1、第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1.2 勾股定理的应用提问 这节课我们就来学习用勾股定理解决实这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题际问题.1.能应用勾股定理计算直角三角形的边长能应用勾股定理计算直角三角形的边长.2.能应用勾股定理解决简单的实际问题能应用勾股定理解决简单的实际问题.运用勾股定理求直角三角形的边长运用勾股定理求直角三角形的边长.从实际问题中构造直角三角形解决生产、从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题生活中的有关问题.例例1一个门框的尺寸如图一个门框的尺寸如图所示，一块长所示，一块长3 m，宽，宽2.2 m的长的长方形薄木板能否从门框内通过？方形薄木板能
2、否从门框内通过？为什么？为什么？已知条件有哪些？已知条件有哪些？观察1.木板能横着或竖着从门框通过吗？木板能横着或竖着从门框通过吗？2.这个门框能通过的最大长度是多少？这个门框能通过的最大长度是多少？不能不能3.怎样判定这块木板能否通过木框？怎样判定这块木板能否通过木框？求出斜边的长，与木板的宽比较求出斜边的长，与木板的宽比较.解：解：在在RtABC中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5AC=2.24 因为因为AC大于木板的宽大于木板的宽2.2 m，所，所以木板能从门框内通过以木板能从门框内通过例例2如图，一架如图，一架2.6米长的梯子米长的梯子AB 斜靠在
3、斜靠在一竖直的墙一竖直的墙AO上，这时上，这时AO 为为2.4米米（1）求梯子的底端）求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米？多少米？（2）如果梯子的顶端）如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑0.5米，那么梯子底端米，那么梯子底端B也外移也外移0.5米吗？米吗？CODBA在在RtCOD中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.解：解：在在RtAOB中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.练习1.如图，池塘边有两点如图，池塘边有两点A，B，点，点C是与是与BA方向成直方向成直角的角的AC方向
4、上一点，测得方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求求A，B两点间的距离（结果取整数）两点间的距离（结果取整数）.解解:2.如图，在平面直角坐标系中有两点如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和和B（0，4）.求这两点之间的距离求这两点之间的距离.解解:由图可知两点之间的由图可知两点之间的距离为距离为AB的长的长.思考 在八年级上册中我们曾经通过画图得到在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等角三角形全等。学习了勾股定理后，你能证。学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？明这一结论吗？已知：如图，在已知
5、：如图，在RtABC和和RtABC中，中，C=C=90，AB=AB，AC=AC.求证：求证：ABCABC.证明：在证明：在RtABC和和RtABC中，中，C=C=90根据勾股定理，得根据勾股定理，得又又AB=AB,AC=AC，BC=BC.ABCABC（SSS）.探究我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？的点吗？分析：13开方就是开方就是 ，如果一个三角形的斜边长为，如果一个三角形的斜边长为 的话，问题就可迎刃而解了。的话，问题就可迎刃而解了。发现 是直角边分别为是直角边分别为2，3的
6、直角三角形的斜边长。的直角三角形的斜边长。23O 1 2 3ABC提问你能用语言叙述一下作图过程吗？你能用语言叙述一下作图过程吗？在数轴上找到点在数轴上找到点A，使，使OA=3;作直线作直线lOA，在，在l上取一点上取一点B，使，使AB=2;以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交为半径作弧，弧与数轴交于于C点，则点点，则点C即为表示即为表示 的点。的点。下面都是利用勾股定理画出的美丽图形。下面都是利用勾股定理画出的美丽图形。练习1.在数轴上作出表示在数轴上作出表示 的点的点.解：如图的数轴上找到点解：如图的数轴上找到点A，使，使OA=4,作直线作直线l垂垂直于直于OA，在
