1、-1-11.1.6祖暅原理与几何体的体积课前篇自主预习一、祖暅原理1.思考(1)请计算一下长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体的体积什么结论?提示:根据根据V柱体柱体=S底底h得这两个几何体的体积相等得这两个几何体的体积相等,均为均为24 cm3.由此可知由此可知等底面积等底面积,且等高的圆柱和长方体的体积相等且等高的圆柱和长方体的体积相等,不仅如此不仅如此,在此基础在此基础上还有下面的一般规律上还有下面的一般规律祖暅原理祖暅原理.课前篇自主预习(2)运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?提示:需要三个条件,分别是:这两个几何体夹在两个平行平面之间.
2、平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.两个截面的面积总相等.课前篇自主预习2.填空填空:(1)祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等”.(2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.课前篇自主预习3.做一做判断正误.(1)等底等高的两个柱体的体积相同.()(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.()答案:(1)(2)(3)(4)课前篇自主预习二、柱、锥、台的
3、体积1.思考(1)求三棱锥的体积时有什么技巧?提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.课前篇自主预习(2)台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求?提示:台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体,所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下:课前篇自主预习2.填空柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,柱体、锥体的底面积为S,底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r和r.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.棱台的体积可由两个棱锥的体积
4、差得出.()棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.()圆台的高就是相应母线的长.()答案:(2)圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为()A.36B.18C.45D.12答案:D 课前篇自主预习(3)已知棱台的上、下底面面积分别为4、16,高为3,则该棱台的体积为.答案:28 课前篇自主预习三、球的体积1.思考(1)球有底面吗?球面能展开成平面图形吗?提示:球没有底面,球的表面不能展开成平面.2.填空一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=.课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.决定球的大小的因素是球的半径.()球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.()
5、两个球的体积之比等于其半径比的立方.()答案:课前篇自主预习答案:B(3)已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为.答案:36 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测柱体的体积柱体的体积例1用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?解:若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4 m,此时圆柱底面周长为2 m,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若ABAC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则剩余部分的体积为c
6、m3.答案:24 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测锥体的体积锥体的体积 解析:作圆锥的轴截面(如图所示).由题设,在POB中,APB=90,PA=PB.答案:A 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度
7、为()解析:由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度为h,圆的半径为r.圆锥的轴截面为正三角形,答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测台体的体积台体的体积例3已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.解:如图,在三棱台ABC-ABC中,O、O分别为上、下底面的中心,D、D分别是BC,BC的中点,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底
8、面圆直径AB的夹角为60,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R,l,高为h.作A1DAB于点D,则A1D=3.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测球的体积球的体积例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4 ,求正四面体的体积.解:将正四面体ABCD置于正方体中.正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径.设外接球的半径为R,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练4如果三个球的半径之比是123,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的
9、()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍答案:C 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测逻辑推理、数学运算在求体积中的体现典例如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()答案:A 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方法点睛方法点睛逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的问题转它将新的问题转化为已知问题化为已知问题,复杂问题转化为简单问题复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题最终将不易解决的问题转化为已解决的问题转化为已解决的问题.如若所
10、给几何体的体积不能直接利用公式得如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是()答案:D 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528,体积为14 cm3,则该棱台的高为.答案:2 cm
