1、8.3 8.3 方差的假设检验方差的假设检验例例1.渔场在初春放养鳜鱼苗渔场在初春放养鳜鱼苗,入冬时渔场打捞出入冬时渔场打捞出59 条鳜鱼条鳜鱼,秤出他们重量的样本标准差秤出他们重量的样本标准差S=0.2(单单位位:kg),对对 02=0.182,在显著性水平在显著性水平=0.05下下,解决以下检验问题解决以下检验问题.(1)H0:2=02 vs H1:2 02，(2)H0:2 02 vs H1:2 02解解:设渔场入冬时渔场打捞出的鳜鱼重量为设渔场入冬时渔场打捞出的鳜鱼重量为X,假设假设XN(,2).设设X1,X2,.,X50是来自总体是来自总体X的的样本样本,则则22212200()(1)
2、(1),59.niniXXnSnn (1)在在H0下下S2是是 2 的无偏估计的无偏估计,所所取值过大取值过大和过小都是拒绝和过小都是拒绝H0的依据的依据.22212200()(1)(1)niniXXnSn 22221W(1)(1)nn 或或 用用 2(n-1)表示表示 2(n-1)的上的上 分位数分位数,则则可以构造出假设可以构造出假设(1)的水平的水平 拒绝域拒绝域 此时此时,在在H0下下有有22221()(1)(1)22P WPnPn H0:2=02 H1:2 02，本例中本例中,查表得到查表得到 否定域否定域是是 本检验是用本检验是用 2 分布完成的分布完成的,所以又称为所以又称为 2
3、检验检验.现在现在22220.9751220.025(1)(58)38.84,(1)(58)80.94nn 22221(1)38.84(1)80.94Wnn 或或22220(1)5871.600.18nSS 所以在检验水平所以在检验水平0.05下不能否定下不能否定H0.(2)在在 H0:2 02下，下，2 是真参数是真参数,可得可得 2222112220()(1)(1)(1)niniXXnSnSn 220.05(1)(58)76.78Wn 于是水平为于是水平为 的的拒绝域拒绝域为为 221(1)(1)PnPn所以所以 现在现在22220(1)5871.600.18nSS 所以在检验水平所以在检
4、验水平0.05下不能否定下不能否定H0.例例2.某汽车配件厂在新工艺下对加工好的某汽车配件厂在新工艺下对加工好的25个个活塞的直径进行测量活塞的直径进行测量,得样本方差得样本方差S2=0.00066.已知老工艺生产的活塞直径的方差为已知老工艺生产的活塞直径的方差为0.00040.问进一步改革的方向应如何？问进一步改革的方向应如何？解解:一般进行工艺改革时一般进行工艺改革时,若指标的方差显著若指标的方差显著增大增大,则改革需朝相反方向进行以减少方差；若则改革需朝相反方向进行以减少方差；若方差变化不显著方差变化不显著,则需试行别的改革方案则需试行别的改革方案.设测量值设测量值 ,2(,)XN 20
5、.00040 需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改革前的方差？故待检验假设可设为：前的方差？故待检验假设可设为：H0:2 0.00040；H1:2 0.00040.H0:2 0.00040；H1:2 0.00040.此时可采用效果相同的单边假设检验此时可采用效果相同的单边假设检验 H0:2=0.00040；H1:2 0.00040.检验统计量检验统计量22220(1)(1)nSn 拒绝域拒绝域2220.05(1)(24)36.415Wn 2024 0.0006639.636.4150.00040 故拒绝故拒绝H0.即改革后的方差显著大于改革前的即改革后
6、的方差显著大于改革前的方差方差,因此下一步的改革应朝相反方向进行因此下一步的改革应朝相反方向进行.经计算经计算例例3 新设计的某种化学天平，其测量的误差服从新设计的某种化学天平，其测量的误差服从正态分布，现要求正态分布，现要求 99.7%的测量误差不超过的测量误差不超过 0.1mg,即要求即要求 3 0.1。现拿它与标准天平相。现拿它与标准天平相比，得比，得10个误差数据，其样本方差个误差数据，其样本方差s2=0.0009.试试问在问在 =0.05的水平上能否认为满足设计要求？的水平上能否认为满足设计要求？解解:H0:1/30；H1:1/302220.059(9)16.9191/900S 22
7、2209(9)S 拒绝域拒绝域 未知未知,故故选选检验统计量检验统计量2297.2916.919,1/900S 经计算经计算故接受原假设故接受原假设.2 02 2 02)1(22n 2 02)(22n 2 02)(212n 2 02 2=02 2 02原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其在检验统计量及其在H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域 检验法检验法2(已知已知)()(220122nXnii)()(2221222nn或关于关于 2 2 的检验的检验 8.4 两正态总体参数的假设检验两正态总体参数的假设检验 设总体设总体X N(1,12),X1,X2,Xn为来自总体为来
