1、勾股定理 2学习目标：1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。3经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方活 动 1abcABC如果在Rt ABC中，C=90,那么222.abc结论变形结论变形c2=a2 +b2abcABC 有一种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长ACBbac45ACBbac30 a:b:c=1:1:2 a:b:c=1:3:2a=5 cm时求b=？c=？c=6 cm时求b=？
2、a=？勾股小常识：勾股数 1、基本勾股数如：大家一定要熟记 2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10 ；9、12、1510、24、26；15、36、39112、13 2、3 4 5、5 12 13、7 24 25、（1）求出下列直角三角形中未知的边610ACB8A15CB练 习302245回答：在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？直角三角形哪条边最长？（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长1 m2 mACBD2222125ACABBC在Rt ABC中，B=90,由勾股定理可知：活 动 2问题（1）在长方
3、形ABCD中AB、BC、AC大小关系？ACBDABBCAC222ACABBC活 动 2（2）一个门框尺寸如下图所示若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长3米，宽1.5米呢？若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1 m2 m木板的宽2.2米大于1米，横着不能从门框通过；木板的宽2.2米大于2米，竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？（3）有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD22225050500071()ACABBCdm 解：在R
4、t ABC中，B=90,AC=BC=50,由勾股定理可知：活 动 3（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）活 动 3（2）变式：以上题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB 例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m吗？ABCDE解：在RtABC中，ACB=90 AC2+BC2AB2 2.42+BC22.52 BC0.7m由题意得：DEAB2.5
5、mDCACAD2.40.42m在RtDCE中，BE1.50.70.8m0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m DCE=90 DC2+CE2DE2 22+BC22.52 CE1.5m练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，
6、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=x km，根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2又 DE=CE AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。X=10则 BE=（25-x）km1510例3:在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度A
7、C为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB252+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1 X=12 X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.例例4:矩形矩形ABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D落在落在BC边上的边上的点点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，求折痕，求折痕AE的长。的长。ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8 X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108 B=90 AB2+BF2AF282+BF2102 BF6CFBCBF106464 C=90 CE2+CF2EF2(8 X)2+4
8、2=X264 16X+X2+16=X280 16X=016X=80X=5例5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3 （B)5 （C）2 （D）1ABABC21分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.B活 动 3（3）如图，分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为 123SSS 活 动 3（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？S1S2S3活 动 4（1）这节课你有什么收获？（2）作业教材第78 页习题第2
9、、3、4、5题教材第79页习题第12题1在RtABC中,C=90,(1)已知:a=5,b=12,求c;(2)已知:b=6,c=10,求a;(3)已知:a=7,c=25,求b;(4)已知:a=7,c=8,求b 2 一直角三角形的一直角边长为7,另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长3如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？应用知识回归生活4米3米4.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移（）5.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需（）米6
10、.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变 B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3ABC17B7如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离ABC409016040应用知识回归生活 8小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机小明量了电视机的屏幕，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？应用知识回归生活9/在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m。10小明想知道学校旗杆的高
11、，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解:设竹竿长X米,则城门高为(X1)米.根据题意得:32+(X1)2=X29+X2 2X+1=X210 2X=02X=10X=5答:竹竿长5米12.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.解:设竹竿高X尺,则门高为(X1)尺.根据题意得:42+(X
12、1)2=X216+X2 2X+1=X217 2X=02X=17X=8.5答:竹竿高8.5尺,门高为 7.5尺.13在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_ _米。15ABCDEF14.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=_。15.如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？AECDB16.一只蚂
13、蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_cm。AB17.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_?3?2?20?B?A18.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？19在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？CDA.B.305040图305040CDA.B.ADCB3050408000408022CCDA.B.ACBD图3040503040509000903022CCDA.B.图50ADCB40303040507400705022 6做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明20.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做多长？ABC12cmR=2.5cm12cm
