1、1综合法综合法条件条件结论结论数学推理数学推理条件条件定理定理 公理公理定义定义P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q由由导导复习复习分析法分析法要证：要证：只要证：只要证：只需证：只需证：显然成立显然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 结论成立结论成立格格 式式复习复习Q P1P1 P2P2 P3得到一个明显成立的条件执执果果索索因因1.直接证明的方法直接证明的方法:(1)比较法比较法:作差比较法作差比较法;作商比较法作商比较法;(2)综合法综合法:(3)分析法分析法:2.没有特别要求的证明题没有特别要求的证明题:用分析法用分析法寻找证明思路寻找证明思路,用综合法写出证明过程用综合法写出
2、证明过程!1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法是间接证明的一种基本方法；2.识别识别反证法所适用的数学问题；反证法所适用的数学问题；3.理解反证法的思考过程（反设，归谬）；理解反证法的思考过程（反设，归谬）；4.会用反证法解决数学问题会用反证法解决数学问题.反证法学习目标：学习目标：壮壮:不会吧，我今天还碰到了阳阳和她妈妈呢!上述对话中,壮壮要告诉妈妈的命题是什么?妈妈:壮壮,听说阳阳全家这几天正在外地旅游.壮壮是怎样推理该命题的正确性的?碰到阳阳和她妈妈碰到阳阳和她妈妈例例1 1：已知：已知：A A，B B，C C是是ABCABC的内角。的内角。求证：求证：A A，B B，C
3、C中中至少有一个至少有一个角大于等于角大于等于6060三角形内角和等于三角形内角和等于 先先原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后在假设的条件下，通过正确的推理，得出然后在假设的条件下，通过正确的推理，得出，说明，说明，从而得到从而得到原命题成立原命题成立。假设错误假设错误这种证明方法是这种证明方法是-ABC从而从而A A，B B，C C中至少有一个角不小于中至少有一个角不小于6060,.,碰到阳阳碰到阳阳相相矛盾矛盾,一般地，假设原命题不成立（即在原一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），命题的条件下，结论不成立
4、），经过正经过正确的推理，确的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，设错误，从而证明了原命题成立，这样这样的证明方法叫做的证明方法叫做反证法反证法。反证法是一种反证法是一种间接证法间接证法。反证法的思维方式：1.定义：定义：逆向思维2.反证法的基本步骤反证法的基本步骤:原命题不成立原命题不成立得出得出 原命题成立原命题成立经过推理得出结论 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原经过正确的推理，最后得出矛盾。因
5、此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法。1.反证法的定义：反证法的定义：；如图，在如图，在ABCABC中中,若若C C是直角，那么是直角，那么B B一定是锐角一定是锐角.CAB例例3 3：已知：已知x0,y0 x0,y0，x+y2x+y2，求证：求证：中至少有一个小于中至少有一个小于2 2.xyyx1,112,xyxyyx11与xyyx11与总结回顾:1.1.反证法证题的一般步骤反证法证题的一般步骤:假设原命题不成立假设原命题不成立得出矛盾得出矛盾假设错误假设错误原命题成立原命题成立经过推理得出结论与定理、公理、基本事实、已知条件、定义
6、、假设等矛盾。2.2.反证法适用于：反证法适用于：如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面正明，只要研究一种或很少的几种情论，而从反面正明，只要研究一种或很少的几种情形，即形，即“正难则反正难则反”思考交流：思考交流：已知已知a0a0，用反证法，用反证法证明：关于证明：关于x x的方程的方程ax=bax=b有且只有且只有一个根有一个根12120,即 x-xx=xx-xx=x1 12 2 a ax x-a ax x=0 01212则ax=b，ax=b则ax=b，ax=b1212ax=axax=ax1 12 2 a a（x x-x x）=0
7、0 a a 0 012与与xx 矛xx 矛盾盾故故假假设设不不成成立立，结结论论成成立立。.宜用反证法证明的题型宜用反证法证明的题型（1 1）以否定性判断作为结论的命题）以否定性判断作为结论的命题.（2 2）某些定理的逆命题）某些定理的逆命题.（3 3）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形式陈等形式陈 述的命题述的命题.（4 4）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题结论的命题.（8 8）涉及各种）涉及各种“无限无限”结论的命题等结论的命题等.（7 7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6 6）一些不等量命题的证明）一些不等量命题的