8、自总体X的样本，样本均值为的样本，样本均值为 ，样本方差为，样本方差为 .X21S 设总体设总体Y N(2,22),Y1,Y2,Ym为来自总为来自总体体Y的的样本，样本均值为样本，样本均值为 ，样本方差为，样本方差为22SY 假设假设X与与Y 独立独立。1.关于均值差的假设检验，关于均值差的假设检验，12 与与 22已知已知012112:HH (1)从从 1 2 的一个无偏估计出发的一个无偏估计出发 ，确定拒绝确定拒绝域的形式域的形式XY|()|WXYC 并控制第一类错误，并控制第一类错误，0|()|PXYC H成成立立012112:HH 由于由于当当H0 0成立时成立时，1222221212
9、()()()(0,1)/XYXYNnmnm 所以所以012112:HH 并控制第一类错误，并控制第一类错误，|)(|0成立时HCYXP1222221212()()()(0,1)/XYXYNnmnm 由于由于22221212|()|()|/X YCPX YCPnmnm 2212/2Cznm 所以所以拒绝域拒绝域为为2212/2|()|/WXYnm z 等价地，该等价地，该拒绝域拒绝域可写为可写为检验统计量检验统计量/22212|()|/X YWznm 检验统计量检验统计量2212()/XYWCnm 并控制第一类错误，并控制第一类错误，(2)012112:HH 确定拒绝域的形式确定拒绝域的形式22
10、12()/XYnm 02212()|/XYPC Hnm 成成立立当当H0 0成立时成立时，控制第一类错误，控制第一类错误，且且所以所以012112:HH 02212()|/XYPC Hnm 成成立立122212()()(0,1)/XYNnm 1222221212()()()/XYXYnmnm 1222221212()()()/XYXYCCnmnm 故而故而要使要使只要只要1Czz 1222221212()()()/X YX YPCPCnmnm 2212()/X YPCnm 122212()()/X YPCnm 所以所以拒绝域拒绝域为为拒绝域拒绝域为为2212()/XYWznm 2212()/X
11、YWCnm Cz 检验统计量检验统计量2212()/XYWCnm 并控制第一类错误，并控制第一类错误，(3)012112:HH 确定拒绝域的形式确定拒绝域的形式2212()/XYnm 02212()|/XYPC Hnm 成成立立当当H0 0成立时成立时，控制第一类错误，控制第一类错误，且且所以所以012112:HH 02212()|/XYPC Hnm 成成立立122212()()(0,1)/XYNnm 1222221212()()()/XYXYnmnm 1222221212()()()/XYXYCCnmnm 故而故而要使要使只要只要Cz 1222221212()()()/XYXYPCPCnmn
12、m 2212()/XYPCnm 122212()()/X YPCnm 所以所以拒绝域拒绝域为为拒绝域拒绝域为为2212()/XYWznm 2212()/XYWCnm Cz 设总体设总体X N(1,12),X1,X2,Xn为来自总体为来自总体X的样本，样本均值为的样本，样本均值为 ，样本方差为，样本方差为 .X21S 设总体设总体Y N(2,22),Y1,Y2,Ym为来自总为来自总体体Y的的样本，样本均值为样本，样本均值为 ，样本方差为，样本方差为22SY 假设假设X与与Y 独立独立。2.关于均值差的假设检验，关于均值差的假设检验，12=22=未知未知012112:HH (1)拒绝域拒绝域为为/
13、2|()|(1,1)1/1/wXYWtn-m-Snm (2)012112:HH 拒绝域拒绝域为为()(1,1)1/1/wXYWt n-m-Snm 012112:HH (3)拒绝域拒绝域为为()(1,1)1/1/wXYWt n-m-Snm C.C.成对数据的假设检验成对数据的假设检验211210:HH(1)检验水平为检验水平为 拒绝域为拒绝域为当当H H0 0成立时成立时，nSZTZn/)1(|2ntTW 如果如果W发生，就称发生，就称检验是显著的检验是显著的.这时，否定犯错误的概率不超过。这时，否定犯错误的概率不超过。0H检验统计量检验统计量令令.,2,1,niYXZiii)1(/)(21nt
14、nSZTZn(2)211210:HH211210:HH(3)检验水平为检验水平为 拒绝域为拒绝域为)1(ntTW 如果如果W发生，就称发生，就称检验是显著的检验是显著的.这时，否定犯错误的概率不超过。这时，否定犯错误的概率不超过。0H检验水平为检验水平为 拒绝域为拒绝域为)1(ntTW 如果如果W发生，就称发生，就称检验是显著的检验是显著的.这时，否定犯错误的概率不超过。这时，否定犯错误的概率不超过。0HD.D.未知未知 时，时，均值差均值差的检验（要求大样本）的检验（要求大样本）211210:HH(1)2221,检验水平为检验水平为 拒绝域为拒绝域为当当H H0 0成立时成立时，.mn,/)
15、(2221都很大其中mSnSYXTmn|2zTW 如果如果W发生，就称发生，就称检验是显著的检验是显著的.这时，否定犯错误的概率不超过。这时，否定犯错误的概率不超过。0H检验统计量检验统计量)1,0(/)()(222121NmSnSYXTmn渐近(2)211210:HH检验水平为检验水平为 拒绝域为拒绝域为zTW 如果如果W发生，就称发生，就称检验是显著的检验是显著的.这时，否定犯错误的概率不超过。这时，否定犯错误的概率不超过。0H(3)211210:HH检验水平为检验水平为 拒绝域为拒绝域为zTW 如果如果W发生，就称发生，就称检验是显著的检验是显著的.这时，否定犯错误的概率不超过。这时，否
