1、4.2概率及其计算4.2.1概率的概念【知识再现知识再现】根据事件发生的可能性大小根据事件发生的可能性大小,可以可以分为分为_,_,_,_._,_.必然事件必然事件不可能事件不可能事件随机事件随机事件【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P124-126,P124-126,归纳结论归纳结论:1.1.对于一个随机事件对于一个随机事件A,A,我们把刻画其发生可能性大小我们把刻画其发生可能性大小的数值的数值,称为随机事件称为随机事件A A发生的发生的_,_,记为记为_._.概率概率P(A)P(A)2.2.一般地一般地,如果在一次试验中如果在一次试验中,有有n n种可能的结果种可能的结果,并且并且每一种
2、结果发生的可能性相等每一种结果发生的可能性相等,那么出现每一种结果的那么出现每一种结果的概率都是概率都是 .如果事件如果事件A A包含其中的包含其中的m m种可能的结果种可能的结果,那那么事件么事件A A发生的概率发生的概率 1n3.3.利用利用P(A)=P(A)=求事件概率的条件求事件概率的条件(1)(1)每一次试验中每一次试验中,可能出现的结果只有可能出现的结果只有_个个.(2)(2)每一次试验中每一次试验中,各种结果出现的可能性各种结果出现的可能性_._.mn有限有限相等相等4.4.事件发生的可能性越事件发生的可能性越_,_,它的概率越接近它的概率越接近_;_;事件发生的可能性越事件发生
3、的可能性越_,_,它的概率越接近它的概率越接近_(如图所示如图所示).).大大1 1小小0 0若事件若事件A A必然发生必然发生,则则P(A)=_;P(A)=_;若事件若事件A A不可能发生不可能发生,则则P(A)=_;P(A)=_;若事件若事件A A是随机事件是随机事件,则则P(A)P(A)的取值范的取值范围是围是_._.1 10 00P(A)10P(A)P(A)=P(C),P(B)P(A)=P(C),在在B B区域找到食品的可能性大区域找到食品的可能性大.1414141421423.3.如图如图,假设可以随机在图中取点假设可以随机在图中取点,世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)这个点取
4、在阴影部分的概率是这个点取在阴影部分的概率是_._.(2)(2)在保留原阴影部分情况下在保留原阴影部分情况下,请你重新设计图案请你重新设计图案(直接直接在图上涂阴影在图上涂阴影),),使得这个点取在阴影部分的概率为使得这个点取在阴影部分的概率为 .37解解:(1)(1)设阴影部分的面积是设阴影部分的面积是x,x,则整个图形的面积是则整个图形的面积是7x,7x,则这个点取在阴影部分的概率是则这个点取在阴影部分的概率是 .答案答案:(2)(2)答案不唯一答案不唯一.如图所示如图所示:x17x717【火眼金睛火眼金睛】下列说法中下列说法中,正确的为正确的为()A.A.不太可能发生的事就一定不发生不太
5、可能发生的事就一定不发生B.B.一件事情要么发生一件事情要么发生,要么不发生要么不发生,所以它发生的概率为所以它发生的概率为0.50.5C.C.买一张彩票的中奖概率为买一张彩票的中奖概率为 ,那么买一张彩票那么买一张彩票中奖的可能性很小中奖的可能性很小D.D.摸到红球的概率是摸到红球的概率是 ,那么摸球那么摸球5 5次次,一定有一定有2 2次摸到次摸到红球红球110 00025正解正解:选选C.A.C.A.不太可能发生的事说明发生的概率很小不太可能发生的事说明发生的概率很小,但不等于但不等于0;B.0;B.例如抛掷一枚骰子例如抛掷一枚骰子,出现出现1 1点这个事件要点这个事件要么发生么发生,要
