1、1 江江苏苏省省苏苏北北七七市市 2020 届届高高三三第第二二次次调调研研测测试试 数数学学 参考公式： 柱体的体积公式：ShV 柱体 ，其中 S 为柱体的底面积，h 为高. 椎体的体积公式：ShV 3 1 锥体 ，其中 S 为锥体的底面积，h 为高. 一一、填填空空题题：本本大大题题共共 14 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共计计 70 分分请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上 1已知集合7 , 5,4 , 1aBA.若 4BA,则实数a的值是. 2若复数z满足i i z 2,其中i是虚数单位，则z的模是. 3 在 一 块 土 地 上 种 植 某 种 农 作
2、物 ， 连 续5年 的 产 量 ( 单 位 : 吨 ) 分 别 为 8 .10,3 .10,8 . 9,7 . 9,4 . 9.则该农作物的年平均产量是吨. 4右图是一个算法流程图，则输出的S的值是. 5“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是:在石头、剪子和布中，二人 各随机选出一种，若相同则平局:若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头. 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是. 6在ABC中，已知BCACAB3,2, 则A的值是. 7在等差数列 *Nnan中，若3, 8421 aaaa,则 20 a的值是. 8如图，在体积为V的圆柱 21O O中，以线段 21O O上的点O为顶
3、点，上下底面为底面 的两个圆锥的体积分别为 21,V V, 则 V VV 21 的值是. 9在平面直角坐标系xOy中，双曲线0, 01 2 2 2 2 ba b y a x 的左顶点为A,右焦点 为F,过F作x轴的垂线交双曲线于点QP,.若APQ为直角三角形， 则该双曲线 的离心率是. 10在平面直角坐标系xOy中，点P在直线xy2上，过点P作圆8)4( : 22 yxC的一条切线，切 点为T.若POPT ，则PC的长是. 5 123 21 951456789015213 23 10 63 、 2 11若1x,则 1 1 1 9 2 xx x的最小值是. 91 118 11 xx xx 解：所
4、求（验等） 12在平面直角坐标系xOy中，曲线 x ey 在点),( 0 0 x exP处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数 的底数.若点PABxB,0 , 0 的面积为3，则 0 x的值是. 00 000 1 (1)(1,0)3ln6 2 xx PAyexxA xSex解：，则，故，得： 13图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME -7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而 成的(如图(2), 其中1 8732211 AAAAAAOA,则 8776 AAAA的值是. 76 642 sincos()sin 27 7 OA A 解：设，易得：，故所求 14设函数 . 84),8( ,
5、 40,log )( 2 xxf xax xf若存在实数m，使得关于x的方程mxf)(有 4 个不相等的 实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是. 12341234 14232 242 4 2222 12122 2 1 222 2 4 1222222 2 1 2 , 28(2 ,4) 222 ()()(8)(8) 2 (2,42)2161282 a aaa i i a aaa i i x xx xxxxx axxxxx f xf xaxxxx xxx xtxtt x 解：设四个根分别为：，不妨 数形结合知：， 令，则 由 122 24421 aa a 题意知： 3 二二、解解
6、答答题题：本本大大题题共共6小小题题，共共计计90分分请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过 程程或或演演算算步步骤骤 15（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知向量, 4 sin, 4 cos),sin,(cos ba 其中 2 0 . （1）求aab的值； （2）若1,1c,且acb/, 求的值 2 22 1 () coscos()sinsin()(cossin) 44 cos()1 4 22 2 22 2(cossin),(cossin) 22 22 (cossin)1, 22 baaa ba b bc
7、 解：（） ； （ ） (cossin)1) 22 () / /sin(cossin)sincos(cossin)cos 22 2 sincos 2 2 2sin() 42 1 sin() 42 (0,)(,) 244 4 5 46 bca 因为，故 整理得： 即： 则： ，则： 故，因此： 12 4 16（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，CBCA ,点QP,分别为 11,CC AB的中点 求证：（1）/PQ平面ABC； （2）PQ平面 11A ABB 1 11 1111111 1 1 1 / / 2 / / / / / / ABDCDPD PDABAB P
