1、等差数列的前n项和（二）（一）知识回顾：1.an为等差数列为等差数列 .，an=，更一般的，更一般的，an=，d=.an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+b a、b为常数为常数am+(n-m)dmnaamn 2)(1naan dnnna2)1(1 2.等差数列前n 项和Sn=.说明：说明：an为等差数列为等差数列 ，这是一个，这是一个关于关于 的缺的缺 的的“”Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（a可以是可以是0）知识回顾：（二）（二）将公式（2）：变形可得dnnnaSn2)1(1ndandSn)2(212,2,21dabda令为常数），则有b
2、abnanSn,(2.,(2的形式为常数）可以写成即任何一个等差数列都babnanSnbnanSnann2)1(项和公式为的前如果一个数列反之，（为常数）那它是不是等差数列呢？ba,当 时，是一个常数项为零的二次式.0d当 时，是一个常数列，0dna1naSnnScbnanSnann2)2(项和公式为的前如果一个数列（为常数）那它又是不是等差数列呢？cba,反之，若数列前n项和为Sn=an2+bn（n为自然数，a、b为常数）baanSSannnn2,21时则当baabaSa211且也成立对于即12nbaanan)(2Nnbaanan 等差数列的，公差为是首项为为常数，即数列从而abaaaaan
3、nn221 为等差数列的充要条件是数列为常数）（项和的前综上所述：数列nnnababnanSna,2若Sn=n2+3n+1呢？2,1,11nSSnSannn已知数列 的前n项和 求 nanSna2nSanbn记为:公式三 当d不为0时,此式是关于n的二次式且无常数项.由于*nN,则数列nS的图象是抛物线2()yaxbx xR图象上的一群孤立的点.那么由二次函数的性质,我们来研究一下 nS的最值.有最大值(至于是否在顶点处取得,要看顶点处所对应的横坐标距离它最近的正整数处取得,一般情况下或一,或两个最值),如右图所示:2.当公差d0即a0时,3.当公差d=0即a=0时,nSnS na10a 10
4、a nSxyox=2ba11.当公差d 0即a0,S0,S17170,0,当当n=7时，时，(Sn)min=49a,这个数列的前这个数列的前7项的和最小。项的和最小。例：等差数列例：等差数列an中，首项中，首项a1，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最小？问：这个数列的前几项的和最小？a1 0，即，即a=d 0，21 这几这几处与处与例例2不同。不同。a 0,S3=S11,d 0，即，即a=d，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？，问：这个数列的前几项的和最大？此两处用字母替代此两处用字母替代后，又怎么解呢？后，又怎么解呢？依题意可设依题意可设Sn=an2+bn，例例2的的变式题二
5、变式题二：等差数列：等差数列an的首项的首项a1 0,前前n项项和为和为Sn，当，当ml 时，时，Sm=Sl(其中其中mN+,lN+）,问问:n为何值时，为何值时，Sn最大？最大？解：解：又又Sm=Sl,am2bm=al 2bl,am2al 2+bm bl=0，即，即a(m+l)(m l)+b(m l)=0，(ml)a(m+l)+b=0，由于由于ml,ml 0,a(m+l)+b=0，即即b=a(m+l)，求出求出Sn的函数表达式，利的函数表达式，利用二次函数的性质解题。用二次函数的性质解题。alm4)(2 Sn=an2(m+l)an=a(n )2 。2lm a10,ml,Sm=Sl,d 0，即
6、，即a=d 0,前前n项项和为和为Sn，当，当ml 时，时，Sm=Sl(其中其中mN+,lN+）,问问:n为何值时，为何值时，Sn最大？最大？解：解：又又Sm=Sl,am2bm=al 2bl,am2al 2+bm bl=0，即，即a(m+l)(m l)+b(m l)=0，(ml)a(m+l)+b=0，由于由于ml,ml 0,a(m+l)+b=0，即即b=a(m+l)，求出求出Sn的函数表达式，利的函数表达式，利用二次函数的性质解题。用二次函数的性质解题。alm4)(2 Sn=an2(m+l)an=a(n )2 。2lm a10,ml,Sm=Sl,d 0，即，即a=d 0，21 baba8642
7、0052595设设Sn=an2+bn,则有：则有：。解之得：解之得：，92baSn=3n2+n。1、略解：、略解：2、略解：是。、略解：是。简单提示：利用公式：简单提示：利用公式：)2()1(111nSSanSannn3、略解、略解（1），（，（2）S6最大。最大。3724 d1、在等差数列中an，若a1=25，且S9=S17，求数列前多少项和为最大？例题例题例2、一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。设首项为a1，公差为d,则2732225662256)(63542111212111daddada5 d 解1：例题例2、一个等差数列的前12项之
8、和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。2732354奇偶偶奇SSSS解2、162192奇偶SSdSS6奇偶由：5 d例题例例4、已知数列、已知数列 前前n项和项和 ，（1）求证：）求证：为等差数列；为等差数列；（2）求）求 的最大值及相应的最大值及相应n（3）记数列）记数列 的前项和为的前项和为 ，求的表达式求的表达式nnSn2522nananSnanT1、等差数列an中，a5+a16=30,则S20等于2、在项数为2n的等差数列中，各奇数项的和 为75，各偶数项的和为90，末项与首项的 差为27，则项数2n的值为多少？3、设等差数列an与bn的前n项和分别 为Sn,Sn,且 ，求 练习327nnSSnn77ba
