1、因式分解因式分解小结与复习小结与复习湘教版湘教版七年级数学下册七年级数学下册本章知识结构本章知识结构概念因式分解的方法提公因式法公式法因式分解习题点击方框可跳转到相应页面 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式形式，称为把这个多项式因式分解因式分解.一般地，对于两个多项式一般地，对于两个多项式f与与g，如果有多项式，如果有多项式h使得使得f=gh，那么我们把，那么我们把g叫做叫做f的一个因式的一个因式.此时，此时，h也是也是f的一个的一个因式因式.f=gh 运用运用整式乘法整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确可以检验
2、因式分解的结果是否正确.结构图 提公因式时，如果多项式的首项为提公因式时，如果多项式的首项为负数负数，一般先把负，一般先把负号提出来，并把括号内的各项变号号提出来，并把括号内的各项变号.当多项式各项有系数时，要先确定公因式的系数，就当多项式各项有系数时，要先确定公因式的系数，就是各多项式系数的是各多项式系数的最大公约数最大公约数.当多项式中有多个未知数时，公因式含的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的.提公因式法结构图因式分解时，如何确定多项式的公因式？因式分解时，如何确定多项式的公因式？公因式为单项式时：公因式为单项式时：1.1.定系数定系数：找多项式各项：找多项式各项
3、系数的最大公约数系数的最大公约数2.2.定字母定字母：找多项式各项：找多项式各项相同的字母相同的字母3.3.定指数定指数：相同字母的：相同字母的最低的次数最低的次数.当公因式为当公因式为多项式多项式时，把相同字母换成时，把相同字母换成相同式子相同式子.因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止.结构图完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2反过来进行因式分解反过来进行因式分解a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2a2-
4、b2=(a+b)(a-b)公式法结构图结构图1.把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：（1）x2-xy+x；（2）m2n-mn2+mn；（3）9x3y3-21x3y2+12x2y2；（4）x2(x-y)+y2(x-y).=x(x-y+1)=mn(m-n+1)=3x2y2(3xy-7x+4)=(x2+y2)(x-y)结构图2.把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：（1）x2-9；（2）49m2-81n2；x213144（）；.ab22114925（）=(x+3)(x-3)=(7m+9n)(7m-9n)=111212xx-=11113535aba-b结构图3.把下列多项式因式分解：把下
5、列多项式因式分解：（1）4x2+20 x+25；（2）x4+6x2+9；（3）x4-18x2+81；（4）(x-y)2+2(x-y)w+w2；（5）4a4+12a2b2+9b4.=(2x+5)2=(x2+3)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2=(x-y+w)2=(2a2+3b2)2结构图4.把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：（1）-6x2+12x-6；（2）-9x2+24xy-16y2；（4）(x+y+1)2-(x-y+1)2；=-6(x2-2x+1)=-6(x-1)2=-(9x2-24xy+16y2)=-(3x-4y)2（3）a2(a-b)+2ab(a-b)+b2(a-b
6、).=(a-b)(a2+2ab+b2)=(a-b)(a+b)2=(x+y+1-x+y-1)(x+y+1+x-y+1)=2y(2x+2)=4y(x+1)4.把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：（5）x4-16；（6）x4-16y4.=(x2-4)(x2+4)=(x+2)(x-2)(x2+4)=(x2-4y2)(x2+4y2)=(x-2y)(x+2y)(x2+4y2)结构图5.计算：计算：（1）170.11+370.11+460.11；（2）2562-1562.=(17+37+46)0.11=11=(256+156)(256-156)=41200结构图6.把下列多项式因式分解：把下列多项式
7、因式分解：（1）y2-(x2-10 x+25)；（2）(a2-9b2)+(a-3b)；（3）(x3-x2)+(x-1)；（4）ax-bx-ay+by.=y2-(x-5)2=(y+x-5)(y-x+5)=(a-3b)(a+3b)+(a-3b)=(a-3b)(a+3b+1)=x2(x-1)+(x-1)=(x2+1)(x-1)=x(a-b)-y(a-b)=(x-y)(a-b)7.把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：（1）(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)；（2）x3z-4x2yz+4xy2z.结构图=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)=(a-b)(x-y+x+y)=2x(a-
8、b)=xz(x2-4xy+4y2)=xz(x-2y)28.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体,它的内径它的内径d=68cm，外，外径径D=88cm，长，长h=200cm.浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土凝土(结果保留结果保留)？怎样计算较简便？怎样计算较简便？结构图h Ddh D+dD-d 22344200 156 204156000cm-=解 （）（）（）（）答：需要答：需要0.156立方米的混凝土立方米的混凝土.156000cm3=0.156m39.先化简，再求值：先化简，再求值：(a+b)2+2(a
9、+b)(a-b)+(a-b)2，其中，其中a=，b=1.12结构图解解 (a+b)2+2(a+b)(a-b)+(a-b)2=(a+b+a-b)2=4a2当当a=，b=1时时.12原式原式=110.已知已知2x-1=3，求代数式，求代数式(x-3)2-2(x-3)+1的的值值.结构图=(x-3-1)2解解 (x-3)2-2(x-3)+1=(x-4)2因为因为2x-1=3，所以，所以x=2.原式原式=4.11.把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：（1）x2-4y2+x+2y；（2）(x+y)2-4(x+y-1)；（3）xn+1-2xn+xn-1(n是大于是大于1的正整数的正整数).结构图=
10、(x+2y)(x-2y)+(x+2y)=(x+2y)(x-2y+1)=(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y-2)2=xn-1(x2-2x+1)=xn-1(x-1)212.你能把多项式你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？因式分解吗？(1)上式能利用完全平方公式进行因式分解吗？上式能利用完全平方公式进行因式分解吗？(2)常数项常数项6是哪两个因数的乘积？一次项系数是哪两个因数的乘积？一次项系数5是否等于是否等于6的某两个因数的和？的某两个因数的和？结构图不能不能.16=23=6，5=2+3(3)由多项式乘法，由多项式乘法，(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到将该式从右
11、到左地使用，即可对形如左地使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分的多项式进行因式分解解.多项式多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为的特征是二次项系数为1，常数，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和项为两数之积，一次项系数为这两数之和.你能据此将你能据此将x2+5x+6写成两个一次多项式的乘积吗？写成两个一次多项式的乘积吗？请把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于请把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于x2+5x+6.x2+(_+_)x+_=(x+_)(x+_)232323(4)从第从第(3)题，你能看出把题，你能看出把x2+5x+6进行因式分解的关键步进行因式分解的关键步骤是什么吗？骤是什么吗？(5)你能运用上述方法将多项式你能运用上述方法将多项式x2-x-2进行因式分解吗？进行因式分解吗？结构图关键步骤是将常数项分解为某两个因数的积，且这两关键步骤是将常数项分解为某两个因数的积，且这两个因数的和等于一次项的系数，如个因数的和等于一次项的系数，如6=23，2+3=5.x2-x-2=x2+1+(-2)x+1(-2)=(x+1)(x-2)1.1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。课后作业课后作业