8、DBBPDBB ABCA BCBBCCBBCC QCCPDCQPDCQ PDCQPQCD PQABCCDABC 证：（）取中点 ，连结， 因为 ， 分别为，中点 所以， 直三棱柱中， 又 为中点，故， 所以四边形为平行四边形 又平面，平面 1111 1 1 1111 / / 2 1/ / / / PQABC CACBDAB ABCDPQCD ABPQ ABCA BCAAABC CDABCAACD PQCDAAPQ AAABAAAABB AABA 所以平面； （ ）因为， 为中点 所以，又由（）知： 所以， 直三棱柱中，平面 又平面，故 又，所以 又，平面，平面 11 11 BB A PQABB
9、 A 所以，平面 17（本小题满分 14 分） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 圆 C ： 1)3( 22 yx，椭圆 E:)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右顶 点 A 在圆 C 上，右准线与圆 C 相切 5 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与圆 C 相交于另一点 M，与椭圆 E 相交于另一点 N.当AMAN 7 12 时，求 直线 l 的方程 2 222 22 22 10242 4213 1 43 2242 11 22 12 11 CyxEc a acbac c xy E lxANaAM lxlxmyAMm m
10、m 解：（）圆 中令得：或 ，设椭圆 的焦距为 由题意知：，得：，故 因此椭圆 的方程为：； （ ）当 与 轴重合时，易得：，与题意不符，舍去； 当 与 轴不重合时，设 ：，则： 2 2 2 2222 2 2 2 22 222 2 22 86 22 8612 34 (,) 034 34341212 34 121 8612 (2)() 343434 121 241 1 7341 m x xmyx mm m N ymmxym y m mm mm AN mmm mm mm mm lx 或，即 故 由题意知： 则 方程为：20 20 y lxy ； 综上，直线 的方程为： 18（本小题满分 16 分）
11、 某公园有一块边长为 3 百米的正三角形 ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植花 卉.方案是：先建造一条直道 DE 将ABC分成面积之比为 2:1 的两部分（点 D，E 分别在边 AB，AC 上）；再取 DE 的中点 M，建造直道 AM（如图）.设xAD ， 1 yDE ， 2 yAM （单位：百米） （1）分别求 1 y， 2 y关于x的函数关系式； （2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值 6 o 222 222 11 22 133 36 1sin60 242 332,3 2cos 3636 66062,3 ADE SAD AEx AEAE x AD
12、AEx ADEDEADAEAD AEDAE yxyxx xx MDEADAE 解：（）由题意知： 由，得： 在中，由余弦定理得： 即：， 因为为中点，故 222 222 22 22 22 12 22 22 12 22 2 24 36136 6462,3 2 36136 62,362,3 2 36136 216 2 AM ADAEAD AEAM xyyxx xx yxxyxx xx yyxx xx 平方得： 即：，； 答：，；，； （ ）由（）知： 22 22 12 6(2,3) 3636 1262,3 13 61826 22 3 626 2 x xxx xx yy AD ， ，当且仅当，即时取
13、等 故 答：当时，两条直道的长度之和最小，最小值为（百米） 19（本小题满分 16 分） 设函数)(xf在 0 x处有极值，且 00) (xxf，则称 0 x为函数)(xf的“F 点” （1）设函数xkxxfln2)( 2 （Rk）. 当1k时，求函数)(xf的极值； 当函数)(xf存在“F 点”，求k的值； （2）已知函数cxbxaxxg 23 )(（a，b，Rc，0a）存在两个不相等的“F点” 21,x x， 且1)()( 21 xgxg，求a的取值范围 7 2 2 2(1)(1) 1( )2ln(0,)( ) (0,1)1(1,) ( )0 ( ) ( )(1)1 2(1) ( )(0,
14、) 0( )0( )0 xx f xxxxfx x x fx f x f xf kx fxx x kfxf xk 极小值 解：（）， 极小值 故，无极大值； ， 当时，在定义域上递减，无极值，故； 111 (0,)(,) ( )0 ( ) 11111 ( )()1 2ln2ln10 2 ( )2ln10( )10( )(0,) 1111 (1)0()2ln1011 x kkk fx f x f xf kkkkk F xxxxF xF x x FFk kkkk 极小值 极小值 由题意知： 令，故在递增 又，故，解得：； （ 2 12 1122 32 12 1,212 32 2( )320 ()(
