1、 第 1 页 共 6 页 20202020 届高三下学期第三次阶段质量检测届高三下学期第三次阶段质量检测 数学（文）试卷数学（文）试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答 案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
2、回. 第第 I I 卷卷 选择题选择题 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1已知集合0,1,2,3,4M ，| 22Nxx ，则MN （ ） A0,1,2 B0,1 C 0 D 1 2设复数z满足1+2i z ，则复平面内z表示的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量(1,2)a ， 2 (1,)bxx，则“1x ”是“ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知实数 , x y满足约束条件 20 22 0 xy xy xy
3、 ，则3zxy的最大值为（ ） A 14 5 B4 C2 D0 5设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 313 1352aS，则 9 S （ ） A9 B18 C27 D36 6已知函数 ( )f x是定义在R上的偶函数，当 0x ， 3 ( )3f xxx， 则 3 2 (2 )af , 3 1 (log) 27 bf，( 2)cf的大小关系为（ ） 第 2 页 共 6 页 Aabc Bacb Cbac Dbca 7现有一组数据如茎叶图所示，若平均数为115，且方差达到最小， 则mn的值是（ ） A27 B32 C35 D36 8 已知函数( )sin()f xAx( 0,0, 2
4、A)的部分图象如图所示， 若()()0f axf ax，则a的最小值为（ ） A 12 B 6 C 3 D 5 12 9已知椭圆 22 :1 94 xy C的左焦点为F，点M在椭圆C上且位于第一象限， O为坐标原点，若线段MF的中点N满足 0NF NO ，则直线MF的方程为（ ） A33 50xy B22 50xy C50xy D250xy 10半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示， 是由边数不全相同的正多边形为面的多面体， 体现了数学的对称美 将正方 体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱 锥，得到一个有十四个面的半正多面
5、体，它们的边长都相等，其中八个为正 三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等 边体的棱长为 2，则该二十四等边体外接球的表面积为（ ） A4 B6 C8 D12 11勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、 机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长 为半径， 在另两个顶点间作一段弧， 三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形 如 图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒 洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为（ ） A 1 9 B 2 9 C 1 6 D 1 3 第 3
6、 页 共 6 页 12已知函数 12 ( )2ln (), ( )1f xx exeg xmx ，若( )f x与( )g x的图象上存在关于直线1y 对 称的点，则实数m的取值范围是（ ） A 3 2 , ee B 3 2 2,3 ee C 32 ,ee D 32 2,3ee 第第 IIII 卷卷 非选择题非选择题 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 13曲线 2 e (2) x yx在点(0,2)处的切线方程为_ . 14执行如图所示的程序框图后，输出S的值为_ . 15已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，
7、直线l过点 2 F交双 曲线右支于P，Q两点，若 21 3PFPF， 2 4PQPF，则双曲线C的离心率为_. 16如图，在平面四边形ABCD中，1AD ，5BD ，ABAC，2ACAB， 则CD的最小值为_ . 三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差0d ， 1 2a ，且 124 ,a a a成等比数列. （1）求数列 n a的通项公
8、式及前n项和 n S； （2）记 1 2 11 n n n b Sa ，求数列 n b的前n项和 n T. 第 4 页 共 6 页 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，四边形 11 ABB A为正方形，且 1 4ACAA， 1 60CABCAA. （1）求证:平面 1 ABC 平面 11 ABB A； （2）求点A到平面 11 ABC的距离. 19 （本小题满分 12 分） 已知,A B是抛物线 2 :4C yx上两点，线段AB的垂直平分线与x轴有唯一的交点 0 (,0)P x. （1）求证: 0 2x ； （2）若直线AB过抛物线C的焦点F，且=10AB，
