1、第一章 三角形的证明1等腰三角形第1课时【知识再现知识再现】1 1.证明一个命题的一般步骤证明一个命题的一般步骤:(1)(1)弄清题设和结论弄清题设和结论;(2);(2)根据题意画根据题意画出相应的出相应的_;_;(3)(3)根据题设和结论写出根据题设和结论写出_和和_;(4);(4)分分析证明思路析证明思路,写出证明过程写出证明过程.图形图形已知已知求证求证2 2.等腰三角形的定义等腰三角形的定义:有两条边相等的三角有两条边相等的三角形叫做形叫做_._.相等的相等的两边叫做两边叫做_,另一边叫做另一边叫做_,两腰所夹的两腰所夹的角叫做角叫做_,底边与腰的夹角叫底边与腰的夹角叫_._.等腰三角
2、形等腰三角形腰腰底边底边顶角顶角底角底角【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P2-3P2-3的内容的内容,回答下列问题回答下列问题:全等三角形的性质与判定定理全等三角形的性质与判定定理:1.1.全等三角形的性质全等三角形的性质:全等三角形全等三角形的对应边的对应边_、对应角对应角_._.相等相等相等相等2 2.全等三角形的判定全等三角形的判定:(1)(1)_对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等(SAS)(SAS).(2)(2)_对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等(ASA)(ASA).(3)(3)_对应相等的对应相等的两个三角形全等两个三角形全等(SSS)(SSS).两
3、边及其夹角两边及其夹角两角及其夹边两角及其夹边三边三边(4)(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等三角形全等(AAS)(AAS).3.3.等腰三角形性质等腰三角形性质:性质性质1:1:等等腰三角形的两底角腰三角形的两底角_(简写成简写成“等边等边对对_”);”);性质性质2:2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线边上的高线_._.(简写成简写成“_”)_”)相等相等等角等角互相重合互相重合三线合一三线合一【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!
4、1.(20191.(2019怀化中考怀化中考)若等腰三角形的一个底角为若等腰三角形的一个底角为7272,则这个等腰三角则这个等腰三角形的顶角为形的顶角为_._.2.(20192.(2019兰州中考兰州中考)在在ABCABC中中,AB=AC,A=40,AB=AC,A=40,则则B=_B=_.363670703.3.如图如图,A=D,OA=OD,DOC=50,A=D,OA=OD,DOC=50,则则DBC=_DBC=_度度.25254.4.如图所示如图所示,F,C,F,C在线段在线段BEBE上上,且且1=2,BC=EF.1=2,BC=EF.若要根若要根据据“SAS”SAS”使使ABCABCDEF,D
5、EF,还需要补充的条件是还需要补充的条件是_._.AC=DFAC=DF知识点一知识点一 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定(P3(P3引例证明的拓展引例证明的拓展)【典例典例1 1】如图如图,点点D,ED,E分别在线段分别在线段AB,ACAB,AC上上,CD,CD与与BEBE相交相交于于O O点点,已知已知AB=AC,AB=AC,现添加以下哪个条现添加以下哪个条件仍不能判定件仍不能判定ABEABEACDACD()D DA.B=CA.B=CB.AD=AEB.AD=AEC.BD=CEC.BD=CED.BE=CDD.BE=CD【学霸提醒学霸提醒】判定两个三角形全等的一般方法有判定两个三角形
6、全等的一般方法有:SSS,SAS,ASA,AAS:SSS,SAS,ASA,AAS.注意注意:AAA,SSA:AAA,SSA不能判定两个三角形全等不能判定两个三角形全等,判定两个三角判定两个三角形全等时形全等时,必须有边的参与必须有边的参与,若有两边一角对应相等时若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角角必须是两边的夹角.【题组训练题组训练】1.1.如图如图,已知已知AD=BC,1=2,AD=BC,1=2,则下列说法正确的是则下列说法正确的是()A.BD=ACA.BD=ACB.D=CB.D=CC.DAB=CBAC.DAB=CBAD.D.以上说法都不对以上说法都不对D D2.2.如图如图,在在A
7、BCABC中中,ADBC,ADBC于点于点D,BEACD,BEAC于点于点E,ADE,AD与与BEBE相交于点相交于点F,F,若若BF=AC,CAD=25BF=AC,CAD=25,则则ABEABE的度数为的度数为()A.30A.30B.15B.15C.25C.25D.20D.20D D3.3.如图如图,已知已知CBAD,AECD,CBAD,AECD,垂足分别为点垂足分别为点B,E,B,E,AE,BCAE,BC相交于点相交于点F,AB=BC.F,AB=BC.若若AB=8,CF=2,AB=8,CF=2,则则CD=_.CD=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号10104.(20194.(2019九江二模