6、么不发生要么不发生,但出现但出现1 1点的概率为点的概率为 ;D.;D.摸到红摸到红球的概率是球的概率是 ,并不表示摸球并不表示摸球5 5次次,一定有一定有2 2次摸到红球次摸到红球,而是摸很多很多次时而是摸很多很多次时,平均每平均每5 5 次就约有次就约有2 2次摸到红球次摸到红球.1625【一题多变一题多变】已知一个纸箱中放有大小相同的已知一个纸箱中放有大小相同的1010个白球和若干个黄个白球和若干个黄球球.从箱中随机地取出一个是白球的概率是从箱中随机地取出一个是白球的概率是 ,再往箱再往箱中放进中放进2020个白球个白球,求随机地取出一个黄球的概率求随机地取出一个黄球的概率.25【解题指
7、南解题指南】设黄球有设黄球有x x个个,先根据先根据“随机地取出一个随机地取出一个是白球的概率是是白球的概率是 ”列方程求出列方程求出x x的值的值,再利用概率公再利用概率公式计算可得式计算可得.25解解:设黄球有设黄球有x x个个,根据题意得根据题意得:解得解得:x=15,:x=15,则再往箱中放进则再往箱中放进2020个白球个白球,随机地取出一个黄球的概率随机地取出一个黄球的概率为为 10210 x5，151.10 15203【母题变式母题变式】【变式一变式一】一只不透明的箱子里共有一只不透明的箱子里共有8 8个球个球,其中其中2 2个白个白球球,1,1个红球个红球,5,5个黄球个黄球,它
8、们除颜色外均相同它们除颜色外均相同.(1)(1)从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少?(2)(2)再往箱子中放入多少个黄球再往箱子中放入多少个黄球,可以使摸到白球的概率可以使摸到白球的概率变为变为0.2?0.2?解解:(1)P(1)P(白球白球)=,)=,答答:随机摸出一个球是白球的概率是随机摸出一个球是白球的概率是 .(2)(2)设再往箱子中放入黄球设再往箱子中放入黄球x x个个,根据题意根据题意,得得(8+x)(8+x)0.2=2,0.2=2,解得解得x=2.x=2.答答:放入放入2 2个黄球个黄球.218414【变式二变式二】(2019(201
9、9济南莱城区期末济南莱城区期末)在一个不透明的袋在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的子中装有仅颜色不同的6 6个红球与个红球与9 9个黑球个黑球,先从袋子中先从袋子中摸出摸出m m个红球个红球.(1)(1)若再从袋子中随机摸出若再从袋子中随机摸出1 1个球个球,将将“摸出黑球摸出黑球”记为记为事件事件A,A,当事件当事件A A为必然事件时为必然事件时,求求m m的值的值.(2)(2)若再放入若再放入m m个黑球并摇匀个黑球并摇匀,随机摸出随机摸出1 1个黑球的概率个黑球的概率等于等于 ,求求m m的值的值.23解解:(1)(1)当袋子中全为黑球当袋子中全为黑球,即摸出即摸出6 6个红球时个红球
10、时,摸到黑球摸到黑球是必然事件是必然事件;m m的值为的值为6.6.(2)(2)根据题意根据题意,得得:,:,解得解得:m=1.:m=1.9m29634.2.2用列举法求概率【知识再现知识再现】随机事件的概率计算公式为随机事件的概率计算公式为P(A)=_.P(A)=_.mn【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P127-131,P127-131,归纳结论归纳结论:1.1.列表法求概率列表法求概率当一次试验要涉及的因素有两个当一次试验要涉及的因素有两个(我们也常称为两步操我们也常称为两步操作试验作试验),),我们常我们常通过通过_的的方法列举所有可能方法列举所有可能的结果的结果,找出事件找出事件A