9、求PF. 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln21f xaxxxa(aR). （1）若 ( )f x在1,)上单调递增，求a的取值范围； （2）若对(1,)x ， 2 ( )0f xx恒成立，求a的取值范围. 第 5 页 共 6 页 21 （本小题满分 12 分） 某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入 2 千万资金后，工人人数x(单位: 百人 )对年产能y(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统 计量表. x y ln y 1 x 2 1 () n i i xx 2 1 11 () n i i xx 1 ()() n
10、 ii i xx yy 1 11 ()(lnln ) n i i i yy xx 1 ()(lnln ) n ii i xxyy 5.825 3.612 0.154 1.077 328 27.87 150.80 55.74 126.56 （1）根据散点图判断:lnyabx与 b a x ye 哪一个适宜 作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型？并说明理 由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x 的回归方程； （3）现该企业共有 2000 名生产工人，资金非常充足，为了 使得人均年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金 （单位：千万元）？ 附注：对于一组数据 11
11、( , )s t， 22 ( , )s t，(, ) nn s t，其回归 直线t bsa 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i ss tt batbs ss ，(说明: ( )e b a x f x 的导函数为 2 e ( ) b a x b fx x ) 第 6 页 共 6 页 （二）选考题：（二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应 的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的 首题进行评分. 22选修 4-4：坐标系与参
12、数方程(本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1+cos 1 cos 2sin 1 cos x y (为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 0 ( 0 (0,)， 将曲线 1 C向左平移2个单位长度得到曲线C. （1）求曲线C的普通方程和极坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于,A B两点，求 11 OAOB 的取值范围. 23 选修 4-5：不等式选讲 (本小题满分 10 分） 已知函数 2 ( )1f xxx ，且,Rm n （1）若22mn，求( )2 ( )f mf n的最小值，并求此时 ,m n的值； （2）
13、若| 1mn，求证:|( )( )| 2(| 1)f mf nm 第 1 页 共 9 页 20202020 届高三下学期第三次阶段质量检测届高三下学期第三次阶段质量检测 数学（文）答案及评分标准数学（文）答案及评分标准 一、单选题 1B 解：0,1,2,3,4M ， | 22Nxx ，0,1MN.故选：B. 2D 解：因为(1 i)2z，所以 22(1 i) 1 i 1 i(1 i)(1 i) z ， 则复平面内表示z的点位于第四象限.选 D 3C 解： 2 1 201abxxx ， “1x ”是“a b ”的充要条件.故选：C. 4A 解：如图，作出可行域，由 20 22 xy xy 得 2
14、 4 , 5 5 A ， 当直线:30l xy平移至经过点 2 4 ( , ) 5 5 A时， 3zxy取得最大值14 5 ，故选:A. 5B 解：因为 113 7 137 1313 2 13 22 aaa Sa 所以 31337 13131352aSaa， 37 4aa， 37 5 2 2 aa a ， 19 5 95 992 99 218 22 aaa Sa ，故选：B 6C 解：函数 ( )f x是定义在R上的偶函数， 3 1 (log)( 3)(3) 27 bfff ， 3 2 0222 23 ， 当0x ， 2 ( )330fxx 恒成立， 3 ( )3f xxx在0,)上单调递增，
15、 3 2 3 1 (log)(2 )( 2) 27 fff，即bac.故选：C. 7D 解：数据的平均数为 1 (64992 1 52200660240)=115 10 mn ， 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着” 第 2 页 共 9 页 12mn，要使方差最小， 则 22 (110115)(110115)mn 2 22 (55) (5)(5)2 2 mn mn ， 当且仅当55mn，即6mn时取等号，此时方差最小，36mn .故选：D 8A 解：由图象易知2A，(0)1f，即2sin 1， 2 ， 6 ， 由图可知 * 11 2 (N ) 126 kk， 242 11
16、 k ， 11 12 311 412 T T ，又 2 0T ， 1824 1111 ， 由1k 得2， ( )2sin(2) 6 f xx， ()()0f axf ax，( )f x关于点( ,0)a对称， 即有 2 6 ak， 212 k a ，kZ， a的最小值为 12 ，故选：A. 9D 解：设椭圆C的右焦点为 1 F，( , )M x y（0,0xy） ， 0NF NO ，NFNO， ,N O分别是MF和 1 FF的中点， 1 MFMF，由已知可得 (5,0)F ， 1( 5,0) F， (5, ) (5, )0xyxy，即 22 5xy， 由 22 22 1 94 5 xy xy
