1、1 小学数学最容易搞错的小学数学最容易搞错的 1515 条基础概念条基础概念 一、一、最小的一位数是最小的一位数是 0 0 还是还是 1 1？ 这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看九年义务教育六年制小学数学第八册教师教 学用书第 98 页“关于几位数”的叙述： “通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。 例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数； “30”是含有两个数位的数，叫做两位数； “405” 是含有三个数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说 0 是几位数。 再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的， “只用一个有效数字 表示的数，叫做一位数；只用两个数
2、字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位 数所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字） ，这个数就叫几 位数。 于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共 有九个，即：、。 不是最小的一位数。 二、二、为什么为什么 0 0 也是自然数也是自然数? ? 课标教材对“也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。 于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说 法， 以法国为代表的多数国家都认为自然数从 0 开始， 我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法， 认为 0 不是自然数。2000
3、年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将 0 归为自然数。这次 改版也是与国际惯例接轨。 从教学实践层面来说，将“”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。 “0 0”作为自然数的“好处”作为自然数的“好处” 众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集 合，像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然 数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。 但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集 ，元素个数为 0。如果不把 0 作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果
4、把“0”作为一个自然数，那 么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此，从“自然数的基数性”这个角 度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。 把“把“0 0”作为自然数，不会影响自然数的”作为自然数，不会影响自然数的 “运算功能”“运算功能” “0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合0,1,2, ,中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算， 而运算结果仍然是自然数。 同时， 加法、 乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。 所以， “0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定” 。它让我们更好地理 解自然数和它的功能
5、，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定” ， 还应该思考“规定”背后的数学涵义。 三、三、什么是有效数字一无效数字？什么是有效数字一无效数字？ 有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有 效数字多，就比保留的有效数字少更精确。 一般说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一 个非零的数字起，到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。 如近似数 0有三个有效数字：、；也有三个有效字：、 2 、。 而中左边的三个零，中左边的一个零，都叫做无效数字。 四、四、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？加法
6、与减法、乘法与除法是否互为逆运算？ “加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅，这其实 是一种误解。例如： 加法“” ，其逆算为“” ， “” 。 故此，加法的逆运算只有减法； 减法“” ，其逆算有 “” ， “” 。 故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。 综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。 同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。 五、五、为什么不写“倍”？为什么不写“倍”？ 在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多小朋友会自然提出这样的疑问，如： “饲养小组养了 12 只小鸡，3 只小鸭，小鸡
7、的只数是小鸭的几倍？”为什么“1234”的后面 不写“倍”呢？ 我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识） 。但同时又该对学生说明：在解 答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称 如：12 只的“只” ；8 克的“克” 。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的 多少、大小、长短、轻重等等。但是， “倍”不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例 如，上面的计算结果“4” ，表示 12 里面有 4 个 3，就是 12 只小鸡是 3 只小鸭的 4 倍。 所以，在算式里不写“倍” ，以免“倍”与单位名称发生混淆。 六、六、 “倍”和“倍数”的区别“倍”和“倍数”的区
8、别 在第一学段我们学习了 “倍的初步认识” ， 认识了概念 “倍” ， 而在第二学段,我们又学习到 “倍 数”这个概念。那么， “倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别 呢？ “倍”指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有 10 人，女生有 30 人， 因为“103=30”或者“3010=3” ，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的 3 倍，也可 以说，男生人数（10）的 3 倍等于女生人数（30） 。勿宁说， “倍”其实表示的是两个数的商（这 个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式） 。 “倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的
