1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 自然数自然数 整数整数 有理数有理数 实数实数 数数 系系 的的 扩扩 充充 负整数负整数 分数分数 无理数无理数 23 x 自然数自然数 整数整数 有理数有理数 实数实数 数数 系系 的的 扩扩 充充 负整数负整数 分数分数 无理数无理数 加加 除除 乘乘 减减 乘方乘方 实数实数 解方程解方程 ？ xx, 1 2 开方开方 1.1.了解数系的扩充过程了解数系的扩充过程. . 2.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. . （重点）（重点） 3.
2、3.了解复数的代数表示法了解复数的代数表示法. .（难点）（难点） 从社会生活来看为了满足生活和生产实践的从社会生活来看为了满足生活和生产实践的 需要，数的概念在不断地发展需要，数的概念在不断地发展. . 从数学内部来看，数集是在按某种从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”“规则” 不断扩充的不断扩充的. . 自然数自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到是“数”出来的，其历史最早可以追溯到 五万年前五万年前. . 探究点探究点1 1 数系的扩充数系的扩充 负数负数是“欠”出来的是“欠”出来的. . 它是由于借贷关系中量的它是由于借贷关系中量的 不同意义而产生的不同意义而产生的. .我国我
3、国 三国时期数学家刘徽（公三国时期数学家刘徽（公 元元250250年前后）首先给出年前后）首先给出 了负数的定义、记法和加了负数的定义、记法和加 减运算法则减运算法则. . 刘徽（公元刘徽（公元250年前后）年前后） 数集扩充到整数集数集扩充到整数集 负 负整整 正正整整数数 自自然然数数 整整数数零零 数数 分数（有理数）分数（有理数）是“分”出是“分”出 来的来的. .早在古希腊时期，人类已早在古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常清楚的认经对有理数有了非常清楚的认 识，而且他们认为有理数就是识，而且他们认为有理数就是 所有的数所有的数. . 数集扩充到有理数集数集扩充到有理数集 正正整整
4、数数 自自然然数数 整整数数零零 有有理理数数 负负整整数数 分分数数 小小数数 1 1 边长为边长为1 1的正方形的对角线长度为多少？的正方形的对角线长度为多少？ ？ 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 (约公元前约公元前560480年）年） 无理数无理数是“推”出来是“推”出来 的的. .公元前六世纪，古希公元前六世纪，古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理，发现了达哥拉斯定理，发现了 “无理数”“无理数”. “. “无理数”无理数” 的承认（公元前的承认（公元前4 4世纪）世纪） 是数学发展史上的一个里是数学发展史上的一个里 程碑程碑. . 数集扩充到实数集数集扩充到实数集
5、正正整整数数 自自然然数数 整整数数零零 有有理理数数 负负整整数数实实数数 分分 无无理理数数 数数 小小数数 正数与负数，正数与负数， 有理数与无理数，有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”，都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统称之为“实数”，构成实数系统. . 实数系统是一个没有缝隙的连续系统实数系统是一个没有缝隙的连续系统. . 实数集能否继实数集能否继 续扩充呢续扩充呢? ? 回回顾顾从从自自然然数数系系逐逐步步扩扩充充到到实实数数系系的的过过 程程, ,可可以以看看到到, ,数数系系的的每每一一次次扩扩充充都都与与实实际际需需 求求密密切切相相关关. . 2