8、九江二模)如图如图,点点E E在在ABAB上上,CEB=B,CEB=B,1=2=3,1=2=3,求证求证:CD=CA.:CD=CA.证明证明:1=2,1=2,1+ACE=2+ACE,1+ACE=2+ACE,即即DCE=ACB,DCE=ACB,CEB=B,CE=CB,CEB=B,CE=CB,2=3,DEC=B,2=3,DEC=B,在在DCEDCE与与ACBACB中中,DCEDCEACB(ASA),CD=CA.ACB(ASA),CD=CA.DCEACBCECBDECB ，知识点二知识点二 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 (P3(P3随堂练习随堂练习T1T1拓展拓展)【典例典例2 2】如图如图,在
9、在ABCABC中中,AB=AD=DC,B=70,AB=AD=DC,B=70,则则C=_.C=_.3535【学霸提醒学霸提醒】1 1.等边对等角只限于同一三角形中等边对等角只限于同一三角形中,若两个三角形有相若两个三角形有相等的边等的边,则它们所对的角不一定相等则它们所对的角不一定相等.2 2.“三线合一三线合一”是证明角、线段相等或线段垂直的重是证明角、线段相等或线段垂直的重要定理要定理,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三者中只要满足其中一个底边上的高三者中只要满足其中一个,就可以得到另外就可以得到另外两个两个.【题组训练题组训练】1
10、1.(易错警示题易错警示题)如果等腰三角形的一个角是如果等腰三角形的一个角是8080,那么那么它的底角是它的底角是()A.80A.80或或5050B.50B.50或或2020C.80C.80或或2020D.50D.50A A2.(20192.(2019四平铁东区模拟四平铁东区模拟)如图如图,在在ABCABC中中,点点D D是是BCBC边上一点边上一点,AD=AC,AD=AC,过点过点D D作作DEBCDEBC交交ABAB于于E,E,若若ADEADE是是等腰三角形等腰三角形,则下列判断中正确的是则下列判断中正确的是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号B BA.B=CADA.B=CADB.BED=CA
11、DB.BED=CADC.ADB=AEDC.ADB=AEDD.BED=ADCD.BED=ADC3.(20193.(2019重庆沙坪坝区重庆沙坪坝区)如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于点于点D,AEDCD,AEDC交交BCBC的延长线于点的延长线于点E,E,已已知知E=38E=38,求求BACBAC的度数的度数.解解:CDCD平分平分ACB,ACB,BCD=ACB,BCD=ACB,AEDC,AEDC,BCD=E=38BCD=E=38,ACB=2ACB=23838=76=76,12AB=AC,AB=AC,B=ACB=76B=ACB=76
12、,BAC=180BAC=180-B-ACB=28-B-ACB=28.【火眼金睛火眼金睛】如图如图,ABCABC中中,AB=AC,BDAC,ABC=68,AB=AC,BDAC,ABC=68,求求ABDABD的的度数度数.正解正解:在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,C=ABC=68C=ABC=68,A=180A=180-C-ABC=44-C-ABC=44.BDAC,BDAC,ABD=90ABD=90-44-44=46=46.【一题多变一题多变】已知等腰三角形的两边长分别为已知等腰三角形的两边长分别为x x和和y y,且且x x和和y y满足满足|x x-3|+(-3|+(y y-1)-
13、1)2 2=0,=0,则这个等腰三角形的周长为则这个等腰三角形的周长为_._.7 7【母题变式母题变式】(变换条件变换条件)已知等腰三角形的两条边长为已知等腰三角形的两条边长为2 cm2 cm和和3 cm,3 cm,则这个三则这个三角形的周长为角形的周长为_._.7 cm7 cm或或8 cm8 cm1等腰三角形第2课时【知识再现知识再现】1 1.三角形的高三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作从三角形的一个顶点向它的对边作_,顶点和垂足间的顶点和垂足间的_叫做三角形的叫做三角形的高高.2 2.三角形的中线三角形的中线:在三角形中在三角形中,连接一个顶点和它对边连接一个顶点和它对边中点的中点
