1、专题二解答题题型题型六与圆有关的证明与计算题型六与圆有关的证明与计算例例1(2020雅安雅安)如图，四边形如图，四边形ABCD内接于圆，内接于圆，ABC60，对角线，对角线BD平分平分ADC.(1)求证：求证：ABC是等边三角形；是等边三角形；(2)过点过点B作作BECD交交DA的延长线于点的延长线于点E，若，若AD2，DC3，求，求BDE的面积的面积【分析分析】(1)根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；(2)过点过点A作作AMCD，垂足为点垂足为点M，过点过点B作作BNAC，垂足为点垂足为点N.根据根据S四边形四边形ABCDSABCSA
2、CD，分别求出分别求出ABC，ACD的面积的面积，即可求得四边形即可求得四边形ABCD的的面积面积，然后通过证得然后通过证得EAB DCB(AAS)，即可求得即可求得BDE的面积的面积(1)证明：证明：四边形四边形ABCD内接于内接于 O.ABCADC180，ABC60，ADC120，DB平分平分ADC，ADBBDC60，ACBADB60，BACBDC60，ABCBCABAC，ABC是等边三角形；是等边三角形；1.如图，已知如图，已知AB是是 O的直径，的直径，C，D是是 O上的点，上的点，OCBD，交交AD于点于点E，连接，连接BC.(1)求证：求证：AEED；(2)若若AB6，CBD30，
3、求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积(1)证明：证明：AB是是 O的直径，的直径，ADB90，OCBD，AEOADB90，即，即OCAD，又，又OC为半径，为半径，AEED；(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接AE，BAC90，CF是是 O的直径的直径ACEC，CFAE，AD是是 O的直径，的直径，AED90，即，即GDAE，CFDG，AD是是 O的直径，的直径，ACD90，ABCD，四边形四边形DCFG是平行四边形；是平行四边形；3.(2019孝感孝感)如图，点如图，点I是是ABC的内心，的内心，BI的延长线与的延长线与ABC的的外接圆外接圆 O交于点交于点D，与，与AC交于点交
4、于点E，延长，延长CD，BA相交于点相交于点F，ADF的平分线交的平分线交AF于点于点G.(1)求证：求证：DGCA；(2)求证：求证：ADID；(3)若若DE4，BE5，求，求BI的长的长4.(2020上海上海)如图，如图，ABC中，中，ABAC，O是是ABC的外接圆，的外接圆，BO的延长线交边的延长线交边AC于点于点D.(1)求证：求证：BAC2ABD；(2)当当BCD是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求BCD的大小；的大小；(3)当当AD2，CD3时，求边时，求边BC的长的长(1)证明：证明：如解图如解图，连接，连接OA.ABAC，OABC，BAOCAO，OAOB，ABDBAO，BAC2
5、ABD；(2)解：解：如解图如解图，延长，延长AO交交BC于点于点H.若若BDCB，则，则BCDBDCABDBAC3ABD，ABAC，ABCBCD，DBC2ABD，DBCBCDBDC180，8ABD180，ABD22.5，BCD3ABD67.5.若若CDCB，则，则CBDCDB3ABD，BCD4ABD，DBCBCDCDB180，10ABD180，ABD18，BCD4ABD72.若若DBDC，则，则D与与A重合，重合，这种情形不存在综上所述，这种情形不存在综上所述，BCD的值为的值为67.5或或72；1.已知切线已知切线例例2(2020菏泽菏泽)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB
6、为直径的为直径的 O与与BC相交于点相交于点D，过点，过点D作作 O的切线交的切线交AC于点于点E.(1)求证：求证：DEAC；(2)若若 O的半径为的半径为5，BC16，求，求DE的长的长【分析分析】(1)连接连接AD，OD.先证明先证明ADB90，EDO90，从而可证从而可证明明EDAODB，由由ODOB可得到可得到EDAOBD，由等腰三角形的性由等腰三角形的性质可知质可知CADBAD，故此故此EADEDA90，于是可得到于是可得到DEAC；(2)由等腰三角形的性质求出由等腰三角形的性质求出BDCD8，由勾股定理求出由勾股定理求出AD的长的长，根据根据三角形的面积得出答案三角形的面积得出答