9、基础上。例如，30 能被 6 整除，30 就是 6 的倍数。可见， “倍数”是不能独立存在的（具有特定的指向性） ，而且对数的形式有特别 的要求（必须为整数） 。 同时我们又看到，30 也是 6 的 5 倍，因为 6530， “65”表示 6 的 5 倍。所以从这个角 度来说， “倍”的涵义应宽泛于“倍数” ，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。 七、七、 “时”和“小时”有什么不同？“时”和“小时”有什么不同？ 怎样使用“时”和“小时”？怎样使用“时”和“小时”？ 首先应该明确的是， 小时并非国际时间单位。在 1984 年国务院发布的关于我国统一法 定计量单位的命令中，把秒作为时间的基本
10、单位，把非国际单位制的时间单位天（日） 、 小 时、分作为辅助单位。 （注： 里的字，在不致混淆的情况下，可以省略） 。 这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日） 、 小时、分、秒。 由此， “时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念 容易产生混淆，在实际应用时间单位“时”时，现行教材作了如下处理： 3 7.1 当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位“时” 。例如：超市营业时 间：21-9=12（时） 。 （此处可省略“小”字） 7.2 在用语言表述时间的长短时， 为避免 “时间” 和 “时刻” 这两个概念产生混淆， 则在 “时” 的
11、前面加上一个“小”字。例如：超市营业时间 12 小时。 7.3 在用语言表示时刻时，一律不得出现“小时”字样。例如：公园每天早上 7 时 30 分开 园（而非 7 小时 30 分） 。 八、八、 “改写”和“省略”是一样的吗？“改写”和“省略”是一样的吗？ 从形式上看，此例将“改写”与“省略”两种对数的变化置于了同一个要求之下（即改写成 用“亿”作单位的数） 。我们真希望编者不是有意而为之，因为“改写”与“省略”其本质是完全 不同的。表现在： 8.1 目的不同 “改写”的目的是方便对大数的读写，而“省略”则是取数的近似值。 8.2 方法不同 此处的“改写”是去掉“亿”位后面的 0，再写上一个“
12、亿”字，而“省略”除了要找准“亿” 位，还要考虑被省略的尾数的最高位是几，然后用四舍五入法求出近似数。 8.3 符号不同 “改写”只改变了数的表现形式，大小并未改变，所以用“=”号连接；而“省略”既改变了 数的形式，又改变的数的大小，所以用“”连接。 九、九、 “路程”就是“距离”吗？“路程”就是“距离”吗？ 这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。 “路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而“距离”则指连接两个地点而 成的直线段的长度。 “路程”所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是折形线。 一般情况下，两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离” ，
13、只有当两个地点之间的路 线为直线时，路程和距离才相等。 虽然老师们都知道这个等式是成立的,但我们的学生却没有相应的知识储备,怎样绕开” 极限” 寻找能为小学生所理解和接受的证明途径。 十、十、最大的分数单位是最大的分数单位是 1/1/2 2 还是还是 1/11/1？ 先看看分数单位的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。 显然，在分数意义中，关键是“分” ，没有“分” ，就没有“份” 。 因为把单位“1”平均分成的最少份数是 2 份（如果是 1 份，也就无所谓“分” ） ，由此得到的 分数单位是 1/2，所以 1/2 是最大的分数单位。 尽管就广义的分数来说，1/1 也可视作分数
14、，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立 的那种分数（在平均分的基础上所产生） ，故此，最大的分数单位应以 1/2 为宜。 十一、十一、像像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2 这样的数是不是分数这样的数是不是分数? ? 分数的定义明确告诉我们:把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数,叫分数。 其中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。 由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分 数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。 进而，在考查学生对“分数”涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些变
15、异 形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如“分数都大于 0”等命题的真与假陷入尴尬。 4 十二、十二、比比 6 6 多多 1/21/2 的数应该是“的数应该是“6+1/26+1/2” 还是“还是“6+6+（1+1/21+1/2） ”） ” 要弄清这个问题，先得弄清“6”的性质。显然，此处的“6”其实质是一个“数” ，而非一个 “量” ，求“比 6 多 1/2 的数”应属于“求比一个数多几的数”的范畴，问题中的“多几”都是确 定的具体数，这里的“几”既可以是整数，也可以是小数或分数。所以，这里的“1/2”是指在 6 的基础上“多 1/2”这个“1/2”数的本身，
16、而非“6 的 1/2” 。 所以， “比 6 多 1/2 的数”应该是“6+1/2” 。 当然，如果题目确定为“比 6 多它的 1/2 的数” ，那答案则属于后者。 十三、十三、计算出勤率可不可以不乘计算出勤率可不可以不乘 100%100%？ 先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。 同一课程标准下，不同的教材给出了不同的理解，这给执教者带来了困惑：到底可不可以不 乘 100%呢？笔者以为，求“率”其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数 占应出勤人数的百分之几。 如果公式只写成：出勤率=实际出勤人数应出勤人数，我们说这只是分数形式（也即是求实 际出勤
17、人数占应出勤人数的“几分之几” ） ，并不是百分数。 因此，在公式后面乘上“” ，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百 分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率的公式中，都应乘“” 。 同时建议各版本教材的编委统一思想，以免给一线教师造成认识上的混乱。 十四、十四、小于度的角都是锐角吗？小于度的角都是锐角吗？ 根据课标教材定义：小于度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的 问题：度的角是什么角，也是锐角吗？ 事实是，锐角定义有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯上，我们 把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按顺时针方向旋转而得到
18、的角叫做负角，当 一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为 正角、负角、和零角。 由此，严格意义上的锐角定义应是：大于度而小于度的角叫做锐角。 十五、十五、足球比赛记分牌上的“”足球比赛记分牌上的“” 是数学中的“比”吗？是数学中的“比”吗？ 我们至少可以从两个方面来理解它们的差别。 第一，球类比赛中的“”表示的是比赛双方的得分情况，是“差”比，即表示相差关 系， 一方得分， 另一方得分， 双方相差分； 数学中的 “” 表示的是 “” ， 是 “倍” 比，商为.5。有鉴于此，球类比赛中的“比” （其实是比分） ，其后数可以为的，而数学中的 “比” ，其后数（相当于除数）是不可以为的。 第二，数学中的“比”是可以化简的，如“” ；同样的“”放在球类比 赛中，却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。