17、得 3 5 4 5 (,) 55 M， 4 5 1 5 23 5 5 5 MF k ， 直线MF的方程为 1 (5) 2 yx，即250xy.故选：D. 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着” 第 3 页 共 9 页 10 C 解： 由已知根据该几何体的对称性可知， 该几何体的外接球即为底面棱长为 2， 侧棱长为2的正四棱柱的外接球， 2222 (2 )( 2)( 2)2R ,2R, 该二十四等边体的外接球的表面积 2 4SR 2 4 ( 2)8.故选：C. 11A 解：设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a， 则小勒洛三角形的面积 22 2 1 3(3) 32
18、 642 aa Sa ， 因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3， 所以大勒洛三角形的面积 22 2 (3)(3 )9(3) 22 aa S ， 若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率 1 2 1 9 S P S 故选 A 12B 解：( )1g xmx关于直线1y 对称的直线为( )1yh xmx ， 直线1ymx 与2ylnx在 1 e， 2 e上有交点 作出1ymx 与2ylnx的函数图象， 如图所示： 若直线1ymx 经过点 1 (e，2)， 则3me， 若直线1ymx 与2ylnx相切， 设切点为( , )x y 则 1 2 2 ymx
19、 ylnx m x ，解得 3 2 3 2 3 2 xe y me 3 2 23eme 故选 B 二、填空题 13 22yx 解：令 2 e (2) x f xx， 2 ( )e (22) x fxxx，所以 (0)2 f ， 又 (0)2f ，所求切线方程为 22yx ，即22yx. 故答案为：22yx. 14126 解：由图可知 21 2(1 2 ) 222=22 1 2 n nn S ， 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着” 第 4 页 共 9 页 63S ，126S.故答案为：126 15 10 2 解：设 2 PFm，则 1 3PFm，4PQm， 2 3QFm，
20、由双曲线的定义，得 12 121 22 32 PFPFma QFQFQFma 1 5QFa ma ， 则此时满足 222 11 PFPQQF， 1 PQF是直角三角形，且 1 90QPF， 222 1212 PFPFFF 222 (3 )(2 )aac，得 10 2 e .故答案为： 10 2 . 165 解：设ADB ，在ABD中， 由正弦定理得 sinsin ABBD BAD ，即 5 sinsin A BA B D sin5sinABBAD ，由余弦定理得 222 2cos62 5cosABADBDAD BD ， ABAC， 2 BADDAC ， 在ACD中，由余弦定理得 222 2co
21、sCDADACAD ACDAC 2 1 44sinABABBAD 25 8 5cos4 5sin 2520sin()， 当sin()1时， min 5CD.故答案为：5 三、解答题 17解： （1） 124 ,a a a成等比数列， 2 214 aa a， 1 2a ， 2 (2)2(23 )dd，解得2d 或0d (舍去)， 2 分 2(1) 22 n ann， 4 分 (22 ) (1) 2 n nn Sn n 6 分 （2）由（1）得 1111 = (1)1 n Sn nnn ， 1 1 2 111 2 22 n nn a ， 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着”
22、第 5 页 共 9 页 111 + 12 n n b nn ，8 分 11 (1) 11111 22 (1)()()+ 1 2231 1 2 n n T nn 1111 1+1=2 1212 nn nn 12 分 18解： （1）连接 1 AB，设 11 =ABAB O，连接CO，ACAC， 1 CABCAA， 1 ABAA， 1 CABCAA ， 1 CBCA， O为 1 AB的中点， 1 ABCO.2 分 四边形 11 ABB A为正方形， 11 ABAB 又 1 ,CO AB 平面 1 ABC， 1 COOAB ， 1 AB平面 1 ABC，4 分 1 AB 平面 11 ABB A， 平
23、面 1 ABC 平面 11 ABB A.6 分 （2） 1 4CAAA， 1 60CAA， 1 4CA， 在 1 Rt COA中，又 1 2 2OA ， 2 2CO，又2 2AO ，4AC ， 222 OAOCAC ，COAO，8 分 平面 1 ABC 平面 11 ABB A，平面 1 ABC平面 111 =ABB A AB， CO 平面 11 ABB A，CO为三棱锥 11 CAAB的高，10 分 1 11 1 11116 2 4 4 2 2 3323 C AA BAA B VSCO 1111 4CAABBC， 1 1 1 =4 4 sin60 =4 3 2 CA B S ， 点A到平面 1
24、1 ABC的距离 1 1 1 1 3 16 24 6 34 3 C AA B CA B V d S .12 分 19解： （1）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy( 12 xx)， 0 (,0)P x在线段AB的垂直平分线线上，PAPB，2 分 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着” 第 6 页 共 9 页 2222 101202 ()()xxyxxy 11 (x ,)Ay， 22 (,)B xy在抛物线C上， 2 11 4yx， 2 22 4yx， 代入得 22 101202 ()4()4xxxxxx，化简得 12 0 2 2 xx x ，4 分 1 0
