1、3.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离两点间的距离 1.了解两条直线的交点是由它们对应的方程组的解来确定的了解两条直线的交点是由它们对应的方程组的解来确定的;会根据方程组的解的个数来判断两直线的位置关系会根据方程组的解的个数来判断两直线的位置关系.2.能利用两条直线交点的概念解决某些应用问题能利用两条直线交点的概念解决某些应用问题.3.掌握平面上任意两点间的距离公式应用它处理相关的数学掌握平面上任意两点间的距离公式应用它处理相关的数学问题问题.1.设直线设直线l1:A1x+B1y+C1=0与与l2:A2x
2、+B2y+C2=0.两条直线两条直线l1与与l2的交点坐标就是方程组的交点坐标就是方程组:A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的的_反过来反过来,方程组的解就方程组的解就是是_.当方程组有唯一解时当方程组有唯一解时,表示表示两直线两直线l1与与l2_;当方程组当方程组_时时,表示两直线表示两直线l1l2;当方程组有无穷多解时当方程组有无穷多解时,表示两直线表示两直线_.解解两直线两直线l1与与l2的交点坐标的交点坐标相交相交无解无解重合重合2.已知平面上两点已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则则|P1P2|=_.特别地特别地,原点原点O(0,0)与任一与任一点点
3、P(x,y)的距离的距离|OP|=3.对于两点对于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若若x1=x2,则则P1P2与与x轴垂直轴垂直,此此时时|P1P2|=_;若若y1=y2,则则P1P2与与y轴垂直轴垂直,此时此时|P1P2|=_.显然显然,上述两种情形都适合两点间的上述两种情形都适合两点间的距离公式距离公式.22.xy221212()()xxyy|y2-y1|x2-x1|1.关于两条直线相交的判定关于两条直线相交的判定(1)解两直线的方程组成的方程组解两直线的方程组成的方程组,若只有一个公共解若只有一个公共解,则两则两直线相交直线相交.(2)在两直线的斜率都存在的条件下在两直线的斜
4、率都存在的条件下,若斜率不等若斜率不等,则两直线则两直线相交相交.2.两点间距离公式的推导两点间距离公式的推导两点间的距离公式的推导要依靠数轴上两点的距离的求法两点间的距离公式的推导要依靠数轴上两点的距离的求法,因因而在推导任意两点间距离公式之前而在推导任意两点间距离公式之前,应熟悉下面两种情况应熟悉下面两种情况:(1)直线直线P1P2平行于平行于x轴时轴时,|P1P2|=|x2-x1|;(2)直线直线P1P2平行于平行于y轴时轴时,|P1P2|=|y2-y1|.在此基础上在此基础上,运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y
5、2)间的距离公式间的距离公式:|P1P2|=221212()().xxyy3.用解析法证几何题的注意事项用解析法证几何题的注意事项(1)用解析法证明几何题时用解析法证明几何题时,首先要根据题设条件建立适当的首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系直角坐标系,然后根据题中所给的条件然后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标设出已知点的坐标.(2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标.(3)另外另外,在证题过程中要不失一般性在证题过程中要不失一般性.题型一题型一 两直线的交点的求法及应用两直线的交点的求法及应用例例1:分别判断下列直线是否相交分别判断下列直线
6、是否相交,若相交若相交,求出它们的交点求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和和l2;4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和和l2:y=-2x+3.解解:(1)方程组方程组 2x-y-7=0,3x+2y-7=0.的解为的解为 x=3,y=-1,因此直线因此直线l1和和l2相交相交,交点坐标为交点坐标为(3,-1).(2)方程组方程组 2x-6y+4=0,4x-12y+8=0.有无数组解有无数组解,这表明直线这表明直线l1和和l2重合重合.(3)方程组方程组 4x+2y+4=0,2x+y-3=0.无解无解,这表明直线这