16、定犯错误的概率不超过。0H 设总体设总体X N(1,12),X1,X2,Xn为来自总体为来自总体X的样本，样本均值为的样本，样本均值为 ，样本方差为，样本方差为 .X21S 设总体设总体Y N(2,22),Y1,Y2,Ym为来自总为来自总体体Y的的样本，样本均值为样本，样本均值为 ，样本方差为，样本方差为22SY 假设假设X与与Y 独立独立。3.关于方差比的假设检验，关于方差比的假设检验，1与与 2未知未知(1)2222012112:HH依据依据 12/22 的一个点估计的一个点估计 ，确定拒绝域的确定拒绝域的形式形式2212/SS2222121122/WSSCor SSC 并控制第一类错误，
17、并控制第一类错误，由于由于当当H0 0成立时成立时，222111222222/(1,1)/SSF nmSS 2222012112:HH2222121122/P SSCor SSC 并控制第一类错误，并控制第一类错误，由于由于11/22/2(1,1),(1,1),CFnmCFnm 2222012112:HH2222121122/P SSCor SSC 2212/(1,1)SSF nm按照控制第一类错误的原则，为了计算方便，取按照控制第一类错误的原则，为了计算方便，取2/,2/)/2222112221CSSPCSSP所以所以拒绝域拒绝域为为拒绝域拒绝域为为2222121122/WSSCor SSC
18、 11/22/2(1,1),(1,1),CFnmCFnm 2222121/212/2/(1,1)/(1,1)WSSFn-m-or SSFn-m-检验统计量检验统计量 2212/SS2212/WSSC 并控制第一类错误，并控制第一类错误，(2)由于由于当当H0 0成立时，成立时，2222111122222222/(1,1)/SSF nmSS 2222012112:HH2212/P SSC 确定拒绝域的形式确定拒绝域的形式当当H0 0成立时，成立时，控制第一类错误，控制第一类错误，且且所以所以22120/|P SSC H 成成立立222111222222/SSSS 222111222222/SSC
19、CSS 2222012112:HH2222111122222222/(1,1)/SSF nmSS 故而故而要使要使只要只要1(1,1)CFnm 222111222222/SSPCPCSS 2122SPCS 22112222/SPCS 所以所以拒绝域拒绝域为为拒绝域拒绝域为为2212/WSSC 1(1,1)CFnm 22121/(1,1)WSSFn-m-检验统计量检验统计量2212/SS 2212/WSSC 并控制第一类错误，并控制第一类错误，(3)由于由于当当H0 0成立时成立时，2222111122222222/(1,1)/SSF nmSS 2222012112:HH2212/P SSC 确
20、定拒绝域的形式确定拒绝域的形式当当H0 0成立时，成立时，控制第一类错误，控制第一类错误，且且所以所以22120/|P SSC H 成成立立222111222222/SSSS 222111222222/SSCCSS 2222012112:HH2222111122222222/(1,1)/SSF nmSS 故而故而要使要使只要只要(1,1)CFnm 222111222222/SSPCPCSS 2122SPCS 22112222/SPCS 所以所以拒绝域拒绝域为为拒绝域拒绝域为为2212/WSSC (1,1)CFnm 2212/(1,1)WSSF n-m-例例4 为比较两台自动机床的精度，分别取容
21、量为为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和和8的两个样本，测量某个指标的尺寸的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服假定服从正态分布从正态分布)，得到下列结果：，得到下列结果：在在 =0.1时，时，问这两台机床是否有同样的精度问这两台机床是否有同样的精度?车床甲：车床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42车床乙：车床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38解解:设设两台自动机床的方差分别为两台自动机床的方差分别为 12和和 22，则检验则检验2222012112:HH 2122(9,7)SFFS H0成立时成立时拒绝域拒绝域为为2222120.95120.05/(9,7)/(9,7)WSSFor SSF 由样本值可计算得由样本值可计算得F=1.5120.05(9,7)(9,7)3.68FF 查表得查表得120.95(9,7)(9,7)FF 1/3.290.304 )9,7(/105.0F由于由于 0.3041.513.68，故接受故接受H0认为两台机床的精度认为两台机床的精度没有显著性差异没有显著性差异。作业：作业：第第8 8章章 8.19;8.20:(1),(2)8.19;8.20:(1),(2)