25、x ， 2 0x ， 12 xx， 12 0xx， 0 2x.6 分 （2）由已知可得直线AB斜率存在且不为 0，故可设直线AB的方程为 (1)yk x( 0k )， 联立 2 (1) 4 yk x yx ，消去y得 2222 (24)0k xkxk， 2 12 2 24k xx k ，8 分 22 12 22 244(1) 210 kk ABxxp kk ， 2 2 3 k，10 分 0 2x ， 22 12 00 22 22(1) 11=115 2 xxkk PFxx kk .12 分 20解： （1）( )ln 2fxaxa，依题意得，对1,)x ，( )0fx恒成立， 0a 时，1,)
26、x，ln0x，( )0 fx 恒成立，满足题意2 分 0a 时，取 2 0 e(1,) a x ， 0 ()0fxa， ( )0fx在1,)上不能恒成立，不满足题意， 综上所述，a的取值范围是0,)4 分 （2） 22 ( )ln21f xxaxxxxa(1x )， 0x， 2 1 ( )0ln20 a f xxaxx x . 设 1 ( )ln2 a g xaxx x (1x )，则 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着” 第 7 页 共 9 页 2 222 1(1)(1)(1) ( )1 aaxaxaxxa g x xxxx 6 分 当2a 时，1 1 2 1 0xa
27、，( )0g x ， ( )g x在(1)，上单调递增， 依题意得( )(1)1 1 220g xga ，满足题意8 分 当2a 时，当1 1xa 时，( )0g x ，当1xa 时，( )0g x ， ( )g x在(1,1)a 上单调递减，在(1,)a 上单调递增 min 1 ( )(1)ln(1)1 2ln(1) 1 a g xgaaaaaaa a ， 依题意得 min ( )ln(1)0g xaaa ，解得e 12a 综上所述，a的取值范围是( e 1,) .12 分 21.解： （1）由图可知 e b a x y 适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型 若选择lnyabx，则
28、0b ，此时当x接近于 0 时，y必小于 0， 故选择 e b a x y 作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型.3 分 （2）由 e b a x y ,得 1 ln yba x ，故ln y与 1 x 符合线性回归， 1 2 1 11 ()(lnln ) 55.74 =2 27.8711 () n i i i n i i yy xx b xx . 1 ln( 0.154)( 2) 1.0772ayb x ，5 分 2 ln2y x ，即 2 2 e x y ， y 关于x的回归方程 2 2 e x y .7 分 （3）由(2)可知人均产能函数 2 2 e ( ) x f x x ， 2
29、2 22 2 2 2 23 2 ee (2) e ( ) xx x x x x fx xx ，9 分 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着” 第 8 页 共 9 页 02x时，( )0fx，2x 时( )0fx， (0,2)x 时，( )f x单调递增，(2,)x时，( )f x单调递减， 当2x 时，人均产能函数 2 2 e ( ) x f x x 达到最大值，10 分 因此，每 2 千万资金安排 2 百人进行生产，能使人均产能达到最大， 对于该企业共有 2000 名生产工人，且资金充足， 下一年度应该投入 20 千万资金进行生产，可以使得企业的人均产能达到最大12 分
30、22解： （1） 22 22 2coscos 1+cos 22 1 cos 2sinsin 22 x ， 2 4sincos2cos 2sin 222 1 cos 2sinsin 22 y 2 2 2 4cos 2 4 sin 2 yx ，即曲线 1 C的普通方程为 2 4yx，3 分 依题意得曲线C的普通方程为 2 4(2)yx， 令cosx，siny得 曲线C的极坐标方程为 22 sin4 cos80 ；5 分 （2）法一：将 0 代入曲线C的极坐标方程得 22 00 sin4 cos80 ， 则 0 12 2 0 4cos sin ， 12 2 0 8 sin ， 12 0 ， 12 ,
31、 异号 2 121212 121212 ()41111 OAOB ， 2 0 22 002 0 2 0 4cos32 () sinsin1 1sin 8 2 sin 8 分 0 (0,)， 0 sin(0,1， 1112 ( , 22OAOB ；10 分 河北正定中学/河北正中实验中学 “停课不停学，辉煌靠执着” 第 9 页 共 9 页 法二:设直线l的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数，为直线的倾斜角)， 代入曲线C的普通方程得 22 sin4 cos80tt ， 则 12 2 4cos sin tt ， 1 2 2 8 sin t t ， 1 2 0t t ， 12 ,t
32、t异号8 分 2 12121 2 121 21 2 ()41111ttttt t OAOBttt tt t 2 22 2 2 4cos32 () sinsin1 1sin 8 2 sin (0,) ， sin(0,1 ， 1112 ( , 22OAOB .10 分 23解： （1） 2222 ( )2 ( )(2)(2 )321f mf nmnmnmn ， 法一:2 2mn，22mn， 2222 277 ( )2 ( )(22 )216856() 333 f mf nnnnnn ( )2 ( )f mf n的最小值为 7 3 ，此时 2 3 mn；5 分 法 二: 2222222222 1 =)=+2( 11 2(36+4)( 3 +4 3 4) 3 mnmnmmnnmnnm 2 14 =(2 ) = 33 mn， 47 ( )2 ( )1 33 f mf n ，即( )2 ( )f mf n的最小值为 7 3 ，此时 2 3 mn； （2）1mn， 22 ( )( )()()11f mf nmnmnmn mnmn， 又1mn()(21)211 (21)2(1)nmmmnmmm ， |( )( )| 2(| 1)f mf nm.10 分
