1、3用样本估计总体分布用样本估计总体分布自主预习自主预习新知导学新知导学合作探究合作探究释疑解惑释疑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.通过实例了解频数和频率的区别与联系通过实例了解频数和频率的区别与联系.2.理解频数、频率在实际问题中如何反映总体理解频数、频率在实际问题中如何反映总体.3.在表示样本数据的过程中在表示样本数据的过程中,通过实例学会列频通过实例学会列频率分布表率分布表,画频率分布直方图、频率折线图画频率分布直方图、频率折线图,并并体会它们各自的特点体会它们各自的特点.4.在解决统计实际问题的过程中在解决统计实际问题的过程中,体会样本
2、估计体会样本估计总体的思想总体的思想.5.培养数学运算、数学建模的学科素养培养数学运算、数学建模的学科素养.一、频数和频率一、频数和频率【问题思考】【问题思考】1.阅读下面情境问题阅读下面情境问题,并回答问题并回答问题.情境情境1,某校高一年级学生今天缺勤某校高一年级学生今天缺勤12人人.情境情境2,某校高一年级学生今天的缺勤率为某校高一年级学生今天的缺勤率为1%.(1)在上述两种情境中在上述两种情境中,分别从哪个角度来刻画缺勤情况分别从哪个角度来刻画缺勤情况?(2)频数和频率的区别与联系是什么频数和频率的区别与联系是什么?提示提示:(1)情境情境1是用频数作为指标来刻画是用频数作为指标来刻画
3、.情境情境2是用频率作为指标来刻画是用频率作为指标来刻画.(2)频数是指一种情况中出现的数量频数是指一种情况中出现的数量,频率是频数与总数的比频率是频数与总数的比值值.频数和频率都是用来刻画样本和总体之间的关系频数和频率都是用来刻画样本和总体之间的关系,因为总因为总体的数量不同体的数量不同,所以仅用频数来刻画是不够的所以仅用频数来刻画是不够的,用频率能更好用频率能更好地反映样本和总体的相应特征地反映样本和总体的相应特征.2.填空填空:(1)频率表示频率表示频数与总数频数与总数的比值的比值,能更好地反映能更好地反映样本样本和和总体总体的相应特征的相应特征.(2)频率反映了相对总数而言的频率反映了
4、相对总数而言的相对强度相对强度,其所携带的总体信其所携带的总体信息远超过频数息远超过频数.在实际问题中在实际问题中,如果总体容量比较小如果总体容量比较小,频数也可频数也可以较客观地反映总体分布以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时当总体容量较大时,频率就更能客频率就更能客观地反映观地反映总体分布总体分布.3.在统计中在统计中,频率有怎样的用途频率有怎样的用途?提示提示:在统计中在统计中,经常要用样本数据的频率去估计总体中相应经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率的频率,即对总体分布进行估计即对总体分布进行估计.二、频率分布直方图二、频率分布直方图【问题思考】【问题思考】1.将一定数量的
5、数据将一定数量的数据,按从小到大的顺序分组后按从小到大的顺序分组后,如何更直观、如何更直观、形象地来描述它们的分布形象地来描述它们的分布?提示提示:用频率分布直方图来描述用频率分布直方图来描述.2.填空填空:图中每个矩形的底边长是该组的组距图中每个矩形的底边长是该组的组距,每个小矩形的每个小矩形的高是该组的高是该组的频率与组距的比频率与组距的比,从而每个小矩形的面积等于该从而每个小矩形的面积等于该组的频率组的频率,即每个小矩形的面积即每个小矩形的面积=组距组距 =频率频率,我们把这我们把这样的图叫作样的图叫作频率分布直方图频率分布直方图.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频频率
6、分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小率的大小.3.频率分布直方图的好处在于什么频率分布直方图的好处在于什么?提示提示:首先首先,能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别之间的差别;其次其次,当考虑数据落在若干个组内的频率之和时当考虑数据落在若干个组内的频率之和时,可以用相应的矩形面积之和来表示可以用相应的矩形面积之和来表示.4.画频率分布直方图的步骤是什么画频率分布直方图的步骤是什么?提示提示:(1)计算极差计算极差;(2)确定组距与组数确定组距与组数;(3)分组分组;(4)列表列表;(5)画频率分布直方图画频率分布直方