15、) ,( ) 22 00,00 33 222 ()()() 333 g xaxbxcxx g xxg xx x xg xaxbxcxx bb cxxx aa bbb gab aaa ）由题意知：的两个不相等的根为 ， 由题意知：， 为方程的两个不相等的根 时，易得：，不妨， 则 2 2 1212 2 2 1212 22 2 29 3 242 ()()12,0 39 0,0,10 320100 233(1)0 b ba a bb g xg xxxa aaa cx xx xaxbxc axbxcaxbxca bbccb ； 时，则为方程的两个不相等的根 故方程与方程同解，又 故，得： 1,2 12
16、12 31 0 22 1 ()()21 2,0) 2 2,0) cxa a g xg xxxa a a ，此时， ； 综上， 8 20（本小满分 16 分） 在等比数列 n a中， 已知1 1 a， 8 1 4 a.设数列 n b的前 n 项为 n S， 且1 1 b， 1 2 1 nnn Sba （2n， n）. （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：数列 n n a b 是等差数列 （3）是否存在等差数列 n c，使得对任意 Nn，都有 nnn acS？若存在，求出所有符合题意 的等差数列 n c；若不存在，请说明理由 解：（1）因为 14 1 1, 8 aa，所以 3 4 1 1
17、 8 a q a ，解得 1 2 q ， 所以 1 1 2 n n a ； （2）因为 1 1 2 2 nnn abSn ，所以 11 1 2 nnn abS ， 两式相减，可得 11 1 2 2 nnnnn ababbn ， 所以 11 111 222 n nnnnn bbaab ， 所以 1 1 2212 nn nn bbn ，即 1 1 12 nn nn bb n aa ， 当2n 时， 221 11 22 abb ，所以 2 11 0 22 b ， 所以 21 21 01 1 1 1 2 bb aa ， 所以 1 1 1 nn nn bb aa 对任意 * nN恒成立，即数列 n n
18、b a 是公差为1的等差数列； （3）由（2）可知 1 2112 n n n n b bnn a ，所以 1 2 2 n n n b ， 9 所以 11 111 2222 nnn nnn nn Sab ，即 1 2 n n n S ， 因为 1 1 11 0 222 nn nnn nnn SS ， 所以 1nn SS ，当且仅当1n 时，等号成立，且易知0 nn Sa ， 若存在等差数列 n c符合题意，则 111 Sca ，即 1 1,1c ，设 n c公差为d， 若0d ，当 2 n d 时， 11 2 n ccn d ，即 1 1,1 n c ， 所以 111 1 nn cac ，或 +
19、11+1 1 nn cSS ，不符题意； 若0d ， 1n cc恒成立， 当 1 0c 时，0 n c ，所以 nnn Sca ，即0 n c 符合题意， 当 1 0c时，取 2 1 1 logn c ，则 111 1 2 nn n acc ，不符题意， 当 1 0c时，当 1 8 n c 时， 2 1 8 c nn ， 所以 2 11 12 1 22 nn nn nn Sccc ， 设 2 2 1 2n n f n ，则 2 22 323 121 1 222 nnn nnnn f nf n ， 当1,2n 时， 10f nf n，所以 123fff， 当3n时， 10f nf n，所以 1f
20、 nf n， 所以 * 5 9 31 0 2 f nfnN，即 2 1 2 10 2 nn n n Scc ， 所以 nn Sc，即 1 0c不符合题意， 综上，当且仅当0 n c 时，满足题意. 10 江江苏苏省省苏苏北北七七市市 2020 届届高高三三第第二二次次调调研研测测试试 数数学学(附附加加题题) 21【选选做做题题】本本题题包包括括 A、B、C 三三小小题题，请请选选定定其其中中两两小小题题，并并在在相相应应的的答答题题区区域域内内作作答答 若若多多做做， 则则按按作作答答的的前前两两小小题题评评分分解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤
21、A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵 0 10 a A的逆矩阵 0 20 1 b A若曲线1 4 : 2 2 1 y x C在矩阵A对应的变换作用下得到 另一曲线 2 C,求曲线 2 C的方程. 21（A）.解：由题意可知 1 0102010 000201 b aba AA， 所以 1 21 b a ，解得 1 1, 2 ba，所以矩阵 01 1 0 2 A， 设曲线 1 C上的一点,P x y在矩阵A对应的变换作用下得到点 111 ,P x y， 则 1 1 01 11 0 22 y xx yyx ，所以 1 1 1 2 yx xy ，即 1 1 2 yx xy ，
22、 因为点P在曲线 1 C上，所以 2 2 1 4 x y，所以 22 11 1yx， 即曲线 2 C的方程为 22 1xy. B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知曲线C的方程为)0( rr，直线l的方程为2 4 cos . 设直线l与曲线C相交于BA,两点，且72AB，求r的值. 11 解：以极点为坐标原点，以极轴为x轴非负半轴，建立平面直角坐标系， 因为曲线C的方程为r，所以 22 r，即 222 0xyrr， 所以曲线C是以原点为圆心，以r为半径的圆， 直线l的方程为 cos2 4 ，所以 coscossinsin2 44 ， 整理得cossin2，因为