14、的_叫做三角形的中线叫做三角形的中线.垂线垂线线段线段线段线段3 3.三角形的角平分线三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交角的对边相交,连接这个角的顶点连接这个角的顶点与交点的与交点的_叫做三角形的角平分线叫做三角形的角平分线.4 4.等边三角形的定义等边三角形的定义:_都相等的三角形叫都相等的三角形叫做等边三角形做等边三角形.线段线段三条边三条边【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P5P5的内容的内容,回答下回答下列问题列问题:探究探究:等腰三角形两底角的平分线有何关等腰三角形两底角的平分线有何关系系?你能画一个等腰三角形并作出它的你能画一个
15、等腰三角形并作出它的两底角的平分线吗两底角的平分线吗?通过观察、测量通过观察、测量,可猜想可猜想:等腰三角形两底角的平分线等腰三角形两底角的平分线_._.你能尝试证明你猜想的结论吗你能尝试证明你猜想的结论吗?已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BD,AB=AC,BD和和CECE是是ABCABC的角平分线的角平分线.求证求证:BD=CE.:BD=CE.相等相等证明证明:AB=AC,_=_.AB=AC,_=_.BD,CEBD,CE为为ABC,ACBABC,ACB的平分线的平分线,3=1=_,2=4=_.3=1=_,2=4=_.3=4.3=4.ABCABCACBACB1212ABC
16、ABCACBACB在在ABDABD和和ACEACE中中,3=,3=4,AB=AC,4,AB=AC,_.ABDABDACE(ACE(_).BD=CE().BD=CE(_).).A=AA=AASAASA全等三角形全等三角形的对应边相等的对应边相等归纳归纳:等腰三角形重要线段的结论等腰三角形重要线段的结论:等腰三角形两个底角的等腰三角形两个底角的平分线平分线_;等腰三角形腰上的高等腰三角形腰上的高_;等腰三角形腰上的中线等腰三角形腰上的中线_._.相等相等相等相等相等相等等边三角形的性质等边三角形的性质:1 1.等边三角形三边等边三角形三边_._.2 2.等边三角形的三个内角都等边三角形的三个内角都
17、_并且每个角都并且每个角都等于等于_._.相等相等相等相等6060【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1 1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100100,则顶角的度数为则顶角的度数为()A.50A.50B.80B.80C.100C.100D.130D.130B B2.2.如图如图,在在ABCABC中中,CA=CB,ADBC,BEAC,AB=5,AD=4,CA=CB,ADBC,BEAC,AB=5,AD=4,则则AE=_.AE=_.3 33.3.如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,中线中线BD,
18、CEBD,CE相交于点相交于点O.O.求求证证:OB=OC.:OB=OC.证明证明:BD,CEBD,CE是是ABCABC的两条中线的两条中线,CD=AC,BE=AB,CD=AC,BE=AB,AB=AC,CD=BE,EBC=DCB.AB=AC,CD=BE,EBC=DCB.在在EBCEBC和和DCBDCB中中,BE=CD,EBC=DCB,BE=CD,EBC=DCB,1212BC=CB,BC=CB,EBCEBCDCB(SAS),DCB(SAS),ECB=DBC,ECB=DBC,OB=OC.OB=OC.知识点一知识点一 等腰三角形中相关线段的性质等腰三角形中相关线段的性质(教材教材P5P5例例1 1拓
19、展拓展)【典例典例1 1】如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,CDAB,AB=AC,CDAB于点于点D,D,BEACBEAC于点于点E,E,求证求证:DEBC.:DEBC.【规范解答规范解答】AB=AC,AB=AC,ABC=ACB.ABC=ACB.等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等又又CDABCDAB于点于点D,BEACD,BEAC于点于点E,E,AEB=ADC=90AEB=ADC=90,垂直的定义垂直的定义ABE=ACD,ABE=ACD,同角的余角相等同角的余角相等ABC-ABE=ACB-ACD,ABC-ABE=ACB-ACD,等式性质等式性质EBC=DCB.EBC=DCB.在
20、在BECBEC与与CDBCDB中中,BECCDBEBCDCBBCCB ，BECBECCDB,CDB,有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等BD=CE,BD=CE,全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等AB-BD=AC-CE,AB-BD=AC-CE,即即AD=AE,AD=AE,等式性质等式性质ADE=AED.ADE=AED.等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等又又A A是是ADEADE和和ABCABC的顶角的顶角,ADE=ABC,ADE=ABC,顶角相等的两个等腰三角形底角也相等顶角相等的两个等腰三角形底角也相等DEBC.DEBC.