7、表明直线l1和和l2没有公共点没有公共点,故故l1l2.规律技巧规律技巧:求两直线的交点求两直线的交点,就是解由两条直线方程组成的方就是解由两条直线方程组成的方程组程组,若方程组有一解若方程组有一解,则两直线相交则两直线相交;若方程组无解若方程组无解,则两直线则两直线平行平行;若方程组有无数组解若方程组有无数组解,则两直线重合则两直线重合.变式训练变式训练1:直线直线l经过原点经过原点,且经过另两条直线且经过另两条直线2x+3y+8=0和和x-y-1=0的交点的交点,求直线求直线l的方程的方程.解解:解方程组解方程组2x+3y+8=0,x-y-1=0,得得x=-1,y=-2.两条直线两条直线2
8、x+3y+8=0和和x-y-1=0的交点坐标为的交点坐标为(-1,-2).又直线又直线l经过原点经过原点,直线直线l的方程为的方程为即即2x-y=0.00,201 0yx 题型二题型二 两点间距离公式的应用两点间距离公式的应用例例2:已知点已知点A(1,2),B(2,0),P(0,3),Q(-1,1),M(1,0),N(-4,0),线线段段AB,PQ,MN能围成一个三角形吗能围成一个三角形吗?为什么为什么?解解:不能不能.由两点间距离公式由两点间距离公式,有有2222|(1 2)(20)5,|(0 1)(3 1)5,|14|5.ABPQMN|AB|+|PQ|=5=|MN|,线段线段AB,PQ,
9、MN不能围成一个三角形不能围成一个三角形.2 5规律技巧规律技巧:三条线段构成三角形的条件是三条线段构成三角形的条件是:任两条线段之和大任两条线段之和大于第三条线段于第三条线段,任两条线段之差小于第三条线段任两条线段之差小于第三条线段.变式训练变式训练2:已知点已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证求证:ABC是等腰是等腰三角形三角形.证明证明:由两点间距离公式可得由两点间距离公式可得:|AC|=|BC|,又又A B C三点不共线三点不共线,ABC是等腰三角形是等腰三角形.222222|(42)(3 1)2 2,|(53)(04)2 5,|(5 1)(02)2 5,ABBCAC题
10、型三题型三 综合问题综合问题例例3:(1)已知点已知点A(-3,4),B(2,),在在x轴上找一点轴上找一点P,使使|PA|=|PB|,并求并求|PA|的值的值;(2)已知点已知点M(x,-4)与与N(2,3)间的距离为间的距离为7 ,求求x的值的值.分析分析:利用距离公式解决利用距离公式解决.32解解:(1)设点设点P为为(x,0)则有则有2222222|(3)(04)625,|(2)(03),4x7.9.,574PAxxxPBxxx 2PAPBx6x25xx由得解得2222992 109(,0)|(3)(04).555(2)(43)7 2,()MN4x450,5,5.PAx 212P2xx
11、9xx9即所求点 为且题意得平方得解得或故所求 值为 或变式训练变式训练3:已知已知A(4,-3)B(2,-1)和直线和直线l:4x+y-2=0,求点求点P使使|PA|=|PB|,且点且点P在直线在直线l上上.解解:点点P在直线在直线l上上,可设可设P(a,2-4a).又又A(4,-3)B(2,-1),由由|PA|=|PB|可得可得(a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,7718.(,).555Pa解得易错探究易错探究例例4:当实数当实数m为何值时为何值时,三条直线三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形不能围成三角形
12、.错解错解:当三条直线两两相交当三条直线两两相交,且过同一点时且过同一点时,不能构成三角形不能构成三角形,当当l2,l3相交于一点时相交于一点时,由由3x-2y-5=0,6x+y-5=0,得得l2与与l3的交点的交点(1,-1).将交点将交点(1,-1)代入代入l1的方程的方程,得得31-m-1=0,m=2.当当m=2时时,三线共点三线共点,不能围成三角形不能围成三角形.错因分析错因分析:错因是由于思维不严密造成的错因是由于思维不严密造成的,一般容易想到三直一般容易想到三直线共点而忽视了三条直线任两条平行或重合时也不能围成三线共点而忽视了三条直线任两条平行或重合时也不能围成三角形这个条件角形这
13、个条件.正解正解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不它们不能围成三角形能围成三角形.由由3x-2y-5=0,6x+y-5=0,解得解得x=1.y=-1.将将x=1,y=-1代入代入l1方程中方程中,得得m=2.当当m=2时三条直线共点时三条直线共点.又又m=-2时时,l1l2;又又m=时时,l1l3.当当m=2或或m=时时,l1,l2和和l3不能围成三角形不能围成三角形.基础强化基础强化1.直线直线3x+5y-1=0与与4x+3y-5=0的交点是的交点是()A.(-2,1)B.(-3,2)C.(2,-1)D.(3,-2)解析解析:由由3x+
