1、28.2 28.2 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用(1)(1)一、新课引入一、新课引入 1 1、在三角形中共有几个元素？、在三角形中共有几个元素？2 2、直角三角形、直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，a、b、c、AA、BB这五个元素间有哪些等量关系呢？这五个元素间有哪些等量关系呢？一般地，直角三角形中，除直角外，共有一般地，直角三角形中，除直角外，共有5 5个元个元素，即素，即3 3条边和条边和2 2个锐角个锐角(1)三边之间的关系：三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理勾股定理)(2)两锐角之间的关系：两锐角之间的关系：A+B=90(3)边角之间的关系：边角之间的
2、关系：sin=cos=tan=AaAcAbAcAaAAb的对边斜边的邻边斜边的对边的邻边理解直角三角形中五个元素的关系，掌握解理解直角三角形中五个元素的关系，掌握解直角三角形的概念；直角三角形的概念；会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形锐角三角函数解直角三角形12二、学习目标二、学习目标 三、研读课文三、研读课文 直角三角形中五个元素的关系直角三角形中五个元素的关系知识点一知识点一1 1、直角三角形、直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c、AA、BB这五个元素间有哪些等量关系呢？这五个元素间
3、有哪些等量关系呢？（1 1）三边之间的关系：）三边之间的关系：_（2 2）两锐角之间的关系：）两锐角之间的关系：_（3 3）边角之间的关系：）边角之间的关系：_由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余未知元由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余未知元素的过程，叫素的过程，叫 .a2+b2=c2A+B=90sin=AaAc的对边斜边cos=AbAc的邻边斜边tan=AaAAb的对边的邻边解直角三角形解直角三角形三、研读课文三、研读课文 直角三角形中五个元素的关系直角三角形中五个元素的关系知识点一知识点一2 2、知道、知道5 5个元素中的几个，就可以求其余元素？个元素中的几个，就可以求其余元素？
4、若已知直角三角形的某若已知直角三角形的某_个元素（直角除外，至少有个元素（直角除外，至少有一个是一个是_），就可以求出这个直角三角形中），就可以求出这个直角三角形中_未知元素未知元素.2 2边边其余其余3 3个个三、研读课文三、研读课文 直角三角形中五个元素的关系直角三角形中五个元素的关系知识点一知识点一1 1、在、在ABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，BC=8BC=8，那么，那么sinA=_sinA=_2 2、在、在ABCABC中，中，C=90C=90，sinA=sinA=，则，则cosAcosA的值是的值是（）45B B三、研读课文三、研读课文 解直角三角形解直角三角形
5、知识点二知识点二例例1 1 在在ABCABC中，中，CC为直角，为直角，AA、BB、CC所对的边所对的边分别为分别为a a、b b、c c，且，且b=b=，a=a=，解这个三角形，解这个三角形解：解：tanA=tanA=_=_=A=60B=_ _=30 AB=2AC=_629090-AA2 2三、研读课文三、研读课文 解直角三角形解直角三角形知识点二知识点二例例2 2 在在RtRtABCABC中，中，B=35 B=35度，度，b=20b=20，解这个三角，解这个三角形（结果保留小数点后一位）形（结果保留小数点后一位）解：解：A=90A=90-B=90B=90-35-35=55=55 tanB=
6、_ tanB=_sinB=_sinB=_C=_=_C=_=_2028.6tantan35baBbabcsinbB20sin3534.934.9三、研读课文三、研读课文 解直角三角形解直角三角形知识点二知识点二1 1、RtRtABCABC中，若中，若sinA=sinA=,AB=10 ,AB=10，那么，那么BC=_BC=_，tanB=_tanB=_2 2、在、在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，a=a=，c=c=，解这个直角，解这个直角三角形三角形.8 834解：解：sinA=sinA=A=30 A=30 AC AC2 2=AB=AB2 2-BC-BC2 2 =6 =6 AC=AC=
7、21222ac 222 226四、归纳小结四、归纳小结 1 1、直角三角形、直角三角形ABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c、AA、BB这五个元素间的等量关系：这五个元素间的等量关系：（1 1）三边之间的关系：）三边之间的关系：_（2 2）两锐角之间的关系：）两锐角之间的关系：_（3 3）边角之间的关系：）边角之间的关系：_2 2、根据直角三角形的、根据直角三角形的_元素（至少有一个边），元素（至少有一个边），可求出其余所有元素的过程，叫可求出其余所有元素的过程，叫_.3 3、学习反思：、学习反思：_ _。a2+b2=c2A+B=90sin=AaAc的对边斜边cos=Ab
8、Ac的邻边斜边tan=AaAAb的对边的邻边2 2个个解直角三角形解直角三角形五、强化训练五、强化训练 1 1、在、在RtABC中中,C=90,已知已知tanB=，则，则cosA等等于（于（）2、在、在RtABC中，中，C=90，a=35，c=则则A=_，b=_.D D45453535五、强化训练五、强化训练 3 3、如图，在、如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，sinA=sinA=AB=15AB=15，求，求ABCABC的周长和的周长和tanAtanA的值的值解：解：sinA=sinA=ABCABC的周长的周长=15+12+9=36=15+12+9=36 45BCAB4415125