11、 A可能发生的结果可能发生的结果,再利用公式再利用公式_求概率求概率.列表法列表法 mP An2.2.树状图求概率树状图求概率当一次试验涉及当一次试验涉及_的因素时的因素时,列表列表法就不方便了法就不方便了,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用通常用_._.(1)(1)使用条件使用条件:可能出现的结果较多、有限可能出现的结果较多、有限,各种结果出各种结果出现的可能性现的可能性_._.两个或两个以上两个或两个以上树状图法树状图法均等均等(2)(2)适用范围适用范围:一次试验要涉及一次试验要涉及_因素因素.(3)(3)具体方法具体方法:先画出第一个因素产生的
12、先画出第一个因素产生的_,_,再在第一步的每个可能结果的分支上画出再在第一步的每个可能结果的分支上画出_产生的可能结果产生的可能结果,以此类推以此类推.两个或两个以上的两个或两个以上的可能性的结果可能性的结果第二个因素第二个因素【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.小芳和小丽是乒乓球运动员小芳和小丽是乒乓球运动员,在一次比赛中在一次比赛中,每人只每人只允许报允许报“双打双打”或或“单打单打”中的一项中的一项,那么至少有一人那么至少有一人报报“单打单打”的概率为的概率为()A.A.B.B.C.C.D.D.14131234D D2.2.小明和小华参加社会
13、实践活动小明和小华参加社会实践活动,随机选择随机选择“打扫社区打扫社区卫生卫生”和和“参加社会调查参加社会调查”其中一项其中一项,那么两人同时选那么两人同时选择择“参加社会调查参加社会调查”的概率为的概率为()A.A.B.B.C.C.D.D.14131234A A知识点一知识点一 用列表法求概率用列表法求概率(P127“(P127“动脑筋动脑筋”拓展拓展)【典例典例1 1】(2019(2019昆明模拟昆明模拟)有两个可以自由转动的均有两个可以自由转动的均匀转盘匀转盘A,BA,B都被分成了都被分成了3 3等份等份,并在每一份内均标有数字并在每一份内均标有数字,如图所示如图所示,规则如下规则如下:
14、分别转动转盘分别转动转盘,其中其中A A转盘指针对着的数字记为横坐转盘指针对着的数字记为横坐标标,B,B转盘指针对着的数字记为纵坐标转盘指针对着的数字记为纵坐标;两个转盘停止后观察两个指针所指份内的数字两个转盘停止后观察两个指针所指份内的数字(若指若指针停在等分线上针停在等分线上,则重转一次则重转一次,直到指针指向某一份内为直到指针指向某一份内为止止).).(1)(1)用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果的结果.(2)(2)张颖和刘亮想用这两个转盘做游戏张颖和刘亮想用这两个转盘做游戏,决定谁能获得唯一决定谁能获得唯一一张一张201820
15、18年昆明年昆明“南博会南博会”的门票的门票,他们规定他们规定,两个指针所两个指针所得坐标在第二象限得坐标在第二象限,张颖获得门票张颖获得门票,两个指针所得坐标在坐两个指针所得坐标在坐标轴上标轴上,刘亮获得门票刘亮获得门票.这个游戏公平吗这个游戏公平吗?若不公平若不公平,谁获胜谁获胜的可能性大的可能性大?【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用列表法表示出试验所有可能的结利用列表法表示出试验所有可能的结果果.(2)(2)游戏是否公平游戏是否公平,需比较双方获胜的概率需比较双方获胜的概率,概率不同概率不同,则则不公平不公平.找出张颖获胜的概率和刘亮获胜的概率找出张颖获胜的概率和刘亮获胜的概率,比较后