6、 2 例例如如, ,为为了了解解决决这这样样的的方方程程在在有有 理理数数集集中中无无解解 , , 以以及及正正方方形形对对角角线线的的度度量量等等问问 题题, ,人人们们把把有有理理数数系系扩扩充充到到了了 x -2 = 0x -2 = 0 实实数数系系. . 数数系系扩扩充充后后, ,在在实实数数系系中中规规定定的的加加法法运运算算、 乘乘法法运运算算, ,与与原原来来 在在 有有理理数数系系中中规规定定的的加加法法运运 算算、乘乘法法运运算算协协调调一一致致: :加加法法和和乘乘法法都都满满足足交交 换换律律和和结结合合律律, ,乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律. . 2 1x
7、思考？思考？ 探究点探究点2 2 复数的概念复数的概念 2 10x 方方程程在在实实数数中中无无解解，联联系系从从自自然然数数系系 到到实实数数系系的的扩扩充充过过程程，你你能能设设想想一一种种方方法法，使使 这这个个方方程程有有解解吗吗？ 平方等于平方等于- -1 1的数用符号的数用符号i i来表示。来表示。 （2 2）可以和实数一起进行的四则运算）可以和实数一起进行的四则运算, , 原有的加法乘法运算律仍成立原有的加法乘法运算律仍成立 的的 引引 入入 i 2 -1i = 1（） 把把实实数数a a与与新新引引入入的的数数i i相相加加, ,结结果果记记作作; ; 把把实实数数b b与与i
8、 i相相乘乘, ,结结果果记记作作; ; 把把实实数数a a与与实实数数b b和和i i相相乘乘的的结结果果相相加加, ,结结果果 记记作作 a+ia+i bibi a+bia+bi. . a+ba+b 加加法法和和乘乘法法的的运运算算律律仍仍然然成成立立 , ,这这些些运运算算的的 结结果果都都可可以以写写成成(a,b(a,bR)R)的的形形式式, ,把把这这些些数数 都都添添加加到到 i i 数数集集A A中中去去. . 这这样样的的数数都都可可以以看看作作是是(a,b(a,bR)R) 的的特特殊殊形形式式, ,所所以以实实数数系系经经过过扩扩充充后后 得得到到的的新新数数集集 a+bia
9、+bi C =a+bi|aC =a+bi|a应应该该是是,b,bR R . . a+1ia+1i 0+bi0+bi a+ia+i可可以以看看作作是是, , bibi可可以以看看作作是是, , a a可可以以看看作作是是, , i i可可以以看看作作 a+0ia+0i 0 0是是 +1i+1i. . iz ),(RbRa 虚数虚数 单位单位 复数全体组成的集合叫复数集复数全体组成的集合叫复数集，记作：记作：C C a b 实部实部 虚部虚部 复数的概念复数的概念 定义：把形如定义：把形如a+bia+bi的数叫做复数（的数叫做复数（a,b a,b 是实数）是实数） 复复数数通通常常用用字字母母z
10、z表表示示，即即z = a+bi a,bz = a+bi a,bR ,R , 这这一一表表示示形形式式叫叫做做复复数数的的代代数数形形式式. .其其中中abab 分分别别叫叫做做复复数数z z的的. .实实部部与与虚虚部部 与 在在复复数数集集C = a+bi|a,bC = a+bi|a,bR R 中中任任取取两两 个个数数a,b,c,da,b,c,dR ,R , 我我们们规规定定: : a+bia+bi与与c+dic+di相相等等的的充充 a a 要要条条件件是是 +bi,c+di+bi,c+di a = ca = c且且b = db = d. . 思思 考考复复 数数 集集 C C和和 实
11、实 数数 集集 R R之之 间间 有有 什什 么么 关关 系系 ? ? i,0;bba对于复数当且仅当时 它是实数 0,0;ab当且仅当时 它是实数 0,.0ab当且时 叫做纯虚数 ,;0b 当时 叫做虚数 1111 例例如如,3 + 2i, -3i,- 3 -i,-0.2i,3 + 2i, -3i,- 3 -i,-0.2i都都是是 , , 2222 1 33 0 2 , , 它它们们的的实实部部分分别别是是 虚虚 部部 分分 别别 是是 1 230 2 2 ,. , 并并 且且 其其 中中 只只 有有 - 0.2i- 0.2i 是是 . . 虚数虚数 纯虚数纯虚数 复 数 集复 数 集 实
12、数 集实 数 集 虚 数 集虚 数 集 纯虚数集 ,RC,RC.显然 实数集 是复数集 的真子集 即 zabi:这样，复数可以分类如下 0 , 00. 实数 复数 虚数当时为纯虚数 b z ba , . 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系 可用图示表示 1 ； 实实数数m m取取什什么么值值时时, ,复复数数z = m +1+ m -1 iz = m +1+ m -1 i是是 （1 1）实实数数（2 2） 虚虚数数（3 3） 例例 纯纯虚虚数数. . 因因为为m mR,R,所所以以m +1,m -1m +1,m -1都都是是实实数数. .由由复复数数 z = a + biz = a +