14、5y-1=0,4x+3y-5=0.得得x=2,y=-1.两直线的交点为两直线的交点为(2,-1).答案答案:C2.已知点已知点A(-2,-1),B(a,3)且且AB=5,则则a等于等于()A.a=1B.a=-5C.a=1或或-5D.其他值其他值解析解析:由两点间距离公式由两点间距离公式得得,(a+2)2+(3+1)2=52,(a+2)2=9,a=1或或a=-5.答案答案:C3.已知点已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到到M N的距离相等的距离相等,则则x,y满足满足的条件是的条件是()A.x+3y-8=0B.x-3y+8=0C.x-3y+9=0D.3x-y-4=0解析解析:由由|
15、PM|=|PN|,得得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,化简得化简得3x-y-4=0.答案答案:D4.已知已知ABC的顶点的顶点A(2,3)B(-1,0),C(2,0)则则ABC的周长的周长是是().2 3.32 3.63 2.610ABCD2222(1 2)(03)3 2.|3,|(22)(03)3.6:A3 2.BBCAC ABC解析的周长为答案答案:C5.直线直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(kR)所经过的定点是所经过的定点是()A.(5,2)B.(2,3)C.(-,3)D.(5,9)12解析解析:将含有待定系数的项放在一起将含有待定系数的项放在一
16、起,不含有待定系数的项不含有待定系数的项放在一起放在一起,可得可得k(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.直线经过直线经过2x-y-1=0和和x+3y-11=0的交点的交点.解得解得x=2,y=3.答案答案:B6.两条直线两条直线2x+3y-k=0和和x-ky+12=0的交点在的交点在y轴上轴上,那么那么k的的值是值是()A.-24B.6C.6D.不同于不同于A B C的答案的答案解析解析:两直线的交点在两直线的交点在y轴上轴上,可设交点的坐标为可设交点的坐标为(0,y0),则有则有3y0-k=0,-ky0+12=0.由可得由可得y0=,将其代入得将其代入得 +12=0.k2=36,即即k
17、=6.3k23k答案答案:C7.甲船在某港口的东甲船在某港口的东50 km,北北30 km处处,乙船在同一港口的东乙船在同一港口的东14 km,南南18 km处处,那么甲那么甲 乙两船的距离是乙两船的距离是_.解析解析:以港口为坐标原点建立直角坐标系以港口为坐标原点建立直角坐标系.则甲船位置为则甲船位置为(50,30),乙船的位置为乙船的位置为(14,-18),甲甲 乙两船的距离为乙两船的距离为 =60(km).22(50 14)(30 18)360060 km8.过点过点A(4,a)和和 B(5,b)的直线和直线的直线和直线y=x+m平行平行,则则|AB|=_.2221,54(54)()2.
18、:bababaABkAB解析能力提升能力提升9.求求m、n的值的值,使直线使直线l1:y=(m-1)x-n+7满足满足:(1)平行于平行于x轴轴;(2)平行于直线平行于直线l2:7x-y+15=0;(3)垂直于直线垂直于直线l2:7x-y+15=0;解解:(1)当当m=1且且n7时时,l1平行于平行于x轴轴;(2)7x-y+15=0化为斜截式化为斜截式:y=7x+15,k2=7,b=15,当当l1l2时时,应有应有k1=7且且b115即即m-1=7且且-n+715,m=8,n-8;(3)当当(m-1)57=-1,即即 nR时时,l1l2.6,7m 10.已知四边形已知四边形ABCD的顶点的顶点
19、A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),试试判断其形状判断其形状.ABCDAB2AD222k351301:,423633303,43(53)(24)2 10,|(63)kAB/CD,kk1,ADAB33 1.AB0,ABCD.ABCD.ABCDADkkkCD 由得由得又即四边形为直角梯形解11.(全国全国)已知点已知点A(1,2),B(3,1),则线段则线段AB的垂直平分线的的垂直平分线的方程为方程为()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=531 21),2:(2,4x2y53 1232.y ABABkABk22 x2解析的中点坐标为垂直平分线的斜率为其方程为即答案答案:B12.(上海高考上海高考)直线直线y=x关于直线关于直线x=1对称的直线方程是对称的直线方程是_.x+2y-2=011,2211.221,111),(1),22:,(,x2y022xxxyx yylk1ll解析 如图所示的斜率为所求直线 的斜率由得交点该点应在 上 故 的方程为即