21、同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行【题组训练题组训练】1.(20191.(2019丹江口模拟丹江口模拟)如图如图,已知已知AD,BEAD,BE分别是分别是ABCABC的中线和高的中线和高,且且AB=AC,AB=AC,EBC=20EBC=20,则则BADBAD的度数为的度数为()A.18A.18B.20B.20C.22.5C.22.5D.25D.25B B2 2.下列说法下列说法:世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;(2)(2)等腰三角形的两腰上的中线长相等等腰三角形的两腰上的中线长相等;(3)(3)等腰三
22、角形的腰一定大于其腰上的高等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;(4)(4)等腰三角形的一边长为等腰三角形的一边长为8,8,一边长为一边长为16,16,那么它的周那么它的周长是长是3232或或4040.其中不正确的个数是其中不正确的个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4C C3.3.如图如图,AB=AC,BD=DC,DFAB,DEAC,AB=AC,BD=DC,DFAB,DEAC,垂足分别是垂足分别是F,E.F,E.求证求证:DE=DF.:DE=DF.证明证明:AB=AC,B=C,AB=AC,B=C,DFAB,DEAC,DFAB,DEAC,BFD=CED=90BFD=CED=90
23、,BD=DC,BD=DC,BDFBDFCDE,CDE,DE=DF.DE=DF.【我要做学霸我要做学霸】等腰三角形重要线段的结论等腰三角形重要线段的结论等腰三角形两底角的平等腰三角形两底角的平分线分线_,两腰上的中线两腰上的中线_,两腰上的高两腰上的高_._.相等相等相等相等相等相等知识点二知识点二 等边三角形的性质等边三角形的性质(P7(P7随堂练习随堂练习T2T2拓展拓展)【典例典例2 2】如图如图,在等边在等边ABCABC中中,点点D,ED,E分别在边分别在边BC,ACBC,AC上上,且且AE=CD,BEAE=CD,BE与与ADAD相交于点相交于点P,BQADP,BQAD于点于点Q.Q.(
24、1)(1)求证求证:ABEABECAD.CAD.(2)(2)求求PBQPBQ的度数的度数.【尝试解答尝试解答】(1)(1)ABCABC为等边三角形为等边三角形.AB=AC,BACAB=AC,BAC=ACB=ACB=_,等边三角形的性质等边三角形的性质在在BAEBAE和和ACDACD中中,BAEBAEACD.ACD.全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法6060AECDBACACBABAC，(2)(2)BAEBAEACD,ACD,ABE=CAD,ABE=CAD,全等三角形的性质全等三角形的性质BPQBPQ为为_的外角的外角,BPQ=BPQ=_+_,外角的性质外角的性质BPQ=CAD+BAD=B
25、AC=60BPQ=CAD+BAD=BAC=60.等量代换等量代换ABPABPABEABEBADBADBQAD,BQAD,PBQ=PBQ=_.直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余3030【学霸提醒学霸提醒】等边三角形的每一个内角都等于等边三角形的每一个内角都等于6060;等腰三角形的两等腰三角形的两个底角相等个底角相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和内角的和.在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数,与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的.【题组训练题组
26、训练】1.1.如图如图,ABCABC是等边三角形是等边三角形,AD,AD是角平分线是角平分线,ADEADE是等是等边三角形边三角形,AB,ED,AB,ED相交相交于点于点F,F,下列结论下列结论:ADBC;ADBC;EF=FD;EF=FD;BE=BD.BE=BD.其中正确的有其中正确的有_.(_.(填序填序号号)2.2.如图如图,ABCABC是等边三角形是等边三角形,E,E是是ACAC上一点上一点,D,D是是BCBC延延长线上一点长线上一点,连接连接BE,DE.BE,DE.若若ABE=40ABE=40,BE=DE,BE=DE,求求CEDCED的度数的度数.解解:ABCABC是等边三角形是等边三