7、图.5.做一做做一做:取取100个数据个数据,按从小到大的顺序分成按从小到大的顺序分成8个组个组,如下表如下表:则第则第6组的频率为组的频率为()A.0.14B.14C.0.15D.15解析解析:由题意可得第由题意可得第6组的频数为组的频数为100-9-14-14-13-12-13-10=15,答案答案:C 三、频率分布折线图三、频率分布折线图【问题思考】【问题思考】1.填空填空:(1)定义定义:在频率分布直方图中在频率分布直方图中,按照分组原则按照分组原则,再在左边和右边再在左边和右边各加一个区间各加一个区间.从所加的左边区间的从所加的左边区间的中点中点开始开始,用线段依次连用线段依次连接各
8、个矩形的顶端中点接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点直至右边所加区间的中点,就可以得就可以得到一条折线到一条折线,我们称之为我们称之为频率折线图频率折线图.(2)作用作用:有时也用它来估计总体的分布情况有时也用它来估计总体的分布情况.2.样本容量的大小与估计总体的分布有什么关系样本容量的大小与估计总体的分布有什么关系?提示提示:一般地一般地,样本容量越大样本容量越大,用样本的频率分布去估计总体的用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确分布就越精确.3.随着样本容量的增大随着样本容量的增大,所划分的区间数也可以随之增多所划分的区间数也可以随之增多,而而每个区间的长度则会相应随之减小每个区
9、间的长度则会相应随之减小,相应的频率折线图会怎相应的频率折线图会怎样样?提示提示:越来越接近于一条光滑曲线越来越接近于一条光滑曲线.4.是不是样本容量越大就越好是不是样本容量越大就越好?提示提示:样本容量越大样本容量越大,工作量就越大工作量就越大,所以实际问题中所以实际问题中,一般根一般根据不同的情况据不同的情况,选择适当的样本容量选择适当的样本容量.【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错错误的画误的画“”.(1)频率分布直方图的组数越多频率分布直方图的组数越多,越能看出总体数据的分布特越能看出总体数据的分布特
10、点点.()(2)频率分布直方图中小长方形的高度就是对应组的频率频率分布直方图中小长方形的高度就是对应组的频率.()(3)同一组数据同一组数据,组数不同组数不同,得到的频率分布直方图的形状也不得到的频率分布直方图的形状也不同同.()(4)频率分布直方图中的所有小矩形的面积之和等于频率分布直方图中的所有小矩形的面积之和等于1.()(5)频率分布表和频率分布直方图之间有密切关系频率分布表和频率分布直方图之间有密切关系,它们是相它们是相同数据的两种不同表达方式同数据的两种不同表达方式.()探究一探究一 画频率分布直方图画频率分布直方图【例【例1】某中学同年级某中学同年级40名男生的体重数据名男生的体重
11、数据(单位单位:kg)如下如下:61605959595858575757575656565656565655555555545454545353525252525251515150504948列出样本的频率分布表列出样本的频率分布表;画出频率分布直方图画出频率分布直方图.分析分析:画频率分布直方图的一般步骤画频率分布直方图的一般步骤:算极差算极差,确定组距确定组距,分组分组,列频率分布表列频率分布表,画频率分布直方图画频率分布直方图.解解:(1)计算极差计算极差:61-48=13.所以所以,共分成共分成7组组.(3)分组分组:使分组端点比数据多一位小数使分组端点比数据多一位小数,并把第并把第1
12、组的分组端组的分组端点减小点减小0.5,即分成如下即分成如下7组组:47.5,49.5),49.5,51.5),59.5,61.5.(4)列频率分布表如下列频率分布表如下:(5)画出频率分布直方图画出频率分布直方图.1.组数的确定方法是组数的确定方法是:当数据在当数据在120个以内时个以内时,通常按照数据的通常按照数据的多少分成多少分成5组组12组组.2.分组方法是分组方法是:若数据为整数若数据为整数,则分组端点减去则分组端点减去0.5;若数据的小若数据的小数点后有一位数数点后有一位数,则分组端点减去则分组端点减去0.05,以此类推以此类推.【变式训练【变式训练1】有一个容量为有一个容量为20
13、0的样本的样本,数据的分组以及各数据的分组以及各组的频数如下组的频数如下:-20,-15),7;-15,-10),11;-10,-5),15;-5,0),40;0,5),49;5,10),41;10,15),20;15,20,17.(1)列出样本的频率分布表列出样本的频率分布表;(2)画出频率分布直方图画出频率分布直方图;(3)求样本数据小于求样本数据小于0的频率的频率.解解:(1)频率分布表如下频率分布表如下:(2)频率分布直方图如图所示频率分布直方图如图所示.(3)样本数据小于样本数据小于0的频率为的频率为0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.探究二探究二 频率分布直