16、比较后即可得出结论即可得出结论.【自主解答自主解答】(1)(1)列表列表:y yx x-2-23 34 40 0(0,-2)(0,-2)(0,3)(0,3)(0,4)(0,4)2 2(2,-2)(2,-2)(2,3)(2,3)(2,4)(2,4)-3-3(-3,-2)(-3,-2)(-3,3)(-3,3)(-3,4)(-3,4)(2)(2)不公平不公平,张颖获胜的情况有张颖获胜的情况有2 2种种,分别为分别为(-3,3),(-3,4),(-3,3),(-3,4),P(P(张颖获胜张颖获胜)=;)=;刘亮获胜的情况有刘亮获胜的情况有3 3种种,分别为分别为(0,-2),(0,3),(0,4),(
17、0,-2),(0,3),(0,4),P(P(刘亮获胜刘亮获胜)=.)=.,刘亮获胜的可能性大刘亮获胜的可能性大.2931931239【学霸提醒学霸提醒】列表法求概率的列表法求概率的“三个步骤三个步骤”1.1.列表列表:分清一次试验所涉及的两个因素分清一次试验所涉及的两个因素,一个为行标一个为行标,另一个为列标另一个为列标,制作表格制作表格.2.2.计数计数:通过表格中的数据通过表格中的数据,分别求出某事件发生的数量分别求出某事件发生的数量n n与该试验的结果总数与该试验的结果总数m.m.3.3.计算计算:代入公式代入公式P(A)=.P(A)=.nm【题组训练题组训练】1.(20191.(201
18、9深圳龙岗区期中深圳龙岗区期中)在一个口袋中有在一个口袋中有4 4个完全个完全相同的小球相同的小球,把它们分别标号为把它们分别标号为1,2,3,4,1,2,3,4,随机摸出一随机摸出一个小球不放回个小球不放回,再随机摸出一个小球再随机摸出一个小球,则两次摸出小球则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是的标号之和为奇数的概率是()A.A.B.B.C.C.D.D.B B132314152.(20192.(2019成都金牛区期末成都金牛区期末)现有三张分别标有数字现有三张分别标有数字2 2、3 3、4 4的卡片的卡片,它们除了数字外完全相同它们除了数字外完全相同,把卡片背面把卡片背面朝上洗匀朝上洗匀,
19、从中任意抽取一张从中任意抽取一张,将上面的数字记为将上面的数字记为a(a(不不放回放回););从剩下的卡片中再任意抽取一张从剩下的卡片中再任意抽取一张,将上面的数字将上面的数字记为记为b,b,则点则点(a,b)(a,b)在直线在直线y=x+y=x+图象上的概率为图象上的概率为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1212163.3.学校团委在学校团委在“五四五四”青年节举行青年节举行“校园之星校园之星”颁颁奖活动中奖活动中,九九(1)(1)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动派两名代表参加此活动,则所选两名代表恰好是甲和乙则所选两名代表恰好是甲和乙
20、的概率是的概率是()A.A.B.B.C.C.D.D.A A161223564.(20194.(2019衡水桃城区月考衡水桃城区月考)一个不透明的口袋中有一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球四个完全相同的小球,它们分别标号为它们分别标号为1,2,3,4.1,2,3,4.世纪世纪金榜导学号金榜导学号(1)(1)随机摸取一个小球随机摸取一个小球,直接写出直接写出“摸出小球标号是摸出小球标号是3”3”的概率的概率.(2)(2)随机摸取一个小球然后放回随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球再随机摸出一个小球,直接写出下列结果直接写出下列结果:两次取出的小球一个标号是两次取出的小球一个标号是1,1
