1、导数及其应用单元测试一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分, 共50分)1设函数f(x)在处可导，则等于 （ C ）A B C- D-2若函数f(x)的导数为f(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4）处的切线的倾斜角为（ C ）A90 B0 C锐角 D钝角3函数y=x33x在1，2上的最小值为（ B ）A、2B、2C、0D、44设函数的导函数为，且，则等于 (B )A、 B、 C、 D、5已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( D ) A、1a2 B、3a6 C、a2 D、a66、设函数f(x)kx33(k1)x21在区间（0，4）上是减函数，则的取
2、值范围是 （ D ）A、B、C、D、7、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x)可能为 （D ）xyOxyOAxyOBxyOCxyOD8、对于R上可导的任意函数f（x），且若满足（x1）0，则必有 （ C ）A、f（0）f（2）2f（1） D、f（0）f（2）2f（1）9、已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为(C ) 10、f()是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是（B ）A若a0,则函数g（）的图象关于原点对称.B若a=1，2b0,则方程g（）=0有大于2的实根.C
3、若a0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.D若a1,b2,则方程g（）=0有三个实根.二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)11.求的导数 12曲线S：y=3x-x3的过点A（2，-2）的切线的方程是y=-9x+16或y=-2 。 13. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 .14设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在 处的切线的斜率为 0 15. 已知直线x+2y4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当PAB面积最大时，P点坐标为 P(4,4) .三、解答题（共6小题，共75分）16、
4、（本题满分12分）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:（1）求函数的“拐点”A的坐标;（2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.16、解析（1），.令得 ， .拐点（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边,右边右边=右边在图象上关于A对称猜想：所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。17. （本题满分12分）已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有.17. （1）由得因为，所以在时恒成立，
5、所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得18. （本题满分12分）已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.18. 解析：的定义域为， 1分 的导数. 3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 5分所以，当时，取得最小值. 6分（）解法一：令，则， 8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，即，与题设相矛盾. 13分综上，满足条件的的取值范围是. 14分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 8分令， 则. 10分当时，因为，
6、故是上的增函数， 所以 的最小值是， 13分所以的取值范围是. 14分19、（本题满分12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？【注：】19、解：设正六棱锥的高为x m,则正六棱锥底面边长为（单位：m）。2分于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：。4分帐篷的体积为（单位：m3）：8分求导数，得；令解得x=-3(不合题意，舍去),x=1。 10分当0x1时，,V(x)为增函数；当1x3时，,V(x)为减函数。所以当x=1时,V(x)最大。即当OO1为2m时，帐篷的体积最
7、大。 12分20. （本题满分13分）已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值.（）求函数f(x)的解析式；（）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.20. 解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f
8、(1)=26分对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的
9、极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2. 21. （本题满分14分）已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.om21.解：（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分的极小值为 4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ， 5分令， 6分当时，在上单调递增 7分 在（1）的条件下， 9分（）假设存在实数，使（）有最小值3， 9分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 10分当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 11分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 7 / 7
