1、“杨辉三角杨辉三角”与与二项式系数的性质二项式系数的性质 把（把（a+b)n展开式的二项式系数取出展开式的二项式系数取出来，当来，当n依次取依次取1，2，3，时，可列成下表：时，可列成下表：(a+b)11 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1上面的表叫做上面的表叫做二项式系数表二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)1 在我国在我国,很早很早就有人研究过二就有人研究过二项式系数表项式系数表,南南宋数学家杨辉在宋数学家杨辉在其所著的其所著的详解详解九章算法九章算法中就中就有出现
2、有出现.(a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1性质性质联系函数联系函数观察二项式系数表，寻求其规律：观察二项式系数表，寻求其规律：31015 不难发现不难发现,表中每行两端都是表中每行两端都是1 1，而且除，而且除1 1以外的每以外的每一个数都等于它肩上两个数的和一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一事实上，设表中任一不为不为1 1的数为的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及及Cnr，知道，知道Cn+1
3、+1r=Cnr-1-1+Cnr 这就是这就是组合数的性质组合数的性质2 2.除了这个性质外除了这个性质外,该表还蕴藏有什该表还蕴藏有什么性质呢么性质呢?(1)(1)对称性对称性:与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等(a+b)n展开式的二项式系数依次是展开式的二项式系数依次是:012,.rnnnnnnCCCCC，,(2)(2)递推性递推性:除除1 1以外的每一个数都以外的每一个数都等于它肩上两个数的和等于它肩上两个数的和.(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值.增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小.1kknnCC 与与 从第一项起至中间项从
4、第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大,随后随后又逐渐减小又逐渐减小.1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnn knn kCCk n kkkn kk (4)(4)各二项式系数的和各二项式系数的和.0122rnnnnnnnCCCCC 可运用函数的观点，结合可运用函数的观点，结合“杨辉三角杨辉三角”和函数和函数 图象，研究二项式系数的性质图象，研究二项式系数的性质 (a+b)n展开式的二项式系数是展开式的二项式系数是 可看成是以可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数f(r),),其定义域是其定义域是0,1,2,0,1,2,n,当当n=6=6时，其图象是右图中的时，其图象是右
5、图中的7 7个孤立个孤立点点.012,.rnnnnnnCCCCC，,rnC.-1084621620f(r).369r 试证明在试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：即证：021312nnnnnCCCC 证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 所所以以 启示：在二项式定理中，对启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，
6、赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法赋值法.继续思考继续思考1:思考思考3思考思考2 202122222()()()().nnnnnnnCCCCC 略证：由略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后，两边展开后比较比较xn的系数得的系数得再由再由 得得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC求证求证:1.1.当当n 1010时常用杨辉三角处理二项式时常用杨辉三角处理二项式系数问题系数问题;2.2.利用杨
7、辉三角和函数图象可得二项利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值式系数的对称性、增减性和最大值;3.3.常用赋值法解决二项式系数问题常用赋值法解决二项式系数问题.小结小结课外思考课外思考:1.求证：求证：012123122nnnnnnCCCnCn 2.(12.(1x )1313 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 ()()A.A.第六项第六项 B.B.第七项第七项 C.C.第八项第八项 D.D.第九项第九项C 作业作业 类似上面的表类似上面的表,早在我国南宋数学家早在我国南宋数学家杨辉杨辉12611261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经一书
8、里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里表里“一一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的以外的每一个数都等于它肩上两个数的和和，杨辉指出这个方法出于，杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国算书，且我国北宋数学家北宋数学家贾宪贾宪（约公元（约公元1111世纪）已经用过它。这世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于表明我国发现这个表不晚于1111世纪。在欧洲，这个世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家表被认为是法国数学家帕斯卡帕斯卡（1623-16621623-1662）首先）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，发现的，
9、他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可见，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.思考思考:求证：求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：因证明：因0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01212311 2nnnnnnCCCnCn故倒序相加法倒序相加法 思考思考3 在在(3x-2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项式系数最大的项二项
10、式系数最大的项;(2)(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项.解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r r+1+1项项.则则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC 即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCx y（3）因为系数为正的项为奇数项，故可）因为系数为正的项为奇数项，故可设第设第2r-1项系数最大项系数最大.（以下同（以下同2）r=5.即即 3(r+1)2(20-r),得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为.528527 r.238128128209yxCT