9、5BCAB22221512819ACABBC124tan93BCAAC五、强化训练五、强化训练 4 4、在、在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，B=72B=72，c=14c=14，解这个，解这个直角三角形（结果保留三位小数）直角三角形（结果保留三位小数）.解：解：A=90A=90-72-72=18=182222sinsin181414sin184.3144.313.3BCAABBCBCACAB BC即第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数28.2 28.2 解直角三角形及其应用（解直角三角形及其应用（2 2）一、新课引入一、新课引入 1 1、直角三角形中除直角外五个元素之间
10、、直角三角形中除直角外五个元素之间 具有什具有什么关系？么关系？2 2、在中、在中RtRtABCABC中已知中已知a=12,c=13a=12,c=13，求，求BB应该用应该用哪个关系？请计算出来哪个关系？请计算出来.(1)三边之间的关系三边之间的关系（2 2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系（3 3）边角之）边角之间的关系间的关系解：依题意可知解：依题意可知12二、学习目标二、学习目标 逐步培养学生分析问题、解决问题的逐步培养学生分析问题、解决问题的能力能力生使学生了解仰角、俯角的概念，使学生使学生了解仰角、俯角的概念，使学根据直角三角形的知识解决实际问题；根据直角三角形的知识解决实际问题；
11、三、研读课文三、研读课文 认真阅读课本第认真阅读课本第87至至88页的内容，完成下页的内容，完成下面练习，并体验知识点的形成过程面练习，并体验知识点的形成过程.知识点一知识点一 例例3 20033 2003年年1010月月1515日日“神舟神舟”5 5号载人航天号载人航天飞船发射成功飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地当飞船完成变轨后，就在离地球表面球表面350km350km的圆形轨道上运行的圆形轨道上运行.如图如图,当飞船当飞船运行到地球表面上运行到地球表面上P P点的正上方时，从飞船上点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这这样
12、的最远点与样的最远点与P P点的距离是多少点的距离是多少?(?(地球半径约地球半径约为为6 400 km6 400 km，取取3.1423.142，结果精确到，结果精确到0.1 km)0.1 km)三、研读课文三、研读课文 知识点一知识点一 分析分析:从飞船上能直接看到的地球上最远的从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应该是视线与地球相切时的点，应该是视线与地球相切时的_._.如图如图,O,O表示地球，点表示地球，点F F是飞船的位置，是飞船的位置，FQFQ是是OO的切线，切点的切线，切点Q Q是从飞船观测地球时的最是从飞船观测地球时的最远点远点.弧弧PQPQ的长就是地面上的长就是地面上P,Q
13、P,Q两点间的距两点间的距离离.为计算弧为计算弧PQPQ的长需先求出的长需先求出 （即（即 ）切点切点三、研读课文三、研读课文 知识点一知识点一 解解:在上图中，在上图中，FQFQ是是O O的切线，的切线，是直角三角形，是直角三角形，_弧弧PQPQ的长为的长为 _ _由此可知，当飞船在由此可知，当飞船在p p点正上方时，从飞点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离船观测地球时的最远点距离P P点约点约_ _ kmkm.2071207120712071三、研读课文三、研读课文 知识点一知识点一 温馨提示：温馨提示：（1 1）在解决例）在解决例3 3的问题时，我们综合运用了的问题时，我们综合运用了
14、_和和_的知识的知识.（2 2）当我们进行测量时，在视线与）当我们进行测量时，在视线与_线所线所成的角中，视线在成的角中，视线在_线上方的角叫做仰角，线上方的角叫做仰角，在在_线下方的角叫做俯角线下方的角叫做俯角 圆圆解直角三角形解直角三角形水平水平水平水平水平水平知识点二知识点二 从函数的图象获取信息从函数的图象获取信息 知识点二知识点二例例4 4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为30o30o，看这栋离楼底部的俯，看这栋离楼底部的俯角为角为60o60o，热气球与高楼的水平距离为，热气球与高楼的水平距离为120 m.120 m
15、.这栋高楼有多高这栋高楼有多高(结果精确到结果精确到0.1m)?0.1m)?分析：在分析：在中，中，所以可以利用解直角三角形的所以可以利用解直角三角形的知识求出知识求出BD;BD;类似地可以求出类似地可以求出CDCD，进而，进而求出求出BCBC.知识点二知识点二 从函数的图象获取信息从函数的图象获取信息 知识点二知识点二练一练练一练2325练一练练一练 如下左图，某人想沿着梯子爬上如下左图，某人想沿着梯子爬上高高4 4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于与地面的夹角）不能大于6060，否，否则就有危险，那么梯子的长至少为则就有危险，那么梯子的长至少为多