7、，在l上取点上取点B，使，使AB=1，以原点，以原点O为圆心，为圆心，以以OB为半径作弧，弧与数轴的交点为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示即为表示 的点的点.2.如图，等边三角形的边长是如图，等边三角形的边长是6.求：求：（1）高）高AD的长；的长；（2）这个三角形的面积）这个三角形的面积.解：（解：（1）ADBC于于D，则，则BD=CD=3.在在RtABD中，由勾股定理中，由勾股定理AD2=AB2-BD2=62-32=27，故，故AD=3 5.2（2）S=BCAD=63 15.61.求出下列直角三角形中未知的边求出下列直角三角形中未知的边.AC=8AB=172.直角三角形中，以直角边为边长
8、的两个正方形面直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为积为7和和8，则以斜边为边长的正方形的面积，则以斜边为边长的正方形的面积为为 .153.如图，池塘边有两点如图，池塘边有两点A，B，点，点C是与是与BA方向成直角的方向成直角的AC方向上的一点，现测方向上的一点，现测得得CB=60m，AC=20m.求求A，B两点间的两点间的距离距离(结果取整数结果取整数).4.如图，在平面直角坐标系中有两如图，在平面直角坐标系中有两点点A(5，0)和和B(0，4)，求这两点间，求这两点间的距离的距离.解：解：解：点解：点A即为表示即为表示 的点的点.5.在数轴上作出表示在数轴上作出表示 的点的点.在在
9、ABC中中，若若AC=15，BC=13，AB边上边上的高的高CD=12，则则ABC的周长为的周长为()A.32B.42C.32或或42D.以上都不对以上都不对如图，如图，CD在在ABC内部时，内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，此时，ABC的周长的周长=14+13+15=42，如图，如图，CD在在ABC 外部时，外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，此时，ABC的周长的周长=4+13+15=32.综上所综上所述，述，ABC的周长为的周长为32或或42.故选故选C.勾股定理的应用化非直角三角形为直角三角形化非直角三角形为直角三角形将实际问题转化为直角三角形模型将实际问题转化为直角
10、三角形模型拓展延伸思考这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？解：设水深为解：设水深为h尺尺.由题意得：由题意得：AC=,BC=2,OC=h,由勾股定理得：由勾股定理得：复习巩固复习巩固1.设直角三角形的两条直角边长分别为设直角三角形的两条直角边长分别为a和和b，斜边长为斜边长为c.（1）已知）已知a=12,b=5，求，求c；（2）已知）已知a=3,c=4，求，求b；（3）已知）已知c=10,b=9，求，求a.c=132.一木杆在离地面一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落处折断，木杆顶端落在离木杆底端在离木杆底端4m处处.木杆折断之前有多高？木杆
11、折断之前有多高？解解:如图，根据题意如图，根据题意ABC是直角是直角三角形，其中三角形，其中AC=3m，BC=4m.AB2=AC2+BC2=32+42=52.AB=5，又，又AC+AB=8，所以木杆折断之前有所以木杆折断之前有8m高高.3.如图，一个圆锥的高如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径，底面半径OB=0.7.AB的长是多少？的长是多少？解解:圆锥的高圆锥的高AO，半径，半径OB，母线，母线AB构成直角三角形，构成直角三角形，在在RtAOB中，由勾股定理中，由勾股定理:AB2=AO2+BO2=2.42+0.72=5.76+0.49=6.25，所以所以AB=2.5.所以所以AB的长为的
12、长为2.5.4.已知长方形零件尺寸（单位：已知长方形零件尺寸（单位：mm）如图，求）如图，求两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）两孔中心的距离（结果保留小数点后一位）.解解:由图由图:AC=40-21=19mm，BC=60-21=39mm，在在RtABC中，中，ACB=90，由勾股定理由勾股定理:AB2=AC2+BC2=192+392=1882，AB43.4(mm)所以两孔中心的距离约为所以两孔中心的距离约为43.4mm.5.如图，要从电线杆离地面如图，要从电线杆离地面5 m处向地面拉一条长处向地面拉一条长为为7 m的钢缆的钢缆.求地面钢缆固定点求地面钢缆固定点A到电线杆底部到电线杆底部B的