7、案(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接AD，OD.AB是是 O的直径，的直径，ADB90.ADOODB90.DE是是 O的切线，的切线，ODDE.EDAADO90，EDAODB.ODOB，ODBOBD，EDAOBD.ACAB，ADBC，CADBAD.DBADAB90，EADEDA90.DEA90，DEAC；切线的相关判定与计算切线的相关判定与计算1解决圆的相关问题解决圆的相关问题，常见的作辅助线的方法有：常见的作辅助线的方法有：(1)已知直径和弦已知直径和弦，过弦的端点作直角三角形；过弦的端点作直角三角形；(2)连接圆心和圆上一点构造半径进而证切线；连接圆心和圆上一点构造半径进而证切线；
8、(3)连接圆心与圆上一点连接圆心与圆上一点，与其他半径构造等腰三角形与其他半径构造等腰三角形2若涉及到求不规则图形阴影面积若涉及到求不规则图形阴影面积，使用割补法等转化为常见图形面积使用割补法等转化为常见图形面积的和差进行求解的和差进行求解3常用到的思想方法：常用到的思想方法：构造思想构造思想，如构造垂径定理、勾股定理模型、如构造垂径定理、勾股定理模型、三角函数模型；三角函数模型；方程思想方程思想，如设关键线段为未知数如设关键线段为未知数，根据线段之间的关系根据线段之间的关系列方程；列方程；建模思想建模思想，借助基本图形的结论发现要解决的问题中的线段关系借助基本图形的结论发现要解决的问题中的线
9、段关系，通过基本图形模型发现图形中隐藏的线段关系通过基本图形模型发现图形中隐藏的线段关系5.(2020甘肃甘肃)如图，如图，O是是ABC的外接圆，的外接圆，其切线其切线AE与直径与直径BD的延长线相交于点的延长线相交于点E，且，且AEAB.(1)求求ACB的度数；的度数；(2)若若DE2，求，求 O的半径的半径(2)设设 O的半径为的半径为r，则，则OAODr，OEr2，OAE90，E30，2OAOE，即，即2rr2，r2，故，故 O的半径为的半径为2.6.(2020安徽安徽)如图，如图，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，C，D是半圆是半圆O上不同于上不同于A，B的的两点，两点，ADBC，AC
10、与与BD相交于点相交于点F.BE是半圆是半圆O所在圆的切线，与所在圆的切线，与AC的延的延长线相交于点长线相交于点E.(1)求证：求证：CBA DAB；(2)若若BEBF，求证：，求证：AC平分平分DAB.(2)BEBF，由，由(1)知知BCEF，EBFE，BE是半圆是半圆O所在圆的切线，所在圆的切线，ABE90，EBAE90，由由(1)知知D90，DAFAFD90，AFDBFE，AFDE，DAF90AFD，BAF90E，DAFBAF，AC平分平分DAB.(1)证明：证明：如解图如解图，连接，连接OC，CD是切线，是切线，OCCD.ADCD，ADOC，14.OAOC，24，12，AC平分平分D
11、AB；(1)证明：证明：连接连接OD，如解图，如解图，AB为为 O的直径，的直径，ADB90，ADBD，OFAD，OFBD，AOFB，CD是是 O的切线，的切线，D为切点，为切点，CDO90，CDAADOADOBDO90，CDABDO，ODOB，ODBB，AOFADC；9.(2020泸州泸州)如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点D在在 O上，上，AD的延长线与过的延长线与过点点B的切线交于点的切线交于点C，E为线段为线段AD上的点，过点上的点，过点E的弦的弦FGAB于点于点H.(1)求证：求证：CAGD；(2)已知已知BC6，CD4，且，且CE2AE，求，求EF的长的长(1)证明：证明