16、少米多少米.A AB BC C解：如图所示，依题意可知解：如图所示，依题意可知B=60B=600 0答：梯子的长至少答：梯子的长至少3.53.5米米四、归纳小结四、归纳小结 2 2、学习反思：、学习反思：_._.1 1、当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，、当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做视线在水平线上方的角叫做_角，在水平线下方角，在水平线下方的角叫做的角叫做_角角仰角仰角俯角俯角五、强化训练五、强化训练 1 1、如图（、如图（2 2），在高出海平面），在高出海平面100100米的悬崖顶米的悬崖顶A A处，观测海平面上一艘小船处，观测海平面上一艘小
17、船B B，并测得它的俯角，并测得它的俯角为为4545，则船与观测者之间的水平距离，则船与观测者之间的水平距离BC=_BC=_ _米米.2 2、如图（、如图（3 3），两建筑物），两建筑物ABAB和和CDCD的水平距离为的水平距离为3030米，从米，从A A点测得点测得D D点的俯角为点的俯角为3030，测得，测得C C点的点的俯角为俯角为6060，则建筑物，则建筑物CDCD的高为的高为_米米.100100五、强化训练五、强化训练 解：依题意可知，在解：依题意可知，在RtADC中中所以树高为：所以树高为：20.49+1.72=22.21第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数 28.2 解
18、直角三角形及其应用（解直角三角形及其应用（3）一、新课引入一、新课引入 画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.北南西东北偏东65度南偏东34度东南西北 了解“方位角”航海术语，并能根据题意 画出示意图；1 12 2二、学习目标二、学习目标 利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用.三、研读课文三、研读课文 知识点一知识点一例例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一
19、位）认真阅读课本第89至91页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.解解直直角角三三角角形形的的应应用用三、研读课文三、研读课文 知识点一知识点一 解解:如图,在 中,PC=_ _ 在 中,PB=_=_129.7答：答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约129.7海里.080cos 25PA72.505三、研读课文三、研读课文 知识点二知识点二练一练练一练 如右下图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东 方向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海里（结果保留根号）40230解：在RtAPC中
20、，AP=40 ，APC=45AC=PC=40在RtBPC中，PBC=30，BPC=60BC=PCtan60=40 =40AB=AC+BC=40+40 （海里）答：海轮行驶的路程AB为(40+40 )海里30四、归纳小结四、归纳小结 1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为_）（2）根据条件特点，适当选用_ 等去解直角三角形.（3）得到数学问题的答案（4）得到_的答案2、学习反思：_ _ _ _.几何图形三角函数实际问题五、强化训练五、强化训练 1、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面
21、的夹角BOA为60，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）解：在RtABO中，tanBOA=tan60=AB=BO tan60=4 =4 （米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米。五、强化训练五、强化训练 2、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离.解：如图，过B点作BDAC于DABD=60，DCB=90-45=45设BD=x，则CD=BD=x在RtABD中，AD=xtan60=x在RtBDC中，BC=BD
22、=X又AC=52=10，AD+CD=AC x+x=10 ，得x=5（-1）BC=5（-1)=5(-)（海里），答：灯塔B距C处5(-)海里。五、强化训练五、强化训练 3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30，如果鱼船不改变航向继续向东航行有没有触礁的危险？解：如图，过A作ADBC于点C，则AD的长是A到BC的最短距离，CAC=30，DAB=60，BAC=60-30=30，ABC=90-60=30，ABC=BAC，BC=AC=12海里，CAC=30，ACC=90，CD=AC=6海里
23、，由勾股定理得AC=6 10.3928，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险 五、强化训练五、强化训练4、如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C处，此时B在C的南偏西30的方向上，请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？五、强化训练五、强化训练 解：过点B作BDAD于点D，EACA于点A，FCCA于点C，由题意得BAE=60，BCF=30CAB=30，DCB=60，DBC=30，CBA=CBD-CAB=30，CAB=CBA，AC=CB=200m，在RtBCD中，BD=BCsin60 =200 =100 （m），学校是以B为中心方圆100m的圆形，100 100，工程若继续进行下去不会穿越学校天道酬勤天道酬勤
