1、人教版八年级数学上册人教版八年级数学上册 13.3 等腰三角形等腰三角形 13.313.3.1.1 等腰三角形等腰三角形ABC等腰三角形等腰三角形:有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰,另一条边叫做另一条边叫做底边底边,底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角.两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角,腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角回顾回顾如图如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分并剪去绿色部分,再把它展再把它展开开,得到的得到的ABCABC有什么特点有什么特点?ABCAB
2、=AC等腰三角形等腰三角形动手操作动手操作 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？ABCD把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABCABC沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的线段重合的角重合的角AB=ACAB=ACBD=CDBD=CDAD=ADAD=ADB=B=C CADB=ADB=ADCADCBAD=BAD=CADCAD细心观察细心观察 大胆猜想大胆猜想人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件ABCDABCD顶角的平分线顶角的平分线底边的高底边的高
3、底边的中线底边的中线ABCDABCD人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件ABCDABCDABCDABCD人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件那么我们发现了：那么我们发现了：（）等腰三角形的两个底角相等（）等腰三角形的两个底角相等 (简写成简写成“等边对等角等边对等角”)。等腰三角形的性质：ABCD（）等腰三角形的顶角平分线、底边（）等腰三角形的顶角平分线、底边 上中线、底边上的高相互重合。上中线、底边上的高相互重合。(简称为简称为“三线合一三线合一”)。人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数
4、学上册.等腰三角形经典课件ABCD性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等等边对等角角”）.性质1的题设和结论分别是什么？如何证明？已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC，求证：，求证：B=C证明：作底边证明：作底边BC的中线的中线AD AD是底边是底边BC的中线的中线 BD=CD 在在ABD和和ACD中中 AB=AC BD=CD AD=AD(公共边）公共边）ABD ACD（SSS）B =C人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件12CDADBCADBCBD CD12(1)如果如果 AB=AC,AD是角平分
5、线是角平分线,那么那么 ，BD .(2)如果如果 AB=AC,AD是中线是中线,那么那么 ,.(3)如果如果 AB=AC,AD 是高是高,那么那么 ,.BCDA1 2性质2可以分解为三个命题：人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件已知：已知：如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证：ADBCADBC，BD=CDBD=CD.ABC等腰三角形等腰三角形的的“三线合一三线合一”。D证明：证明：作顶角的平分线作顶角的平分线ADAD，则，则1=1=2 2AB=AC (AB=AC (已知已知 )1=1=2(2(已作已作 )AD=AD(
6、AD=AD(公共边公共边)BAD BAD CAD(SAS).CAD(SAS).ADBADB=ADC=90ADC=90(全等三角形的对应全等三角形的对应角等角等).).方法一：方法一：作顶角的平分线作顶角的平分线在在BADBAD和和CADCAD中中12 ADBCADBC，BD=CDBD=CD人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件已知：已知：如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证：ADBCADBC，BAD=BAD=C C ADAD.ABC等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”。D证明：证明：作底边的中线作底边的中线AD
7、AD，则，则BD=CDBD=CDAB=AC (AB=AC (已知已知 )BD=CD(BD=CD(已作已作 )AD=AD(AD=AD(公共边公共边)BAD BAD CAD(SSS).CAD(SSS).ADADBCBC，BAD=C ADBAD=C AD .在在BADBAD和和CADCAD中中方法方法二二：作作底边上的中底边上的中线线 ADBADB=ADC=90ADC=90(全等三角形的对应全等三角形的对应角等角等).).人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件已知：已知：如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证：BD=CDBD=
8、CD，BAD=C ADBAD=C AD.ABC等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”。D证明：证明：作底边的高线作底边的高线ADAD，则，则BDA=BDA=CDA=90CDA=90AB=AC (AB=AC (已知已知 )AD=AD(AD=AD(公共边公共边)RtRtBAD RtBAD RtCAD(HL).CAD(HL).BD=CDBD=CD，BAD=C BAD=C AD.AD.方法三：方法三：作底边的高线作底边的高线在在RtRtBADBAD和和RtRtCADCAD中中人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件性质性质 1 1：等腰三角形的两个底角相等