27、角形,ABC=ACB=60ABC=ACB=60,ABE=40,ABE=40,EBC=ABC-ABE=60EBC=ABC-ABE=60-40-40=20=20.BE=DE,D=EBC=20BE=DE,D=EBC=20,CED=ACB-D=40CED=ACB-D=40.3.3.如图如图,ABCABC是等边三角形是等边三角形,D,D是是ABAB边上一点边上一点,以以CDCD为为边作等边边作等边CDE,CDE,使点使点E,AE,A在直线在直线DCDC的同侧的同侧,连接连接AE,AE,判断判断AEAE与与BCBC的位置关系的位置关系,并说明理由并说明理由.世纪金榜导学号世纪金榜导学号解解:AEBC,AE
28、BC,理由如下理由如下:ABCABC和和DECDEC是等边三角形是等边三角形,BC=AC,CD=CE,BCA=ECD=60BC=AC,CD=CE,BCA=ECD=60,B=60B=60,BCA-DCA=ECD-DCA,BCA-DCA=ECD-DCA,即即BCD=ACE,BCD=ACE,在在ACEACE和和BCDBCD中中,ACEACEBCD(SAS),BCD(SAS),EAC=B=60EAC=B=60,ACB=60ACB=60,EAC=ACB,EAC=ACB,AEBC.AEBC.ACBCACEBCDCECD，【火眼金睛火眼金睛】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为等腰三角形一腰上的高与另一腰的
29、夹角为3030,试求顶试求顶角的度数角的度数.正解正解:当高在内部时当高在内部时,顶角为顶角为9090-30-30=60=60;当高在外部时当高在外部时,得到顶角的外角得到顶角的外角为为9090-30-30=60=60,则顶角为则顶角为120120.则该等腰三角形顶角的度数是则该等腰三角形顶角的度数是6060或或120120.【一题多变一题多变】如图如图1,1,在等腰在等腰ABCABC中中.AB=AC=a,.AB=AC=a,面积是面积是S,S,点点P P在在BCBC上移动上移动,过点过点P P作作PDABPDAB于点于点D,PED,PEACAC于点于点E,E,那么点那么点P P到两腰的距离和到
30、两腰的距离和PD+PEPD+PE等于什么等于什么?证证明你的结论明你的结论.解解:PD+PE=,PD+PE=,证明如下证明如下:连接连接AP,AP,SSABCABC=S=SABPABP+S+SCAPCAP,SSABCABC=,=,AB=AC=a,SAB=AC=a,SABCABC=S,=S,S=,PD+PE=.S=,PD+PE=.2SaAB DPAC PE22aPDPE2（）2Sa【母题变式母题变式】【变式一变式一】(变换条件变换条件)如图如图2,2,在等边在等边ABCABC中中,边长是边长是a,a,面积是面积是S,S,点点P P是是ABCABC内部一点内部一点,P,P到三边的距离之和到三边的距
31、离之和PD+PE+PFPD+PE+PF又等于什么又等于什么?证明你的结论证明你的结论.解解:PD+PE+PF=.PD+PE+PF=.证明如下证明如下:连接连接AP,BP,CP,AP,BP,CP,SSABCABC=S=SABPABP+S+SCAPCAP+S+SCBPCBP,SSABCABC=2SaAB PEAC PD22BC PF2，AB=AC=BC=a,SAB=AC=BC=a,SABCABC=S,=S,S=,PD+PE+PF=.S=,PD+PE+PF=.aPEPDPF2（）2Sa【变式二变式二】(变换条件和问法变换条件和问法)如图如图3,3,点点P P是等边是等边ABCABC内部一点内部一点,
32、作作PDAB,PEPDAB,PEBC,PFAC,BC,PFAC,垂足分别为垂足分别为D,E,F,D,E,F,若若PD=1,PD=1,PE=2,PF=4.PE=2,PF=4.求求ABCABC的边长的边长.略略1等腰三角形第3课时【知识再现知识再现】1 1.等腰等腰三角形定义三角形定义:两条边两条边_的三角的三角形叫等腰形叫等腰三角形三角形.相等相等2 2.等腰三角形性质等腰三角形性质:性质性质1:1:等腰三角形的等腰三角形的两个两个_相等相等;(;(简写成简写成“等等边对边对_”)”)性质性质2:2:等腰三角形的等腰三角形的_、_、底边上的高互相重合、底边上的高互相重合.(简写成简写成“三线合三
