1、2.1.2 演绎推理 主题一：主题一：演绎推理的含义演绎推理的含义 【自主认知自主认知】 看下面两个推理，回答问题看下面两个推理，回答问题 一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除，整除，(2(22012 2012+1) +1)是奇数，所以是奇数，所以(2(22012 2012+1) +1)不能被不能被2 2 整除；整除； 两个平面平行其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如两个平面平行其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如 果直线果直线a a是其中一个平面内的一条直线，那么是其中一个平面内的一条直线，那么a a平行于另一个平面平行于另一个平面. . (1)(1)这两个推理中的
2、第一句都说的是什么？这两个推理中的第一句都说的是什么？ 提示：提示：都说的是一般原理都说的是一般原理. . (2)(2)这两个推理中第二句、第三句又说的是什么呢？这两个推理中第二句、第三句又说的是什么呢？ 提示：提示：第二句都说的是特殊实例第二句都说的是特殊实例. .而第三句说的是由一般原理对特殊而第三句说的是由一般原理对特殊 实例做出的判断实例做出的判断. . 根据以上探究过程，试着写出演绎推理的定义及特点：根据以上探究过程，试着写出演绎推理的定义及特点： 1.1.定义：从定义：从_的原理出发，推出某个的原理出发，推出某个_的结论，的结论， 我们把这种推理称为演绎推理我们把这种推理称为演绎推
3、理( (演绎推理又称演绎推理又称_)._). 2.2.特点：由特点：由_到到_的推理的推理. . 一般性一般性 特殊情况下特殊情况下 逻辑推理逻辑推理 一般一般 特殊特殊 【合作探究合作探究】 1.1.阅读下面的材料，探究下列问题：阅读下面的材料，探究下列问题： (1)(1)自然数都是整数，因为自然数都是整数，因为3 3是自然数，所以是自然数，所以3 3是整数是整数. . (2)(2)一次函数是单调函数，因为一次函数是单调函数，因为y=2xy=2x- -1 1是一次函数，所以是一次函数，所以y=2xy=2x- -1 1是单是单 调函数调函数. . 以上两个推理是演绎推理吗？推理的结论正确吗？以
4、上两个推理是演绎推理吗？推理的结论正确吗？ 提示：提示：是演绎推理，推理的结论都正确是演绎推理，推理的结论都正确. . 2.2.演绎推理有哪些特点？演绎推理有哪些特点？ 提示：提示：演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴含于前演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴含于前 提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中；在演绎推理中，提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中；在演绎推理中， 前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确 的，那么结论也必然是正确的的，那么结论也必然是正确的. . 【过关小
5、练过关小练】 1.1.平行于同一直线的两直线平行，因为平行于同一直线的两直线平行，因为abab，bcbc，所以，所以acac，这个，这个 推理称为推理称为( ( ) ) A.A.合情推理合情推理 B.B.归纳推理归纳推理 C.C.类比推理类比推理 D.D.演绎推理演绎推理 【解析解析】选选D.D.因为平行于同一直线的两直线平行，因为平行于同一直线的两直线平行，( (一般性原理一般性原理) ) 因为因为abab，bcbc，( (特殊情况特殊情况) ) 所以所以acac，( (由一般性得特殊由一般性得特殊) ) 所以这是一个三段论，属于演绎推理所以这是一个三段论，属于演绎推理. . 2.2.下面几
6、种推理过程是演绎推理的是下面几种推理过程是演绎推理的是( ( ) ) A.A.某校高三有某校高三有8 8个班，个班，1 1班有班有5151人，人，2 2班有班有5353人，人，3 3班有班有5252人，由此推人，由此推 测各班人数都超过测各班人数都超过5050人人 B.B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C.C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的 对角线互相平分对角线互相平分 D.D.在数列在数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，a an n= = 由此归纳出由此归纳
7、出aan n 的通项公式的通项公式 n 1 n 1 11 (a) 2a ， 【解析解析】选选C.C.选项选项A A，D D是归纳推理；选项是归纳推理；选项B B是类比推理；选项是类比推理；选项C C运用了运用了 “三段论”，是演绎推理“三段论”，是演绎推理. . 主题二：主题二：演绎推理的一般模式演绎推理的一般模式 【自主认知自主认知】 1.1.“所有金属都导电，因为铁是金属，所以铁导电所有金属都导电，因为铁是金属，所以铁导电”，以上推理是演，以上推理是演 绎推理吗？其推理形式有何特点？绎推理吗？其推理形式有何特点？ 提示：提示：是演绎推理，此推理形式可分为三部分：第一句描述的是一般是演绎推理
