1、2.2.2 反 证 法 主题：主题：反证法反证法 【自主认知自主认知】 1.1.鲁迅先生在论证鲁迅先生在论证“作文没有秘诀作文没有秘诀”时叙述：如果作文有秘诀，则就时叙述：如果作文有秘诀，则就 有许多祖传作家，由于不存在许多祖传作家，所以，作文没有秘诀有许多祖传作家，由于不存在许多祖传作家，所以，作文没有秘诀. . 鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想？鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想？ 提示：提示：运用的是反证法的思想运用的是反证法的思想. . 2.2.用反证法证明命题用反证法证明命题“若若p p，则，则q q”的第一步是什么？的第一步是什么？ 提示：提示：第一步是否定结论，即若第一步是否定结论
2、，即若p p，则，则 q.q. 根据以上探究过程，试着写出反证法的定义及反证法常见的矛盾类根据以上探究过程，试着写出反证法的定义及反证法常见的矛盾类 型：型： 1.1.反证法的定义反证法的定义 假设原命题假设原命题_(_(即在原命题的条件下，即在原命题的条件下，_不成立不成立) )，经过正，经过正 确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了_ 成立，这样的证明方法叫做反证法成立，这样的证明方法叫做反证法. . 不成立不成立 结论结论 原命题原命题 2.2.反证法常见的矛盾类型反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾
3、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾. .这个矛盾可以是与这个矛盾可以是与_ _矛盾，或与矛盾，或与_矛盾，或与矛盾，或与_、_、_、_矛矛 盾等盾等. . 已知已知 条件条件 假设假设 定义定义 定理定理 公理公理 事实事实 【合作探究合作探究】 1.1.我们常说我们常说“否定之否定即为肯定否定之否定即为肯定”你能说明反证法中的否定之否定你能说明反证法中的否定之否定 的两个否定分别是指什么吗？的两个否定分别是指什么吗？ 提示：提示：第一个否定是指“否定结论”即假设，第二个否定是指“逻辑第一个否定是指“否定结论”即假设，第二个否定是指“逻辑 推理结果否定了假设”推理结果否定了假设”. . 2.
4、2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗？反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗？ 提示：提示：有关，反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一有关，反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一 致”，即：“致”，即：“P PQ Q”“ “ Q Q P P”. . 【过关小练过关小练】 1.1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列 作为条件作为条件 使用使用. . 结论相反判断，即假设；原命题的条件；结论相反判断，即假设；原命题的条件； 公理、定理、定义等；原结论公理、定理、定义等；原结论. . 【解析解析】根据反证法
5、的定义及特点知，推导过程可以把结论相反判断，根据反证法的定义及特点知，推导过程可以把结论相反判断， 即假设，原命题的条件及公理、定理、定义等作为条件使用，而不能即假设，原命题的条件及公理、定理、定义等作为条件使用，而不能 把原命题的结论作为条件使用，故正确，不正确把原命题的结论作为条件使用，故正确，不正确. . 答案：答案： 2.2.两直线两直线a a与与b b异面的否定为异面的否定为 . . 【解析解析】两直线两直线a a与与b b的位置关系共有的位置关系共有a a与与b b异面、相交、平行，故异面、相交、平行，故a a与与b b 异面的否定为异面的否定为a a与与b b相交或平行相交或平行
6、. . 答案：答案：a a与与b b相交或平行相交或平行 【归纳总结归纳总结】 1.1.用反证法反设的三个关注点用反证法反设的三个关注点 (1)(1)正确分清题设和结论正确分清题设和结论. . (2)(2)对结论实施正确否定对结论实施正确否定. . (3)(3)对结论否定后，找出其所有情况对结论否定后，找出其所有情况. . 2.2.反证法证明的常见问题反证法证明的常见问题 反证法可以证明的命题的范围非常广泛，一般常见的有：唯一性问题，反证法可以证明的命题的范围非常广泛，一般常见的有：唯一性问题， 无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存
7、在性问题，不等式问题， 等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等. . 3.3.反证法常用结论的反设词反证法常用结论的反设词 结论结论 词词 = = 1)，证明，证明 方程方程f(x)=0f(x)=0没有负数根没有负数根. . 【证明证明】假设假设x x0 0是是f(x)=0f(x)=0的负数根，的负数根， 则则x x0 00， 这与这与a+b+c0a+b+c0相矛盾相矛盾. . 所以所以a a，b b，c c中至少有一个大于中至少有一个大于0.0. 2 3 6 6 2 3 类型三：类型三：用反证法证明用反证法证明“唯一性唯一性”命题命题 【典例典例3