14、方图的应用频率分布直方图的应用【例【例2】为了了解高一学生的体能情况为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后将所得数据整理后,画出的频率分画出的频率分布直方图如图所示布直方图如图所示,图中从左到右各小矩形面积之比为图中从左到右各小矩形面积之比为2 4 17 15 9 3,已知第二分组的频数为已知第二分组的频数为12.(1)第二分组的频率是多少第二分组的频率是多少?样本容量是多少样本容量是多少?(2)若次数在若次数在110以上以上(含含110次次)为达标为达标,试估计该校全体高一学试估计该校全体高一学生的达标率生的
15、达标率.分析分析:小矩形面积比已知小矩形面积比已知,而各小矩形面积之和为而各小矩形面积之和为1,故可求得故可求得各小矩形的面积各小矩形的面积,即频率即频率.由第二小组的频数为由第二小组的频数为12,可得样本容可得样本容量量.通过面积之比可求得达标率通过面积之比可求得达标率.【变式训练【变式训练2】某工厂对一批产品进行了抽样检测某工厂对一批产品进行了抽样检测,下图是下图是根据抽样检测后的产品净重数据根据抽样检测后的产品净重数据(单位单位:g)绘制的频率分布直绘制的频率分布直方图方图,其中产品净重的范围是其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为样本数据分组为96,98),98,100),1
16、00,102),102,104),104,106.已知样本中产已知样本中产品净重小于品净重小于100 g的个数是的个数是36,则样本中产品净重大于或等于则样本中产品净重大于或等于98 g并且小于并且小于104 g的个数是的个数是()A.90B.75C.60D.45解析解析:产品净重小于产品净重小于100 g的频率为的频率为(0.050+0.100)2=0.300.已已知样本中产品净重小于知样本中产品净重小于100 g的个数是的个数是36,设样本容量为设样本容量为n,则则 ,可得可得n=120.产品净重大于或等于产品净重大于或等于98 g并且小于并且小于104 g的频率为的频率为(0.100+0
17、.150+0.125)2=0.75,所以样本中产品净重大于或等所以样本中产品净重大于或等于于98 g并且小于并且小于104 g的个数是的个数是1200.75=90.故选故选A.答案答案:A探究三探究三 频率折线图频率折线图【例【例3】已知已知50个样本数据的分组以及各组的频数如下个样本数据的分组以及各组的频数如下:153.5,155.5),2161.5,163.5),10155.5,157.5),7163.5,165.5),6157.5,159.5),9165.5,167.5),4159.5,161.5),11167.5,169.5,1(1)列出频率分布表列出频率分布表;(2)画出频率分布直方
18、图和频率折线图画出频率分布直方图和频率折线图.分析分析:此题按照频率分布直方图、频率折线图的绘制步骤解此题按照频率分布直方图、频率折线图的绘制步骤解决即可决即可.解解:(1)频率分布表如下频率分布表如下:(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示频率分布直方图和频率折线图如图所示.【变式训练【变式训练3】为了检测某种产品的质量为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量抽取了一个容量为为100的样本的样本,数据的分组情况与频数如下数据的分组情况与频数如下:10.75,10.85),3;10.85,10.95),9;10.95,11.05),13;11.05,11.15),16;11.15,11.25)
19、,26;11.25,11.35),20;11.35,11.45),7;11.45,11.55),4;11.55,11.65,2.(1)列出频率分布表列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图以及频率折线图画出频率分布直方图以及频率折线图;(3)根据上述图表根据上述图表,估计数据落在区间估计数据落在区间10.95,11.35)内的可能性内的可能性是百分之几是百分之几.解解:(1)频率分布表如下频率分布表如下:(2)频率分布直方图及频率折线图如图所示频率分布直方图及频率折线图如图所示.(3)由上述图表可知由上述图表可知,数据落在区间数据落在区间10.95,11.35)内的频率为内的频率为0.13+0