8、，此推理形式可分为三部分：第一句描述的是一般 原理，第二句描述的是大前提里的特殊情况，第三句是根据一般原理原理，第二句描述的是大前提里的特殊情况，第三句是根据一般原理 对特殊情况做出的判断对特殊情况做出的判断. . 2.2.演绎推理的结论是否正确？是如何得出结论的？演绎推理的结论是否正确？是如何得出结论的？ 提示：提示：推理的结论正确，演绎推理的结论是根据一般原理，对特殊情推理的结论正确，演绎推理的结论是根据一般原理，对特殊情 况做出的判断况做出的判断. . 根据以上探究过程，试着完成演绎推理一般模式的相关内容根据以上探究过程，试着完成演绎推理一般模式的相关内容 1.1.演绎推理的一般模式：三
9、段论演绎推理的一般模式：三段论. . (1)(1)大前提大前提已知的已知的_._. (2)(2)小前提小前提所研究的所研究的_._. (3)(3)结论结论根据一般原理，对特殊情况做出的根据一般原理，对特殊情况做出的_._. 一般原理一般原理 特殊情况特殊情况 判断判断 2.2.“三段论三段论”的常用格式：的常用格式： (1)(1)大前提：大前提：M M是是P.P. (2)(2)小前提：小前提：S S是是_._. (3)(3)结论：结论：S S是是P.P. 3.3.从集合的角度看演绎推理：从集合的角度看演绎推理： (1)(1)大前提：大前提：xMxM且且x x具有性质具有性质P.P. (2)(2
10、)小前提：小前提：ySyS且且S S M.M. (3)(3)结论：结论：y y具有性质具有性质_._. M M P P 【合作探究合作探究】 1.1.如何分清如何分清“三段论三段论”的大前提、小前提和结论？的大前提、小前提和结论？ 提示：提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大 前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断，这前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断，这 与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取 出
11、一个特例，特例也具有一般意义出一个特例，特例也具有一般意义. .例如，平行四边形对角线互相平例如，平行四边形对角线互相平 分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相 平分，这是特例具有的一般意义平分，这是特例具有的一般意义. . 2.2.合情推理和演绎推理有怎样的关系？合情推理和演绎推理有怎样的关系？ 提示：提示：(1)(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、 建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发生，主要建立数学体系的重要思维过程，
12、但数学结论、证明思路的发生，主要 靠合情推理靠合情推理. . (2)(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的 前提为真时，结论必定为真前提为真时，结论必定为真. . 【拓展延伸拓展延伸】“三段论三段论”的论断基础的论断基础 (1)(1)三段论法的论断基础是这样一个公理：凡肯定三段论法的论断基础是这样一个公理：凡肯定( (或否定或否定) )了某一类了某一类 对象的全部，也就肯定对象的全部，也就肯定( (或否定或否定) )了这一类对象的各部分或个体了这一类对象的各部分或个体. .简言简言 之，全体概括个体之，全体概括个体
13、.M.M，P P，S S三个概念之间的包含关系表现为：如果概三个概念之间的包含关系表现为：如果概 念念P P包含了概念包含了概念M M，则必包含了，则必包含了M M中的任一概念中的任一概念S(S(如图如图) )；如果概念；如果概念P P 排斥概念排斥概念M M，则必排斥，则必排斥M M中的任一概念中的任一概念S(S(如图如图).). (2)(2)只有弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯只有弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯( (或少犯或少犯) ) 错误错误. .在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是 正
14、确的正确的. .如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的. . 【过关小练过关小练】 1.1.已知已知ABCABC中，中，A=30A=30，B=60B=60，求证：，求证：a0时，时， 方程方程f(x)f(x)- -g(x)=xg(x)=x2 2- -2x+32x+3有唯一解有唯一解. . 【证明证明】由题由题(2)(2)可知可知a=2a=2， 所以所以f(x)=xf(x)=x2 2- -2lnx2lnx，g(x)=xg(x)=x- -2 2 ， 所以方程所以方程f(x)f(x)- -g(x)=xg(x)=x2 2- -2x+32x+3等价于等价于 x+
15、2x+2 - -2lnx2lnx- -3=0.3=0. x x 设设h(x)=x+2h(x)=x+2 - -2lnx2lnx- -3 3，则，则h(x)= h(x)= 令令h(x)0h(x)0，并由，并由x0x0，得，得x+x+ - -2020，解得，解得x1.x1. 令令h(x)0，得，得x+x+ - -20且且x1x1时，时，h(x)0.h(x)0. 所以所以h(x)=0h(x)=0在在(0(0，+ +) )上只有一个解上只有一个解. . 即当即当x0x0时，方程时，方程f(x)f(x)- -g(x)=xg(x)=x2 2- -2x+32x+3有唯一解有唯一解. . x x (0(0，1)