21、,另一个标号是另一个标号是2 2的概率的概率;第一次取出标号是第一次取出标号是1 1的小球且第二次取出标号是的小球且第二次取出标号是2 2的小的小球的概率球的概率.解解:(1)(1)共有共有4 4个小球个小球,其中只有其中只有1 1个小球的标号个小球的标号是是3,3,“摸出小球标号是摸出小球标号是3”3”的概率是的概率是 .(2)(2)略略14知识点二知识点二 用树状图求概率用树状图求概率 (P130(P130例例2 2拓展拓展)【典例典例2 2】(2019(2019遵义期末遵义期末)数学课上数学课上,老师拿了红老师拿了红,黄黄,蓝蓝三个除颜色不同外其余完全相同的杯子三个除颜色不同外其余完全相
22、同的杯子,首先杯口朝上首先杯口朝上,老老师叫一个同学进行游戏试验师叫一个同学进行游戏试验,蒙住该同学双眼蒙住该同学双眼,将将3 3个杯子个杯子随机放置后随机放置后,由该同学将其中一个杯子翻为杯口朝下由该同学将其中一个杯子翻为杯口朝下,由另由另一个同学标记颜色一个同学标记颜色,随后将杯子全部杯口朝下随后将杯子全部杯口朝下,再由该同学再由该同学第二次翻杯第二次翻杯,记下该杯颜色记下该杯颜色,随后由全班同学进行同样操作随后由全班同学进行同样操作.(1)(1)请用树状图或列表表示进行请用树状图或列表表示进行2 2次操作时的所有可能情次操作时的所有可能情况况.(2)(2)小刚和小聪打赌小刚和小聪打赌,如
23、果两次翻杯颜色相同如果两次翻杯颜色相同,则小刚胜则小刚胜,若颜色不同若颜色不同,则小聪胜则小聪胜,这个游戏公平吗这个游戏公平吗?说明理由说明理由.【思路点拨思路点拨】(1)(1)首先根据题意画出树状图首先根据题意画出树状图,然后由树状然后由树状图即可求得所有等可能的结果图即可求得所有等可能的结果.(2)(2)由由(1)(1)即可求得颜色相同和不同的情况即可求得颜色相同和不同的情况,再利用概率再利用概率公式求解即可求得答案公式求解即可求得答案.【自主解答自主解答】(1)(1)画树状图如下画树状图如下:(2)(2)由树状图知由树状图知,共有共有9 9种等可能结果种等可能结果,其中小刚胜的结果其中小
24、刚胜的结果数为数为3,3,小聪胜的结果数为小聪胜的结果数为6,6,小刚胜的概率为小刚胜的概率为 ,小聪胜的概率为小聪胜的概率为 ,此游戏不公平此游戏不公平.13231323【学霸提醒学霸提醒】用树状图求概率的用树状图求概率的“四个步骤四个步骤”1.1.定定:确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果的结果.2.2.画画:列举每一环节可能产生的结果列举每一环节可能产生的结果,得到树状图得到树状图.3.3.数数:数出全部均等的结果数数出全部均等的结果数m m和该事件出现的结果数和该事件出现的结果数n.n.4.4.算算:代入公式代入公式P(A)=P(A
25、)=计算计算.nm【题组训练题组训练】1.1.某校举行以某校举行以“激情五月激情五月,唱响青春唱响青春”为主题的演讲为主题的演讲比赛比赛,决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学,则则甲、乙同学获得前两名的概率是甲、乙同学获得前两名的概率是()A.A.B.B.C.C.D.D.D D121314162.2.用用m,n,p,qm,n,p,q四把钥匙去开四把钥匙去开A,BA,B两把锁两把锁,其中仅有钥匙其中仅有钥匙m m能打开锁能打开锁A,A,仅有钥匙仅有钥匙n n能打开锁能打开锁B,B,则则“取一把钥匙恰取一把钥匙恰能打开一把锁能打开一把锁”的概率是的概率是()A.