23、cos ,sinxy， 所以直线l的方程为20xy，圆心O到直线l的距离 2 2 1 1 d ， 所以 222 2222 7ABrdr，解得3r . C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知实数zyx,满足2 111 2 2 2 2 2 2 z z y y x x ,证明:2 111 222 z z y y x x . 解：由题意可知， 222 222222 111 31 111111 xyz xyzxyz ， 即 222 222 2 111xyz ， 因为 22 2222 222 2 1111 xxx xxxx ，当且仅当2x 时，等号成立， 同理 22 222222 22 22
24、2 2 , 111111 yyzz yyyzzz ， 当且仅当2yz时，等号成立， 所以 222 2 22 22 2 4 111 xyz xyz ，即 222 2 111 xyz xyz ， 当且仅当2xyz时，等号成立. 12 【必必做做题题】第第 22 题题、第第 23 题题，每每题题 10 分分，共共计计 20 分分请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字 说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 22.（本小题满分10分） 小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天,每名员工休假的概率都是 2 1 ，且是 否休假互不影响
25、.若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则 该店就停业. （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望. 解：（1）设发生调剂现象为事件A， 则 4 1 2 11 C 28 P A ； （2）由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2， 4 11 0 216 P X ， 4 1 4 11 1C 24 P X ， 11 2110 16 P XP XP X ， 所以随机变量X的分布列为 X012 P 1 16 1 4 5 8 随机变量X的数学期望 111113 012 164168 E X . 自由-探索-独立-思考13 23.（
26、本小题满分10分）. 我们称*)(Nnn元有序实数组 n xxx, 21 为n维向量， n i i x 1 为该向量的范数. 已知n维向量 n xxxa, 21 ，其中.,2,1,1,0,1nixi记范数为奇数的n维向量a的 个数为 n A,这 n A个向量的范数之和为 n B. （1）求 2 A和 2 B的值； （2）当n为偶数时，求 n A， n B(用n表示). 23. 解：（1）当2n 时，范数为奇数的2维向量有 1234 0,10, 11,01,0 aaaa， 所以 22 4,1 1 1 14AB ； （2）当 * 2nk kN时，范数为奇数的2k维向量 122 . , , k x
27、xxa的个数为 2k A， 因为当范数为奇数时，只有奇数个 i a的值为1或1， 所以 13321212121 22222 1 . C2C2C2C2 k kkii kkkkk i A ， 因为 2 212122 22 10 12C2C2 kk k iiii kk ii ， 2 212122 22 10 12C2C2 kk k iiii kk ii ， 所以 2 22 2 23131 k kk k A ，即 31 2 n n A ， 因为 212122222222 222121 111 21 C24 C24C2 kkk iiiiii kkkk iii Bikk ， 因为 21 22222121
28、2121 11 12C2C2 kk k iiii kk ii ， 21 22222121 2121 11 12C2C2 kk k iiii kk ii ， 所以 21 22222121 21 1 2C23131 k k iikk k i ，即 21 2222 21 1 31 C2 2 k k ii k i ， 所以 21 2 231 k k Bk ，即 1 31 n n Bn . 14 方法二：因为2k维向量 122 . , , k x xxa共有 2 39 kk 个， 则对于22k 维向量 1222122 . , , kkk x xxxx a， 若 2 1 k i i a 为奇数，则 212
29、2kk xx 为偶数即可， 此时 2122 , kk xx 共有 0,0 ,1, 1 , 1,1 ,1,1 , 1, 1 五种取值， 若 2 1 k i i a 为偶数，则 2122kk xx 为奇数即可， 此时 2122 , kk xx 共有 0,1 , 0, 1 , 1,0 ,1,0四种取值， 所以 2 22222 54 34 9 kk kkkk AAAA ，即 222 4 9k kk AA ， 又因为 2 4A ，由累加法可知， 121 2 4 1 9 . 44 94 94 9 1 9 k k k A ， 即 4 1 3 31 1 92 n n n A . 注：求解 n B也可以用递推数列，但是过程过于复杂，这里略过.
