1、 1 3.3.1 函数的单调性与导数 教 学 设 计 新乡市一中 刘银平 【三维目标】 知识技能：(1)探索函数的单调性与导数的关系; (2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间; 过程方法：(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生自主学习能 力； (2)强化数形结合思想. 情感态度：(1)培养学生的探究精神； (2)体验动手操作带来的成功感. 【教学重点难点】 教学重点： 利用导数研究函数的单调性， 会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系. 【教学过程】 （一）设问篇：有效设问，引入新课 如何判断函数 (x0)的单调性，你有几种
2、方法？ （利用选号程序，挑选一名幸运的同学，可提升学生注意力 ） 设计意图：利用问题吸引学生，达到激发学习兴趣的目的.若学生能说出单调区间， 则追问端点“1”的由来；若学生不清楚单调性，则引导他们用定义法求解，但判断差 值的正负会很麻烦.有便捷而通用的方法吗？从而引入新课. （二）观察篇：观察分析，初步探究 首先由陈若琳跳水视频引入，高台跳水是教材一以贯之的例子，这样即引起学生注 意，又体现新教材强调背景的特点. 思考 1:图（1）为高度 h 随时间 t 变化的函数 图象.图（2）为 速度 v 随时间 t 变化的函数图象，分析运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两 段时间的运动状态有什么区
3、别？ 1 ()fxx x 2 ( )4.96.510h ttt 2 设计意图： “学会看图是 21 世纪青年人必须具备的能力” ，让学生观察高度和速度 图象，体会这二者的关系. （图1） （图2） 思考2：在函数 的单调区间上，其导数的解析式是什么？观 察导数图象，通过（图2）回答导数在相应单调区间上的正负. 思考3：导数与切线斜率有什么关系？曲线切线斜率变化与图像的升降有什么关 系？ 设计意图：新课标强调“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用”.所以， 我鼓励学生借助直观分析切线斜率的正负与图象升降的关系，并用几何画板动态演示， 有效促进了学生探索问题的本质. 在几何画板的动态演示中，
4、让学生反复观察图形来感受导数在研究函数单调性中的 作用，一方面加强学生对导数本质的认识，把他们从抽象的极限定义中解放出来；另一 方面体现数学直观这一重要的思想方法对数学学习的意义和作用. （三）操作篇：动手操作，深入探究 思考 4：这种情况是否具有一般性呢？ 2 ( )4.96.510h ttt h t o m n v n t o m 2( 1)yx x 3 设计意图：在学生得到初步结论之后，为了检验这一结论的普遍性，引领学生从具 体的函数出发，体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度. 为了让这一过程更加直观，组织学生动手操作：把牙签当切线，移动牙签观察导数 正负与函数单调性的关系
5、.让学生在老师的引导下自主探索,体会探究后的成功感,树立 自信心. 并将观察结果填入下表 设计意图： 灵活使用教材， 不拘泥于教材， 上述图象没有使用课本中提到的 图 象，并将 的定义域设为 1+， 。因为学生会在“个别点处导数为零不影响单调 性”的问题上纠结，不妨把这个问题放到下节课，这样可以突出本节课的重点. （四）归纳篇：归纳结论，揭示本质 思考 5：依据上述分析，可得出什么结论？ 单调性单调性 导数的正负导数的正负 函数及图象函数及图象 切线斜率切线斜率k 的正负的正负 2( 1)yxx 3 xy 2 xy 4 设计意图：经历上述活动之后，引导学生对一般情况进行归纳、总结，得出结论，
6、教师板书.并解决开始提出的问题：如何判断函数 ( 0)的单调性，及 端点“1”是怎样产生的？ 函数单调性与其导数正负的关系： 在某个区间, a b内，如果 ( ) fx0,那么函数( )yf x 在区间, a b 内单调递增； 如果 ( ) fx4,或x1时， 0; 当x=4,或x=1时， =0.则函数( )f x图象的大致形状是( ） 。 设计意图： 本练习是课本例 1 改编的， 考虑到本节课是新授课， 授课对象为文科生， 抽象能力不是太强，所以降低难度，由画图像改为选择图象，但本质不变. 例 2.求函数 的单调区间. 设计意图：在教学中，由于预设学生会在求单调区间时忘掉定义域，让他们先练习
7、 然后同桌互评，自己发现问题订正错误，随后动态生成图象验证。从而让学生意识到考 察单调性时定义域优先的原则.之后由学生总结求单调区间的步骤. 3 ( )33f xxx ( )33 x f xex ( )fx ( )f x ( )f x ( )f x ( )yf x o 1 4 x o 1 4 ( )yf x ( )yf x ( )yf x x y o 1 4 x y o 1 4 A B C D x y y f ( x )ln xx 1 ( )= +f xx x x 5 思考 7：你能小结求解函数单调区间的步骤吗？ （强调定义域） （六）反思篇：课堂小结，内化知识 提出问题 探究问题 解决问题 未解决的问题 设计意图：引领学生按这一模式进行小结，提高学生概括归纳总结的能力，升华对 知识的理解. （七）作业布置 必做题：课本 31 页 习题 1.3 A 组 第 1，2 题 选做题：判断函数 在区间 上的单调性. 设计意图：以巩固知识、培养能力、反馈信息为目的，将作业设计为必做题与选做 题，可使不同基础的学生得到相应的训练和提高. （八）板书设计 2 ( )(0) 1 ax f xa x 1,1（） 3.3.1 函数的单调性与导数 结论： 例 1 引例 解： 解： 变式： 解： 注意：