33、线合一一”)底角底角等角等角顶角平分线顶角平分线底边上的底边上的中线中线【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P8-9P8-9的内容的内容,回答下列问题回答下列问题:1.1.探究探究:等腰三角形判定方法等腰三角形判定方法(1)(1)用直尺和量角器或三角板画用直尺和量角器或三角板画ABC,ABC,使使B=C=30B=C=30,再用刻度尺量一量线段再用刻度尺量一量线段AB,ACAB,AC的长或者通过折叠你画的的长或者通过折叠你画的ABC,ABC,观察线段观察线段AB,ACAB,AC的长的长.得得出结论出结论:AB=_.:AB=_.ACAC(2)(2)如果如果B=C=60B=C=60或其他锐角度数或其
34、他锐角度数,重复上面的操重复上面的操作过程作过程,结论仍然成立结论仍然成立.发现的规律发现的规律:等腰三角形的判定等腰三角形的判定:_:_的三角形是等腰三的三角形是等腰三角形角形(定义定义).).如果一个三角形有两个角相等如果一个三角形有两个角相等,那么那么_也相等也相等.两边相等两边相等这两个角所对这两个角所对的边的边(3)(3)等腰等腰三角形的判定定理三角形的判定定理:_:_的三角的三角形是等腰三角形形是等腰三角形.2.2.反证法的一般步骤是反证法的一般步骤是:假设命题的结论假设命题的结论_;_;从这个假设出发从这个假设出发,经过推理论证经过推理论证,得出得出_;_;由矛盾判定假设由矛盾判
35、定假设_,_,从而肯定原命题的结从而肯定原命题的结论论_._.有两个角相等有两个角相等不成不成立立矛盾矛盾不正确不正确正确正确【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧请自我检测一下预习的效果吧!1.1.如图所示如图所示,已知已知OCOC平分平分AOB,CDOB,AOB,CDOB,若若OD=4 cm,OD=4 cm,则则CDCD等于等于()A.3 cmA.3 cmB.4 cmB.4 cmC.1.5 cmC.1.5 cmD.2 cmD.2 cmB B2.2.如图如图,在在ABCABC中中,D,E,D,E分别是分别是AC,ABAC,AB上的点上的点,BDBD与与CECE相交于点相交于点O,O,
36、给出四个条件给出四个条件:OB=OC;OB=OC;EBO=DCO;EBO=DCO;BEO=CDO;BEO=CDO;BE=CD.BE=CD.上述四个条上述四个条件中件中,选择两个可以判定选择两个可以判定ABCABC是等腰三角形的方法有是等腰三角形的方法有()A.2A.2种种B.3B.3种种C.4C.4种种D.6D.6种种C C知识点一知识点一 等腰三角形的判定等腰三角形的判定(P8(P8例例2 2拓展拓展)【典例典例1 1】如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,点点E E在在CACA的延长线的延长线上上,EPBC,EPBC,垂足为垂足为P,EPP,EP交交ABAB于点于点F,F
37、DACF,FDAC交交BCBC于点于点D.D.求证求证:AEFAEF是等腰三角形是等腰三角形.【尝试解答尝试解答】FDAC,FDAC,PFD=_,FDB=_,PFD=_,FDB=_,两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等AB=AC,_=_,AB=AC,_=_,等边对等边对等角等角E EC CB BC CFDB=B FDB=B 等量代换等量代换FB=FD,FB=FD,等角对等边等角对等边FB=FD,EPBC,FB=FD,EPBC,PFB=_,PFB=_,等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一PFDPFDPFB=AFE,PFD=AFE,PFB=AFE,PFD=AFE,等量代换等量代换PFD=E,
38、E=AFE,PFD=E,E=AFE,等量代换等量代换_=_=_,等角对等边等角对等边即即AEFAEF是等腰三角形是等腰三角形.等腰三角形定义等腰三角形定义AEAEAFAF【学霸提醒学霸提醒】牢记证明等腰三角形的方法牢记证明等腰三角形的方法1 1.证明等腰三角形的方法是求证两边相等或者两角相证明等腰三角形的方法是求证两边相等或者两角相等的三角形是等腰三角形等的三角形是等腰三角形.2 2.角平分线角平分线+平行线平行线=等腰三角形等腰三角形.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019上海市奉贤区二模上海市奉贤区二模)如图如图,已知已知ABC,ABC,点点D,ED,E分别在边分别在边AC,AB