16、1) 1 1 (1(1，+ +) ) h(x)h(x) - - 0 0 + + h(x)h(x) 递减递减 极小值极小值0 0 递增递增 【规律总结规律总结】应用三段论解题的技巧及常见错误应用三段论解题的技巧及常见错误 (1)(1)技巧：应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件技巧：应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件 ( (小前提小前提) )，根据需要引入相关的适用的定理和性质，根据需要引入相关的适用的定理和性质( (大前提大前提) )，并保证，并保证 每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论. . (2)(
17、2)常见的解题错误：常见的解题错误： 条件理解错误条件理解错误( (小前提错小前提错) )； 定理引入和应用错误定理引入和应用错误( (大前提错大前提错) )； 推理过程错误等推理过程错误等. . 【拓展延伸拓展延伸】代数中的演绎推理代数中的演绎推理 在演绎推理中，前提和结论之间存在着必然的联系，只要前提是真实在演绎推理中，前提和结论之间存在着必然的联系，只要前提是真实 的，推理形式是正确的，结论必定是正确的，而一些代数运算或证明，的，推理形式是正确的，结论必定是正确的，而一些代数运算或证明， 都是在一些前提条件下进行的，因此在运算或证明的过程中都会用到都是在一些前提条件下进行的，因此在运算或
18、证明的过程中都会用到 演绎推理演绎推理. . 【巩固训练巩固训练】已知已知a a，b b，c c是实数，函数是实数，函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c，当，当|x|1|x|1时，时， |f(x)|1|f(x)|1，证明，证明|c|1|c|1，并分析证明过程中的三段论，并分析证明过程中的三段论. . 【证明证明】因为因为|x|1|x|1时，时，|f(x)|1.|f(x)|1. x=0x=0满足满足|x|1|x|1， 所以所以|f(0)|1|f(0)|1，又，又f(0)=cf(0)=c，所以，所以|c|1.|c|1. 证明过程中的三段论分析如下：证明过程中的三段论分析如下：
19、 大前提是大前提是|x|1|x|1，|f(x)|1|f(x)|1； 小前提是小前提是|0|1|0|1； 结论是结论是|f(0)|1.|f(0)|1. 【补偿训练补偿训练】已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，a a2 2=3=3，a an+2 n+2=3a =3an+1 n+1- -2a 2an n(nN(nN+ +).). (1)(1)求证：数列求证：数列aan+1 n+1- -a an n 是等比数列 是等比数列. . (2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. . (3)(3)若数列若数列bbn n 满足满足4 4b b1 1- -1 14 4b b2
20、 2- -1 144b bn n- -1 1=(a=(an n+1)+1)b bn n(nN(nN+ +) )，求证：，求证：bbn n 是是 等差数列等差数列. . 【解析解析】(1)(1)因为因为a an+2 n+2=3a =3an+1 n+1- -2a 2an n， 所以所以a an+2 n+2- -a an+1n+1=2(a =2(an+1 n+1- -a an n). ). 所以所以 =2(nN=2(nN+ +) )， 因为因为a a1 1=1=1，a a2 2=3=3， 所以数列所以数列aan+1 n+1- -a an n 是以 是以a a2 2- -a a1 1=2=2为首项，为
21、首项，2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . (2)(2)由由(1)(1)得得a an+1 n+1- -a an n=2 =2n n(nN(nN+ +) )， 所以所以a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n- -1 1- -a an n- -2 2)+)+(a+(a2 2- -a a1 1)+a)+a1 1 =2=2n n- -1 1+2+2n n- -2 2+ +2+1=2+2+1=2n n- -1(nN1(nN+ +).). n 2n 1 n 1n aa aa (3)(3)证明：因为证明：因为4 4b b1 1- -1 14 4b b2 2
22、- -1 14 4b bn n- -1 1=(an+1)=(an+1)b bn n，且，且a an n=2=2n n- -1 1， 所以所以4(b 4(b1 1+b+b2 2+ +b bn n) )- -n n=2 =2nb nbn n. . 所以所以2(b2(b1 1+b+b2 2+ +b+bn n) )- -n=nbn=nbn n， 2(b2(b1 1+b+b2 2+ +b+bn n+b+bn+1 n+1) )- -(n+1)=(n+1)b (n+1)=(n+1)bn+1 n+1. . - -得得2(b2(bn+1 n+1- -1)=(n+1)b 1)=(n+1)bn+1 n+1- -nb nbn n， 即即(n(n- -1)b1)bn+1 n+1- -nb nbn n+2=0+2=0， nbnbn+2 n+2- -(n+1)b (n+1)bn+1 n+1+2=0. +2=0. - -得得nbnbn+2 n+2- -2nb 2nbn+1 n+1+nb +nbn n=0=0， 即即b bn+2 n+2- -2b 2bn+1 n+1+b +bn n=0=0， 所以所以b bn+2 n+2- -b bn+1n+1=b =bn+1 n+1- -b bn n(nN (nN+ +).). 所以所以bbn n 为等差数列为等差数列. .