20、.16+0.26+0.20=0.75=75%,即数据落在区间即数据落在区间10.95,11.35)内的可能性是内的可能性是75%.将矩形的高看作频率致误将矩形的高看作频率致误【典例】【典例】为了解新生儿的体重为了解新生儿的体重(单位单位:g),将所得数据整理后将所得数据整理后,画出了频率分布直方图画出了频率分布直方图,如图所示如图所示.新生儿体重在区间新生儿体重在区间2 700,3 000)内的频率为内的频率为.错解错解 观察可知观察可知,新生儿体重在区间新生儿体重在区间2 700,3 000)内的频率为内的频率为0.001.答案答案 0.001以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些
21、错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:频率分布直方图中矩形的高是该组的频率与组距的比频率分布直方图中矩形的高是该组的频率与组距的比,不是频率不是频率.正解正解:由题图可知由题图可知,组距组距=300,故新生儿体重在区间故新生儿体重在区间2 700,3 000)内的频率为内的频率为0.001300=0.3.答案答案:0.31.关于频率分布直方图中小矩形的高的说法关于频率分布直方图中小矩形的高的说法,正确的是正确的是()A.表示落在该组内的个体在样本中出现的频率表示落在该组内的个体在样本中出现的频率B.表示取某数的频率表示取某数的频率C.表示
22、落在该组内的个体数与组距的比值表示落在该组内的个体数与组距的比值D.表示落在该组内的个体在样本中出现的频率与组距的比值表示落在该组内的个体在样本中出现的频率与组距的比值答案答案:D 2.已知样本数据已知样本数据:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12,则频率为则频率为0.3的数据分组是的数据分组是()A.5.5,7.5)B.7.5,9.5)C.9.5,11.5)D.11.5,13.5解析解析:由题意知由题意知,样本容量为样本容量为20.若频率为若频率为0.3,则在该组的频数则在该组的频数应为应为200.3=6.由数据可知选由数据可
23、知选B.答案答案:B3.某幼儿园对本园某幼儿园对本园“中班中班”的的100名儿童的体重名儿童的体重(单位单位:kg)做了做了测量测量,并根据所测量的数据画出了频率分布直方图并根据所测量的数据画出了频率分布直方图,如图所示如图所示,则体重在区间则体重在区间18,20)内的儿童人数为内的儿童人数为()A.15B.25C.30D.75解析解析:这这100名儿童的体重在区间名儿童的体重在区间18,20)内的频率是内的频率是0.0752=0.15,所以体重在区间所以体重在区间18,20)内的儿童内的儿童人数为人数为1000.15=15.答案答案:A4.根据部分城市某年根据部分城市某年6月份的平均气温月份
24、的平均气温(单位单位:)数据得到的数据得到的频率分布直方图频率分布直方图,如图所示如图所示,其中平均气温的范围是其中平均气温的范围是20.526.5,样本数据的分组为样本数据的分组为20.5,21.5),21.5,22.5),22.5,23.5),23.5,24.5),24.5,25.5),25.5,26.5.已知样本中平均气温低于已知样本中平均气温低于22.5 的城市有的城市有11个个,则样本中平均气则样本中平均气温不低于温不低于25.5 的城市个数为的城市个数为.解析解析:由于组距为由于组距为1,故样本中平均气温低于故样本中平均气温低于22.5 的城市的的城市的频率为频率为(0.10+0.
25、12)1=0.22.因为平均气温低于因为平均气温低于22.5 的城市有的城市有11个个,而平均气温不低于而平均气温不低于25.5 的城市的频率为的城市的频率为0.18,所以样本中平均气温不低于所以样本中平均气温不低于25.5 的城市个数为的城市个数为500.18=9.答案答案:95.如图如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名名,将其成绩将其成绩(均均为整数为整数)整理后画出的频率分布直方图如下整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:(1)分数在区间分数在区间79.5,89.5)内的频数、频率分别是多少内的频数、频率分别是多少?(2)估计这次环保知识竞赛的及格率估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格分及以上为及格).解解:(1)该组频率为该组频率为0.02510=0.25,频数为频数为600.25=15.(2)竞赛的及格率为竞赛的及格率为0.01510+0.0310+0.02510+0.00510=0.75=75%.