26、A.B.B.C.C.D.D.12141618D D3.(20193.(2019江苏盐城月考江苏盐城月考)若一个三位数的十位数字若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大比个位数字和百位数字都大,则称这个数为则称这个数为“伞数伞数”.现现由由2,3,42,3,4这三个数字组成无重复数字的三位数这三个数字组成无重复数字的三位数.世纪世纪金榜导学号金榜导学号(1)(1)请画出树状图并写出所有可能得到的三位数请画出树状图并写出所有可能得到的三位数.(2)(2)甲、乙二人玩一个游戏甲、乙二人玩一个游戏,游戏规则是游戏规则是:若组成的三位若组成的三位数是数是“伞数伞数”,则甲胜则甲胜;否则乙胜否则乙胜
27、.你认为这个游戏公平你认为这个游戏公平吗吗?试说明理由试说明理由.略略【一题多解一题多解】在一次数学兴趣小组活动中在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积每个转盘被分成面积相等的几个扇形相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字并在每个扇形区域内标上数字).).游戏游戏规则如下规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后转盘停止后,若指针所指区域内两数和小于若指针所指区域内两数和小于12,12,则李燕获胜则李燕获胜;若指针若指针所指区域两数和等于所指区域两数和等于
28、12,12,则为平局则为平局;若指针所指区域两数若指针所指区域两数和大于和大于12,12,则刘凯获胜则刘凯获胜(若指针停在等分线上若指针停在等分线上,重转一次重转一次,直到指针指向某一份内为止直到指针指向某一份内为止).).(1)(1)请表示出游戏中两数和的所有可能的结果请表示出游戏中两数和的所有可能的结果(两种方两种方法法).).(2)(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率分别求出李燕和刘凯获胜的概率.解解:(1)(1)方法一方法一:(:(画树状图法画树状图法)画树状图如图画树状图如图:可见可见,两数和共有两数和共有1212种等可能的结果种等可能的结果.方法二方法二:(:(列表法列表法)略略【一
29、题多变一题多变】(2019(2019商洛商南一模商洛商南一模)小明和小亮玩一个游戏小明和小亮玩一个游戏:取三张取三张大小、质地都相同的卡片大小、质地都相同的卡片,上面分别标有数字上面分别标有数字2 2、3 3、4(4(背面完全相同背面完全相同),),现将标有数字的一面朝下现将标有数字的一面朝下.小明从中小明从中任意抽取一张任意抽取一张,记下数字后放回洗匀记下数字后放回洗匀,然后小亮从中任意然后小亮从中任意抽取一张抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和计算小明和小亮抽得的两个数字之和.(1)(1)请你用画树状图或列表的方法请你用画树状图或列表的方法,求出这两数和为求出这两数和为6 6的的概率
30、概率.(2)(2)如果和为奇数如果和为奇数,则小明胜则小明胜;如果和为偶数如果和为偶数,则小亮胜则小亮胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗你认为这个游戏规则对双方公平吗?做出判断做出判断,并说明理并说明理由由.【解题指南解题指南】(1)(1)首先根据题意列表首先根据题意列表,然后根据表求得所然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为有等可能的结果与两数和为6 6的情况的情况,再利用概率公式求再利用概率公式求解即可解即可.(2)(2)分别求出和为奇数、和为偶数的概率分别求出和为奇数、和为偶数的概率,即可得出游戏即可得出游戏的公平性的公平性.解解:(1)(1)列表如下列表如下:由表可知由表可知,总共有
31、总共有9 9种结果种结果,其中和为其中和为6 6的有的有3 3种种,则这两数和为则这两数和为6 6的概率为的概率为 .2 23 34 42 24 45 56 63 35 56 67 74 46 67 78 83193(2)(2)这个游戏规则对双方不公平这个游戏规则对双方不公平.理由理由:P(P(和为奇数和为奇数)=,)=,P(P(和为偶数和为偶数)=,)=,而而 ,这个游戏规则对双方是不公平的这个游戏规则对双方是不公平的.49495959【母题变式母题变式】【变式一变式一】在如图所示的电路中在如图所示的电路中,随机闭合开关随机闭合开关S S1 1,S,S2 2,S S3 3中的两个中的两个,能
32、让灯泡能让灯泡L L1 1发光的发光的概率是概率是_._.13【变式二变式二】如图是两个转盘如图是两个转盘,每个转盘分成几个相等的每个转盘分成几个相等的扇形扇形,甲、乙两个人做游戏甲、乙两个人做游戏,游戏者同时转动两个转盘一游戏者同时转动两个转盘一次次,如果转盘如果转盘A A转出了红色转出了红色,转盘转盘B B转出了蓝色转出了蓝色,则甲赢则甲赢,否否则乙赢则乙赢.(1)(1)甲和乙获胜的概率分别是多少甲和乙获胜的概率分别是多少?(2)(2)这个游戏对双方公平吗这个游戏对双方公平吗?说说你的理由说说你的理由.(3)(3)如果你认为不公平如果你认为不公平,应怎样修改才能使游戏对双方公应怎样修改才能使游戏对双方公平平?略略
