历山大里亚选择一
2、个很高的方尖塔，并测量了夏至日那天塔的阴影长度，这样他就可以量出直立的方尖塔和太阳光射线之间的角度。第一个算出地球周长的埃拉托色尼 获得了这些数据之后，他运用了泰勒斯的数学定律，即一条射线穿过两条平行线时，它们的同位角相等。埃拉托色尼通过观测得到了这一角度为712，即相当于圆周角360 的l50。由此表明，这一角度对应的弧长，即从西恩纳到亚历山大里亚的距离，应相当于地球周长的1/50。由此换算出地球圆周长约为40000公里。西恩纳西恩纳亚历山大亚历山大里亚里亚o o7.57.5o o 问题一问题一?.最省工的含义是什么？用什么量来刻划？A BP C D 某农场在某农场在P P处有一个肥堆，现在
3、要把这堆肥料沿小处有一个肥堆，现在要把这堆肥料沿小道道PAPA、PBPB经过经过A A、B B稍稍休息后运到稍稍休息后运到ABAB另一侧的大田另一侧的大田ABCDABCD处。已知处。已知PA=500PA=500米米,PB=1000PB=1000米，米，APB=,APB=,试说试说明怎样运肥料才能最省工？明怎样运肥料才能最省工？3 2.大田ABCDABCD中的点M可分为三类（1）沿AP、BP到P距离相等:|MA|+5=|MB|+10，即|MA|-|MB|=5（2）沿BP到P较近:|MA|+5|MB|+10,即|MA|-|MB|5（3）沿AP到P较近：|MA|+5|MB|+10,即|MA|-|MB
4、|5A BP C D 某农场在某农场在P P处有一个肥堆，现在要把这堆肥料沿小处有一个肥堆，现在要把这堆肥料沿小道道PAPA、PBPB经过经过A A、B B稍稍休息后运到稍稍休息后运到ABAB另一侧的大田另一侧的大田ABCDABCD处。已知处。已知PA=500PA=500米米,PB=1000PB=1000米米APB=,APB=,试说明试说明怎样运肥料才能最省工？怎样运肥料才能最省工？3 问题问题一一 解：设解：设M沿沿APAP、BPBP到到P P同样近，据题意同样近，据题意|MA|+5=|A|+5=|MB|+10,B|+10,从而从而|MA|-|A|-|MB|=5.B|=5.根据双曲线第一定义
5、，点根据双曲线第一定义，点M在以在以A A，B B为为焦点的双曲线右支上焦点的双曲线右支上.在在APB中，由余弦定理中，由余弦定理|AB|=52+102-2510cos60=75 以线段以线段AB所在直线为所在直线为x轴，轴，AB的的中垂线为中垂线为Y轴，建立直角坐标系。设轴，建立直角坐标系。设M所在双曲线方程为所在双曲线方程为1byax2222 根据已知有根据已知有2a=5,2c=5 3225acb22 A BP C D 145042522 yx其中其中 022321 yx且且xyoM 问题问题一一 145042522 yx其中其中 022321 yx且且 当当 M 在 双 曲 线 的在 双
6、 曲 线 的 左 侧左 侧 时时|M A|-|MB|=|MA|-|MS|-|SB|5 于是运肥料时，将大于是运肥料时，将大田田ABCD中在双曲线右支中在双曲线右支左侧的地点处肥料从左侧的地点处肥料从P处处沿沿PA运到该处，右侧的运到该处，右侧的地点处肥料沿地点处肥料沿PB运到该运到该处。处。A BP C D M s 问题问题二二 为了保护和改善生态环境，某公司要在大西北荒漠为了保护和改善生态环境，某公司要在大西北荒漠上开垦出一个上开垦出一个平行四边形区域平行四边形区域建成一个农艺园（实验建成一个农艺园（实验区），计划以相距区），计划以相距6 6千米的千米的A A，B B两地为这个平行四边形两地
7、为这个平行四边形一组相对的顶点。由于新建农艺园（实验区）的脆弱，一组相对的顶点。由于新建农艺园（实验区）的脆弱，必须有较好的防护围墙以抵御风沙。按照规划，可提供必须有较好的防护围墙以抵御风沙。按照规划，可提供的围墙总长为的围墙总长为2020千米。千米。(1)(1)请你担任设计师，指出这个请你担任设计师，指出这个平行四边形区域平行四边形区域另外两个顶点可选择的位置？另外两个顶点可选择的位置？(2)(2)在平在平行四边形形状不同的情况下，农艺园的占地面积是否一行四边形形状不同的情况下，农艺园的占地面积是否一样呢？你能否帮助样呢？你能否帮助给出一个最优的设计方案给出一个最优的设计方案？A BM N