8、3】已知：一点已知：一点A A和平面和平面 ， 求证：经过点求证：经过点A A只能有一条直线和平面只能有一条直线和平面 垂直垂直. . 【解题指南解题指南】 【证明证明】根据点根据点A A和平面和平面的位置关系的位置关系，分两种情况证明分两种情况证明. . (1)(1)如图如图1 1，点，点A A在平面在平面内，假设经过点内，假设经过点A A至少有平面至少有平面的两条垂线的两条垂线ABAB， ACAC，那么，那么ABAB，ACAC是两条相交直线，它们确定一个平面是两条相交直线，它们确定一个平面，平面，平面和平和平 面面相交于经过点相交于经过点A A的一条直线的一条直线a.a. 因为因为ABAB
9、平面平面，ACAC平面平面，a a ，所以，所以ABaABa，ACaACa，在平面，在平面 内经过点内经过点A A有两条直线都和直线有两条直线都和直线a a垂直，这与平面几何中经过直线上垂直，这与平面几何中经过直线上 一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾. . (2)(2)如图如图2 2，点，点A A在平面在平面外，假设经过点外，假设经过点A A至少有平面至少有平面的两条垂直的两条垂直ABAB 和和AC(BAC(B，C C为垂足为垂足) )，那么，那么ABAB，ACAC是两条相交直线，它们确定一个平是两条相交直线，它们确定一个平 面面，平面，平面和平面和
10、平面相交于直线相交于直线BCBC，因为，因为ABAB平面平面，ACAC平面平面， BCBC ，所以，所以ABBCABBC，ACBC.ACBC. 在平面在平面内经过点内经过点A A有两条直线都和有两条直线都和BCBC垂直，这与平面几何中经过直垂直，这与平面几何中经过直 线外一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾线外一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾. . 综上，经过点综上，经过点A A只能有一条直线和平面只能有一条直线和平面垂直垂直. . 【延伸探究延伸探究】将本题条件改为：已知将本题条件改为：已知a a与与b b是异面直线是异面直线，求证：过求证：过a a且且 平行于平行于b b的平面只有
11、一个的平面只有一个. . 【证明证明】如图所示如图所示. .假设过直线假设过直线a a且平行于直线且平行于直线b b的平面有两个的平面有两个，分别分别 为为和和， 在直线在直线a a上取点上取点A A，过，过b b和和A A确定一个平面确定一个平面，且，且与与，分别交于过分别交于过 点点A A的直线的直线c c，d d， 由由bb，知，知bcbc，同理，同理bdbd， 故故cdcd，这与，这与c c，d d相交于点相交于点A A矛盾，矛盾， 故假设不成立，原结论成立故假设不成立，原结论成立. . 【规律总结规律总结】巧用反证法证明唯一性命题巧用反证法证明唯一性命题 (1)(1)当证明结论有以“
12、有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有 一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反 证法证明证法证明. . (2)(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反 证法证法. .用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么 只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有
13、多种，则必须将 所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立. . (3)(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性和证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性和 唯一性唯一性. . 【巩固训练巩固训练】若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间aa，bb上的图象连续不断开，上的图象连续不断开， f(a)0，且，且f(x)f(x)在在aa，bb上单调递增，求证：上单调递增，求证：f(x)f(x)在在(a(a，b)b) 内有且只有一个零点内有且只有一个零点. . 【证明证明】由于由于f(x)f(x)在在aa，bb上的图象连续不断开，
14、且上的图象连续不断开，且f(a)0，即，即f(a)f(a)f(b)m，则，则f(n)f(m)f(n)f(m)，即，即0000，矛盾；，矛盾； 若若n0 0，则则 1 1，这与这与 = =1 1相矛盾相矛盾. . 若若b b1 1- -b b2 2 0 0，则则 1 1，这也与这也与 = =1 1相矛盾相矛盾. . 所以所以b b1 1- -b b2 2= =0 0，则则b b1 1=b=b2 2，这与假设矛盾这与假设矛盾， 所以假设不成立所以假设不成立，从而原命题得证从而原命题得证. . 12 bb 23 23， 12 bb 21 12 bb 2 12 bb 2 12 bb 2 12 bb 2