13、距离（结果保留小数点后一位）的距离（结果保留小数点后一位）.解：由勾股定理：解：由勾股定理：AB2=72-52=24，AB=2 4.9（m）所以地面钢缆固定点所以地面钢缆固定点A到电线杆底到电线杆底部部B的距离约为的距离约为4.9m.6.在数轴上作出表示在数轴上作出表示 的点的点.解：在如图的数轴上找到一点解：在如图的数轴上找到一点A，使，使OA=4，作直，作直线线l垂直于垂直于OA，在，在l上取一点上取一点B，使，使AB=2，以原点，以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点为半径作弧，弧与数轴的交点C即即为表示为表示 的点的点.综合应用综合应用7.在在ABC中，中，C=90
14、，AB=c.（1）如果）如果A=30，求，求BC，AC;（2）如果）如果A=45，求，求BC，AC;解解:（1）BC=AB=c.由勾股定理：由勾股定理：AC2=AB2-BC2=c2-c2=c2，所以，所以AC=c；7.在在ABC中，中，C=90，AB=c.（2）如果）如果A=45，求，求BC，AC;解解:（2）AC=BC.由勾股定理：由勾股定理：AC2+BC2=AB2，即，即2AC2=c2，AC2=，所以所以AC=BC=c.8.在在ABC中，中，C=90，AC=2.1，BC=2.8，求：（求：（1）ABC的面积；的面积；（2）斜边）斜边AB；（3）高）高CD.解：（解：（1）S=ACBC=2.
15、12.8=2.94（2）由勾股定理：）由勾股定理：AB=CD=1.689.已知一个三角形工件尺寸（单位：已知一个三角形工件尺寸（单位：mm）如图，）如图，计算高计算高l的长（结果取整数）的长（结果取整数）.解：由图可以看出解：由图可以看出l的长是等腰三的长是等腰三角形底边上的高角形底边上的高.由勾股定理，由勾股定理，10.有一个水池，水面是一个边长为有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺尺.如果把这如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面边的
16、水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？解：设水深为解：设水深为x尺，则这根芦苇的尺，则这根芦苇的高为（高为（x+1）尺，根据题意和勾股尺，根据题意和勾股定理可列方程：定理可列方程：x2+52=（x+1）2，解得，解得x=12.11.如图，在如图，在RtABC中，中，C=90，A=30，AC=2.求斜边求斜边AB的长的长.解：在解：在RtABC中，中，C=90,A=30,AB=2BC，设设BC=x，则，则AB=2x，根据勾股定理：，根据勾股定理：x2+22=(2x)2，解得，解得x=，AB=.12.有有5个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排
17、列形式如图.请把它们请把它们分割后拼接成一个大正方形分割后拼接成一个大正方形.解：分割小正方形，如图（解：分割小正方形，如图（1），），拼接大正方形，如图（拼接大正方形，如图（2）.拓广探索拓广探索13.如图，分别以等腰如图，分别以等腰RtACD的边的边AD，AC，CD为直径画半圆为直径画半圆.求证：所得两个月形图案求证：所得两个月形图案AGCE和和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于的面积之和（图中阴影部分）等于RtACD的面积的面积.证明：证明：RtACD为等腰三角形，设为等腰三角形，设AC=CD=x，则，则AD=，故两个小半圆的半径为，故两个小半圆的半径为 ，半圆，半圆ACD的半径为的
18、半径为 .观察图形可知：观察图形可知：S半圆半圆AEC+S半圆半圆CFD+SACD-S半圆半圆ACD即为阴即为阴影部分面积，即影部分面积，即 ，所以，所以图中阴影部分面积等于图中阴影部分面积等于RtACD的面积的面积.14.如图，如图，ACB和和ECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点的顶点A在在ECD的斜边的斜边DE上上.求证：求证：AE2+AD2=2AC2.（提示：连接（提示：连接BD.）证明：连接证明：连接BD.ACB和和ECD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，CE=CD，AC=BC，ECD=ACB=90，即即ECA+ACD=ACD+DCB，ECA=DCB，EC=DC，AC=BC，ECA=DCB，AECBDC(SAS)AE=BD，BDC=E=45，ADB=ADC+CDB=90，根据勾股定理：根据勾股定理：AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，2AC2=AD2+BD2=AD2+AE2.