9、（简写为等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角等边对等角”）性质性质2 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合线相互重合.（简称为（简称为“三线合一三线合一”，与对称轴位于同一，与对称轴位于同一条直线上）条直线上）等腰三角形的性质等腰三角形的性质:人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件1 1、等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7070,它的顶角为它的顶角为_._.2 2、等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070,它的另外两个角为它的另外两个角为 _._.3 3、等腰
10、三角形一个角为等腰三角形一个角为110110,它的另外两个角为它的另外两个角为_._.顶角顶角度数度数+2+2底角底角度数度数=180=180 0 0顶角顶角度数度数180180 0 0底角底角度数度数9090结论结论:在等腰三角形中在等腰三角形中,40 35，35 70,40 或或 55,55人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件1.1.（烟台（烟台中考）如图，等腰中考）如图，等腰 ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=20A=20.线段线段ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于D D，交，交ACAC于于E E，连接，连接BEBE，
11、则，则CBECBE等于等于()()A.80A.80 B.70 B.70 C.60 C.60 D.50 D.50【解析解析】选选C.C.因为因为AB=ACAB=AC，A=20A=20，所以，所以ABC=ABC=（180180-A-A）=80=80，因为，因为DEDE垂直平分垂直平分ABAB，所以，所以ABE=A=20ABE=A=20，所以，所以CBE=ABC-ABE=80CBE=ABC-ABE=80-2020=60=60.21人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件2.2.（日照（日照中考）已知等腰梯形的底角为中考）已知等腰梯形的底角为4545，高为高为2
12、 2，上底为，上底为2 2，则其面积为（，则其面积为（）A.2 B.6 C.8 D.12A.2 B.6 C.8 D.12【解析解析】选选C,C,过上底的两个顶点分别作下底的垂线，又因过上底的两个顶点分别作下底的垂线，又因为底角为为底角为4545，高为，高为2 2，有下底的长等于，有下底的长等于2+2+2=62+2+2=6，S=S=12（2+62+6）2=8.2=8.3.3.（泰州（泰州中考）等腰中考）等腰ABCABC的两边长为的两边长为2 2和和5 5，则第三边长，则第三边长为为 【解析解析】因为因为2,5,52,5,5能够成三角形能够成三角形.答案：答案：5.5.人教版八年级数学上册.等腰三
13、角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件 例例1、如图，在、如图，在ABC中中，AB=AC，点，点D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数。各角的度数。ABCDx2x2x2x解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD（等边对等角）设A=x，则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x于是ABC中，A+ABC+C=180，即x+2x+2x=180解得x=36所以ABC=C=72x人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件 已知：如图，房屋的顶角已知：如图，房屋的顶角BAC=100,过屋顶过屋
14、顶A的立柱的立柱AD BC,屋椽屋椽AB=AC.求顶架上求顶架上B、C、BAD、CAD的度数的度数.ABDCBAD=CAD=50BAD=CAD（等腰三角形顶角的平分线与底（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）边上的高互相重合）.又又ADBC，B=C=180BAC=40(三角形内角和定理三角形内角和定理)解：在解：在ABC中中AB=AC，B=C（等边对等角）（等边对等角）又BAC=100 人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件1 1、求有关等腰三角形的问题，作、求有关等腰三角形的问题，作顶角平分线、底边中线，底边的顶角平分线、底边中线，底边的高是
15、常用的辅助线；高是常用的辅助线；2 2、熟练掌握求解等腰三角形的顶、熟练掌握求解等腰三角形的顶角、底角的度数；角、底角的度数；3 3、掌握等腰三角形三线合一的、掌握等腰三角形三线合一的应用。应用。这节课我们学习了什么?人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件一、复习：1、等腰三角形的性质定理是什么？等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：等边对等角）2、这个定理的逆命题是什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。3、猜想这个命题正确吗？人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件B CA 如图,位于在