13、 bi是是实实数数、虚虚数数和和纯纯 虚虚数数的的条条件件可可以以确确定定 m m 分分析析 的的取取值值. . （1 1） 当当m-1= 0,m-1= 0, 即即m =1m =1时时, ,复复数数解解z z是是实实数数; ; （2 2）当当m-1m-10,0, 即即m m1 1时时, ,复复数数z z是是虚虚数数; ; （3 3）当当m+1= 0,m+1= 0,且且m-1m-10,0, 即即m = -1m = -1时时, ,复复数数z z 是是纯纯虚虚数数. . 下列命题中正确的有下列命题中正确的有_ （1 1）若）若 , ,则则 （2 2） ( (x,yx,y为实数为实数) ) 的充要条件
14、是的充要条件是 Cz 0 2 z iyix 1 1 yx （3 3）1 1aiai是一个虚数是一个虚数 （4 4）若）若a a0 0，则，则a abibi为纯虚数为纯虚数 变式训练变式训练1 1： （2 2） 最最后后还还要要指指出出的的是是, ,一一般般地地说说, ,两两个个复复数数只只能能说说 相相等等或或不不相相等等, ,而而不不能能比比较较大大小小. .例例如如1+i1+i与与2+3i2+3i 不不能能比比 总总结结提提升升 较较大大小小. . 例例2 2 已知（已知（x+yx+y）+ +（x x- -2y2y）i=i=（2x2x- -5 5）+ +（3x+y3x+y） i i，求实数
15、，求实数x,yx,y的值的值. . 变式训练变式训练2 2： 22 0 20 xy xy 【解解析析】解解得得x=y=0.x=y=0. 例例3 3、复数、复数z=i+iz=i+i2 2+i+i3 3+i+i4 4的值是（的值是（ ） A.A.- - B.0 C.1 B.0 C.1 .i.i 4414243 1,1, nnnn ii iii 【规规律律总总结结】i i B 1.a=01.a=0是复数是复数a+bi(a,bRa+bi(a,bR）为纯虚数的（）为纯虚数的（ ） A.A.必要条件必要条件 B.B.充分条件充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.非必要非充分条件非必要非充分条件 2.
16、2.以以3i3i- -2 2的虚部为实部，以的虚部为实部，以3i3i2 2+3i+3i的实部为虚部的实部为虚部 的复数是（的复数是（ ） A.A.- -2+3i B.32+3i B.3- -3i3i C.C.- -3+3i D.3+3i3+3i D.3+3i A A B B 3.3.下列下列n n的取值中，使的取值中，使i in n =1(i =1(i是虚数单位）的是虚数单位）的 是（是（ ） A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5 4.4.若若loglog2 2( (x x2 23 3x x2)2)ilogilog2 2( (x x2 2
17、2 2x x1)11)1， 则实数则实数x x的取值范围是的取值范围是_ C C - -2 2 5.5.我们已知我们已知i i是是1 1的一个平方根，即方程的一个平方根，即方程x x2 2= =1 1的一的一 个根，那么方程个根，那么方程x x2 2= =1 1的另一个根是的另一个根是_._. i i 6.6.复数复数i i2 2 (1+i) (1+i)的实部是的实部是_._. - -1 1 (21)(3), xiyy ix yRxy7.已知，其中求 与 解解 根据复数相等的定义，得方程组根据复数相等的定义，得方程组 21 1(3) xy y 解得解得 5 ,4 2 xy 1. 1. 虚数单位虚数单位i i的引入，数系的扩充；的引入，数系的扩充； 2. 2. 复数有关概念：复数有关概念： (,)zabi aR bR复数的代数形式复数的代数形式: : 复数的实部、虚部复数的实部、虚部 复数相等复数相等 复数的分类复数的分类 abicdi ac bd 用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道 路. 笛卡尔