12、：如解图如解图，连接，连接BD，AB是是 O的直径，的直径，ADB90，DABDBA90，BC是是 O的切线，的切线，ABC90，CCAB90，CABD，AGDABD，AGDC；10.(2020东营东营)如图，在如图，在ABC中，以中，以AB为直径的为直径的 O交交AC于点于点M，弦弦MNBC交交AB于点于点E，且，且ME3，AE4，AM5.(1)求证：求证：BC是是 O的切线；的切线；(2)求求 O的直径的直径AB的长度的长度(1)证明：证明：在在AME中，中，ME3，AE4，AM5，AM2ME2AE2，AME是直角三角形，是直角三角形，AEM90，又又MNBC，ABCAEM90，ABBC，
13、AB为为 O的直径，的直径，BC是是 O的切线；的切线；(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接OB，四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD60，ACBC，ACB90，BAC30，BEAB，EBAE，ABCEBAE60，EBAE30，OAOB，ABOOAB30，OBC306090，OBCE，EC是是 O的切线；的切线；13.(2020宜昌宜昌)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，AB2a，ABC60，过点，过点B的的 O与边与边AB，BC分别交于分别交于E，F两点两点OGBC，垂足为点，垂足为点G，OGa.连接连接OB，OE，OF.(1)若若BF2a，试判
14、断，试判断BOF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；(2)若若BEBF，求证：，求证：O与与AD相切于点相切于点A.例例4如图，点如图，点O是线段是线段AH上一点，上一点，AH3，以点，以点O为圆心，为圆心，OA的长为半径的长为半径作作 O，过点，过点H作作AH的垂线交的垂线交 O于于C，N两点，点两点，点B在线段在线段CN的延长线上，的延长线上，连接连接AB交交 O于点于点M，以，以AB，BC为边作为边作 ABCD.【分析分析】(1)根据平行四边形的性质可知根据平行四边形的性质可知ADBC，证明证明OAAD，又因为又因为OA为半径为半径，即可证明结论；即可证明结论；(2)连接连接OC，得
15、重叠部分为得重叠部分为SOHCS扇形扇形AOC.利用锐角利用锐角三角函数先求出三角函数先求出OCH30，再求出扇形再求出扇形OAC的面积的面积，最后求出最后求出OHC的的面积面积，两部分面积相加即可求解；两部分面积相加即可求解；(3)设设 O半径半径OAOCr，则则OH3r，在在RtOHC中中，利用勾股定理求出半径利用勾股定理求出半径r，推出推出OH，再在再在RtABH和和RtACH中利用勾股定理分别求出中利用勾股定理分别求出AB，AC的长的长，最后通过证最后通过证BMNBCA，利用相似三角形列比例式即可求出利用相似三角形列比例式即可求出MN的长的长(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行
16、四边形，是平行四边形，ADBC，AHC90，HAD90，即，即OAAD，又又OA为半径，为半径，AD是是 O的切线；的切线；(1)证明：证明：如解图，连接如解图，连接OD，O与边与边AB相切于点相切于点D，ODAB，即，即ADO90，AOAO，ACAD，OCOD，ACO ADO(SSS)，ADOACO90，又又OC是半径，是半径，AC是是 O的切线；的切线；(3)解：解：AFBDCE，理由如下：如解图，连接，理由如下：如解图，连接DE，由，由(1)可知：可知：ACO ADO，ACOADO90，AOCAOD，又，又CODO，OEOE，COE DOE(SAS)，OCEODE，OCOEOD，OCEO
17、ECOEDODE，DEF180OECOED1802OCE，点点F是是AB中点，中点，ACB90，CFBFAF，FCBFBC，DFE180BCFCBF1802OCE，DEFDFE，DEDFCE，AFBFDFBDCEBD.(1)证明：证明：AC为直径，为直径，ADC90，ACDDAC90，DAEACE，DACDAE90，即，即CAE90，AP是是 O的切线；的切线；(2)证明：证明：连接连接DB，如解图，如解图，PA和和PB都是切线，都是切线，PAPB，OPAOPB，POAB，PDPD，DPA DPB(SAS)，ADBD，ABDBAD，ACDABD，又，又DAEACE，DAFDAE，AC是直径，是直径，ADEADC90，ADEAFD90，FADDAE；