39、AC,AB上上,ABD=ACE,ABD=ACE,下列条件下列条件中中,不能判定不能判定ABCABC是等腰三角形的是是等腰三角形的是()A.AE=ADA.AE=ADB.BD=CEB.BD=CEC.ECB=DBCC.ECB=DBCD.BEC=CDBD.BEC=CDBD D2.2.如图如图,在在ABCABC和和DCBDCB中中,A=D=72,A=D=72,ACB=,ACB=DBC=36DBC=36,则图中等腰三角形的个数是则图中等腰三角形的个数是()A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5D D3.3.如图如图,AD,AD平分平分BAC,ADBD,BAC,ADBD,垂足为点垂足为点D,DEA
40、C.D,DEAC.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证求证:BDEBDE是等腰三角形是等腰三角形.证明证明:DEAC,1=3,DEAC,1=3,ADAD平分平分BAC,1=2,BAC,1=2,2=3,ADBD,2+B=902=3,ADBD,2+B=90,3+BDE=,3+BDE=9090,B=BDE,B=BDE,BDEBDE是等腰三角形是等腰三角形.知识点二知识点二 反证法反证法(P9(P9例例3 3拓展拓展)【典例典例2 2】用反证用反证法证明法证明:两条两条直线被第三条直线所截直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补如果同旁内角互补,那么这两条直线平行那么这两条直线平行.【规范解答规范解答】已知
41、已知:如图如图,直线直线l1 1,l2 2被被l3 3所所截截,1+2=180,1+2=180.求证求证:l1 1l2 2.证明证明:假设假设l1 1不平行于不平行于l2 2,即即l1 1与与l2 2相交于一点相交于一点P.P.同一平面内两直线的位置关系同一平面内两直线的位置关系则则1+2+1+2+P P=180=180.三角形内角和定理三角形内角和定理所以所以1+21801+2 b b”时时,应假设应假设()A.A.a a b bB.B.a ab bC.C.a ab bD.D.a ab bB B2 2.用反证法证明命题用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一四边形的四个内角中至少有一个角
42、大于等于个角大于等于9090”,”,我们应该假设我们应该假设()A.A.四个角都小于四个角都小于9090B.B.最多有一个角大于或等于最多有一个角大于或等于9090C.C.有两个角小于有两个角小于9090D.D.四个角都大于或等于四个角都大于或等于9090A A3 3.(用反证法证明用反证法证明)已知直线已知直线a ac c,b bc c,求证求证:a ab.b.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 略略【火眼金睛火眼金睛】已知已知:ABCABC,求证求证:A A,B B,C C中至少有一个角大于或中至少有一个角大于或等于等于6060.正解正解:假设假设ABCABC中每个内角都小于中每个内角都小于60
43、60,则则A+B+C180A+B+Cb,ab,则则acac2 2bcbc2 2;全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等;直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是其中原命题与逆命题均为真命题的是()B BA.A.B.B.C.C.D.D.3 3.(2019(2019北京延庆区期末北京延庆区期末)直角三角形中直角三角形中,一个锐角等一个锐角等于另一个锐角的于另一个锐角的2 2倍倍,则较小的锐角是则较小的锐角是_._.3030知识点一知识点一 直角三角形的性质直角三角形的性质【典例典例1 1】已知等腰三角形已知等腰三角形ABCABC的底边的底边BC=20 cm,DB
44、C=20 cm,D是腰是腰ABAB上一点上一点,且且CD=16 cm,BD=12 cm.CD=16 cm,BD=12 cm.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求证求证:CDCDAB.AB.(2)(2)求该三角形的腰的长度求该三角形的腰的长度.【规范解答规范解答】(1)BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,(1)BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,BDBD2 2+CD+CD2 2=12=122 2+16+162 2=400,BC=400,BC2 2=400,=400,数的运算数的运算BDBD2 2+CD+CD2 2=BC=BC2 2,等量代换等量代换BDC