8、问问题题二二 解：由题意可知平行四边形另解：由题意可知平行四边形另外两个顶点在以外两个顶点在以A、B为焦点的为焦点的椭圆上。以椭圆上。以AB所在的直线为所在的直线为x轴，轴，AB的中垂线为的中垂线为y轴，建立轴，建立直角坐标系。设直角坐标系。设M(x,y),则可设则可设椭圆的方程为椭圆的方程为 12222 byax其中其中a=5,c=3,b=4，22ca S=2 (|AB|yC|)=2 (64)=242121即当即当C C为椭圆短轴端点时，农为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大。艺园的面积最大。A BM NXYO 问问题题二二 解：由题意可知平行四边形另解：由题意可知平行四边形另外两个顶点在以外
9、两个顶点在以A、B为焦点的为焦点的椭圆上。以椭圆上。以AB所在的直线为所在的直线为x轴，轴，AB的中垂线为的中垂线为y轴，建立轴，建立直角坐标系。设直角坐标系。设M(x,y),则可设则可设椭圆的方程为椭圆的方程为 12222 byax其中其中a=5,c=3,b=4，22ca S=2 (|AB|yC|)=2 (64)=242121即当即当C C为椭圆短轴端点时，农为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大。艺园的面积最大。小结 解决实际问题的步骤为：审题：读出关键性语句所蕴涵的数学信息，分清变量与不变量。建模：寻求量与量的关系或者变量的变化规律，建立数学关系式即数学模型。解决数学问题：利用数学知识，通过
10、推理，求解，正确得出数学上的结论。回归实际问题：通过分析数学结论，得出实际问题的解答 。A BM NXYO 问题三问题三 A A、B B、C C是我方三个炮兵阵地，是我方三个炮兵阵地，A A在在B B的正东，相距的正东，相距6 6千米，千米，C C在在B B的北偏西的北偏西3030，相距，相距4 4千米，千米，P P为敌人炮兵阵地，某时刻为敌人炮兵阵地，某时刻A A发发现敌人炮兵阵地的某种信号，由于现敌人炮兵阵地的某种信号，由于B B、C C两地比两地比A A距距P P地远，因此地远，因此4 4秒后秒后B B、C C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒一才同时发现这一信号（该信号的传播速
11、度为每秒一千米），千米），A A若炮击若炮击P P地，地，求炮击的方位角。求炮击的方位角。ABCP A A、B B、C C是我方三个炮兵阵地，是我方三个炮兵阵地，A A在在B B的正东，相距的正东，相距6 6千米，千米，C C在在B B的北偏的北偏西西3030，相距，相距4 4千米，千米，P P为敌人炮兵阵地，某时刻为敌人炮兵阵地，某时刻A A发现敌人炮兵阵地的某种发现敌人炮兵阵地的某种信号，由于信号，由于B B、C C两地比两地比A A距距P P地远，因此地远，因此4 4秒后秒后B B、C C才同时发现这一信号才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒一千米），（该信号的传播速度为每秒一千米
12、），A A若炮击若炮击P P地，地，求炮击的方位角。求炮击的方位角。ABCP解：以解：以A A、B B中点为原点，正东中点为原点，正东,正北方正北方向为向为x x轴，轴，y y轴，建立平面直角坐标系，轴，建立平面直角坐标系，则则 ),3C(-5,2B(-3,0),0),A(3 依题意依题意|PB|-|PA|=4PB|-|PA|=4，PP在以在以A A、B B为焦点的双曲线右为焦点的双曲线右支上，其中支上，其中c=3c=3，a=2a=2，b b2 2=5=5，方程为方程为 (1)2)(X 15y4x22 又又|PB|=|PC|PB|=|PC|，PP在线段在线段BCBC的垂直平分的垂直平分线上，方
13、程为线上，方程为 (2)07y3-x (2)(2)代入代入(1)(1)得得 ，,025656x-11x 2 。35y ,）（舍 1132x8,x 解得121 )35,8(P.60 ,3tanK 又PA P P点为点为A A点的点的东偏北东偏北6060处，处，若炮击若炮击P P地，地，炮击的方位角炮击的方位角为东偏北为东偏北6060。X XY YO O小结 数学在生产、生活中发挥着重要的指导作用。任何数学应用题都来源于实践，这就要求同学们要善于观察周围的事物，发现问题，并尝试利用所学的知识建立数学模型来解决它。要求:1.牢固掌握圆锥曲线定义及其性质，并能利用有关知识解决实际问题；2.掌握利用数学模型解决实际问题的方法步骤：读出关键性语句所蕴涵的数学信息，分清变量与不变量。寻求量与量的关系或者变量的变化规律，建立数学关系式即数学模型。利用数学知识，通过推理，求解，正确得出数学上的结论。通过分析数学结论，得出实际问题的解答。20222022年年1111月月1717日日