8、证明.（5 5）解决整除性问题）解决整除性问题.原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立 准确地作出反设准确地作出反设(即否定结论即否定结论)是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)
9、个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个原词语原词语 否定词否定词 p或或qp且且qp且且qp或或q1.写出下列各结论的反面：写出下列各结论的反面：（1）a/b；（2）a0；（3）b是正数；是正数；（4）aba0b是0或负数a不垂直于ba不平行不平行b练习2.2.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角三角形中最多有一个是直角”时，应假设时，应假设 _ _ .三角形中有两个或三个角是直角三角形中有两个或三个角是直角3.3.否定否定“自然数自然数a a，b b，c c中恰有一个偶数中恰有一个偶数”时，正时，正确的反设为（确的反设为（）A.aA
10、.a，b b，c c都是奇数都是奇数B.aB.a，b b，c c都是偶数都是偶数C.aC.a，b b，c c中至少有两个偶数中至少有两个偶数D.aD.a，b b，c c中都是奇数或至少有两个偶数中都是奇数或至少有两个偶数D D4.用用反证法反证法证明（填空）：证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角不小于在三角形的内角中，至少有一个角不小于60已知已知：如图，如图，是是的内角的内角求证：求证：，中至少有一个角不小于中至少有一个角不小于600.证明证明：假设假设所求证的结论不成立，即所求证的结论不成立，即60，60，60则则1800这于这于矛盾矛盾所以假设，所以假设，所以，所求证的结论所以，
11、所求证的结论成立成立三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180不成立不成立5.求证：在同一平面内求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交行直线中的一条相交,那么和另一条也相交那么和另一条也相交.已知已知:直线直线l1,l2,l3在同一平面内在同一平面内,且且l1l2,l3与与l1相交于点相交于点P.求证求证:l3与与l2相交相交.Pl3与与l2 不相交不相交.l3l2l1l2 经过直线外一点经过直线外一点,有且只有一条直线与已有且只有一条直线与已知直线平行知直线平行这与这与“_ _”矛盾矛盾.证明证明:假设假设_,那么那么_.因为已知因为已知_,
12、所以所以_,即求证的命题正确即求证的命题正确.所以过直线所以过直线l2外一点外一点P,有有两条直线两条直线和和l2平行平行,假设假设推理推理矛盾矛盾假设不成立假设不成立命题成立命题成立例例1、已知、已知a0，证明：关于，证明：关于x的方程的方程 ax=b有且只有一个根有且只有一个根.分析：由于分析：由于a0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=。从正面较难说清为什么只有这个。从正面较难说清为什么只有这个根，根，我们采用反证法，即证明如果不只一个根我们采用反证法，即证明如果不只一个根则会导致矛盾。则会导致矛盾。ab 典例剖析典例剖析例例1 1：已知：已知a0，证：假设方程ax+b=0(
13、a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x，x x 且且x x x x1212则ax=b，ax=b则ax=b，ax=b1212ax=axax=ax1 12 2 a ax x-a ax x=0 01 12 2 a a（x x-x x）=0 0 a=0 a=0与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。证明：关于证明：关于x的方程的方程ax=b有且只有一个根有且只有一个根。12120 xxxx用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项:（1）
14、周密考察原命题结论的否定事项，）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性；明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。定推出的结果是错误的。全课总结全课总结1 1、知识小结：、知识小结：反证法证明的思路：反证法证明的思路：假设命题的结论假设命题的结论不成立不成立正确的推理正确的推理,得出矛盾得出矛盾否定假否定假设，肯定待证明的命题设，肯定待证明的命题2 2、重、难点提示、重、难点提示:反设是反证法的基础；归谬是反证法反设是反证法的基础；归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式。式。