45、=90BDC=90,勾股定理逆定理勾股定理逆定理即即CDAB.CDAB.垂直定义垂直定义(2)(2)设腰长为设腰长为x cm,x cm,则则AD=x-12,AD=x-12,由勾股定理得由勾股定理得ADAD2 2+CD+CD2 2=AC=AC2 2,即即:(x-12):(x-12)2 2+16+162 2=x=x2 2,列方程列方程解得解得x=,x=,方程的解法方程的解法腰长为腰长为 cm.cm.503503【学霸提醒学霸提醒】直角三角形的性质直角三角形的性质(1)(1)在求角度时在求角度时,用到直角三角形两锐角互余用到直角三角形两锐角互余,有时利用有时利用角平分线或者折叠转化角度角平分线或者折
46、叠转化角度.(2)(2)利用勾股定理利用勾股定理,可以已知任意两边求第三边可以已知任意两边求第三边,利用面利用面积相等可以求出斜边上的高积相等可以求出斜边上的高;有时结合方程思想解决问有时结合方程思想解决问题题.【题组训练题组训练】1 1.在一个直角三角形中在一个直角三角形中,有一个锐角等于有一个锐角等于3535,则另一则另一个锐角的度数是个锐角的度数是()A.75A.75B.65B.65C.55C.55D.45D.45C C2 2.(2019(2019惠州惠城区期末惠州惠城区期末)如图如图,正方形面积是正方形面积是()A.16A.16B.8B.8C.4C.4D.2D.2B B3.(20193
47、.(2019武汉东西湖区期末武汉东西湖区期末)在正方形在正方形ABCDABCD中中,E,E是是CDCD上的点上的点.若若BE=30,CE=10,BE=30,CE=10,求正方形求正方形ABCDABCD的面积和对角的面积和对角线长线长.解解:连接连接BD.BD.四边形四边形ABCDABCD为正方形为正方形,A A=C C=90=90.在在RtRtBCEBCE中中,由勾股定理得由勾股定理得:BCBC2 2=BE=BE2 2-CE-CE2 2=30=302 2-10-102 2=800.=800.在在RtRtBCDBCD中中,由勾股定理得由勾股定理得:BD:BD2 2=BC=BC2 2+CD+CD2
48、 2=800+800=800+800=1 600,1 600,BD=40,BD=40,SS正方形正方形ABCDABCD=BC=BC2 2=800.=800.4.4.如图如图,直角三角形直角三角形ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AC=12 cm,AC=12 cm,BC=5 cm,AB=13 cm,BC=5 cm,AB=13 cm,过点过点C C作作CDABCDAB于点于点D.D.世纪金世纪金榜导学号榜导学号(1)(1)找出图中相等的锐角找出图中相等的锐角,并说明理由并说明理由.(2)(2)求出点求出点A A到直线到直线BCBC的距离以及点的距离以及点C C到直线到直线ABAB的距离
49、的距离.解解:(1)CDAB(1)CDAB(已知已知),),CDA=90CDA=90,A+1=90A+1=90,1+2=901+2=90,A=2(A=2(同角的余角相等同角的余角相等).).同理可得同理可得,1=B.,1=B.(2)(2)点点A A到直线到直线BCBC的距离为的距离为12 cm.12 cm.点点C C到直线到直线ABAB的距离为线段的距离为线段CDCD的长度的长度.S SABCABC=AC=ACBC=ABBC=ABCD.CD.AC=12 cm,BC=5 cm,AB=13 cm,AC=12 cm,BC=5 cm,AB=13 cm,代入上式代入上式,解得解得CD=CD=cm.cm.
50、12126013知识点二知识点二 勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用【典例典例2 2】若若a,b,ca,b,c为为ABCABC的三边长的三边长,且且a,b,ca,b,c满足等式满足等式(a-5)(a-5)2 2+(b-12)+(b-12)2 2+|c-13|=0,+|c-13|=0,求求ABCABC的面积的面积.【规范解答规范解答】(a-5)(a-5)2 2+(b-12)+(b-12)2 2+|c-13|=0,+|c-13|=0,a-5=0,b-12=0,c-13=0,a-5=0,b-12=0,c-13=0,非负数的性质非负数的性质a=5,b=12,c=13,a=5,b=12,c=13,