16、海上B、C两处的两艘救生船接到A处的遇险报警，当时测得B=C。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件已知：ABC中，B=C求证：AB=AC证明：作BAC的平分线AD在 BAD和 CAD中，B=C，1=2，AD=AD BAD CAD（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边 相等）1ABCD2思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?探索等腰三角形的判定定理人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件CAB 等腰三角形的判定定理等腰三角形的
17、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”）B=C（已知）AB=AC（等角对等边）人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件如图如图,下列推理正确吗下列推理正确吗?A AB BC CD D2 21 11=2 1=2 BD=DC BD=DC（等角对等边）（等角对等边）1=2 1=2 AB=CD AB=CD（等角对等边）（等角对等边）判断判断“等边对等角等边对等角”或或“等角对等边等角对等边”这两个结论，只这两个结论，只有在有在同一个三角形内同一
18、个三角形内才能成立才能成立A AB BD DC CO O1 12 2 人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件已知已知:如图如图,A=36,A=36,C=72,C=72,DB,DB平分平分ABCABC问：问：1=1=度度,2=,2=度，度，图中有图中有 个等腰三角形。个等腰三角形。如果如果AD=4cmAD=4cm，则，则BC=_cmBC=_cm 如果过点如果过点D D作作DEBC,DEBC,交交ABAB于点于点E,E,则图中有则图中有 个等腰三角形。个等腰三角形。21A AB BC CD DE E727236363 34 45 5人教版八年级数学上册.等
19、腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件例例2 2求证：如果三角形一个外角的平分线求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形等腰三角形 2 1 E D C A B已知：已知：如图，如图，CAE是是ABC的外角，的外角，1=2，ADBC 求证：求证：AB=AC 人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件证明：证明：ADBC，1=B（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同位角相等），2=C（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）又又1=2，B=C，AB=AC
20、（等角（等角对等边）2 1 E D C A B角等边等判定人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件DC巩固等腰三角形的判定定理例3已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的 长为h，求作这个等腰三角形.ah作法：（1）作线段AB=a；（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与 AB 相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC=h；（4）连接AC，BC，则ABC 就是所 求作的等腰三角形.ABMN人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件BADC1.1.已知：如图，已知：如图，ADBCADBC，BDBD平分平分ABCABC。求
21、证：求证：AB=ADAB=AD证明：证明：ADBCADBC1=31=33=23=21=21=2AB=ADAB=AD练习练习1 12 23 3人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？分是一个等腰三角形吗？为什么？解：重合部分是一个解：重合部分是一个等腰三角形。等腰三角形。练习练习3 31 12 2A AD DC CB B ADBCADBC1=31=33=23=21=21=2BE=EDBE=EDE E重合部分是一个等腰三角形。重合部分是一个等腰三
22、角形。人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件角平分线角平分线+平行线平行线=等腰三角形等腰三角形总结总结O OA AB BC CD DO OA AB BC CD DB BA AD DC C人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件如图，在ABC中，ABAC，D是AB上一点，过点D作DEBC于点E，并与CA的延长线交于点F，试判断ADF的形状，并说明理由解：ADF是等腰三角形理由：在ABC中，ABAC，BC，DEBC，DEBDEC90，BDEB90，FC90，BDEF，BDEADF，ADFF，AFAD，ADF是等腰三
23、角形人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件如图，AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于点E，EFAC交AB于点F.求证：AFFB.证明：AD平分BAC，BAEEAC，EFAC，FEAEAC，FEADAF，AFFE.BEAE，FEABEF90，BAEFBE90，FBEBEF，BFEF，AFBF人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件定义，判定定理定义，判定定理 在同一个三角形中在同一个三角形中1.1.等腰三角形的判定方法有下列几种等腰三角形的判定方法有下列几种 .2.2.运用等腰三角形的判定定理时，应注意运用等腰三角形的判定定理时，应注意 .通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件人教版八年级数学上册.等腰三角形经典课件
