1、北师大版高中数学选修2-2课件3导数与函数的单调性导数与函数的单调性（4）对数函数的导数）对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）指数函数的导数）指数函数的导数:.)()1(xxee ).1,0(ln)()2(aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）三角函数）三角函数：xxsin)(cos2）（(1)常函数常函数:(C)/0,(c为常数为常数)；(2)幂函数幂函数:(x n)/nxn 1 1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 复习复习 2.导数的运算导数的运算法则（1 1）函数的和或差的导数）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/.（3）
2、函数的商的导数）函数的商的导数 （）/=(v0).uv2u vv uv（2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+v/u.函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1,x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x)在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x)在在G上具有严格的单调性上具有严格的单调性.G 称为称为单调区间单调区间G=(a,b)引入引
3、入(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概局部概 念念.这个区间是定义域的子集这个区间是定义域的子集.(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的而言的.若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间.以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的前提下的前提下,比较比较 f(x1)0 时时,函数函数y=
4、f(x)在在区间区间(2,+)内为增函数内为增函数.y 在区间在区间(-,2)内内,切线的斜切线的斜率为负率为负,函数函数y=f(x)的值随着的值随着x的的增大而减小增大而减小,即即 0f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)在为这个区间内在为这个区间内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内 0,解得解得x1,因此因此,当当 时时,f(x)是增函是增函数数;),1(x令令2x-20,解得解得x0,解得解得x3或或x1,因此因此,当当 或或 时时,f(x)是增函数是增函数.),3(x)1,(x令令3x2-12x+90,解得解得1x0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式
5、解不等式 0得得f(x)的单调递减区间的单调递减区间.)(xf)(xf 例例1 确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x)的递增区间是的递增区间是:递减区间是递减区间是:);)(322,322(Zkkk).)(342,322(Zkkk 应用应用 解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1(211121)(xxxxf (2)f(x)=)=x
6、/2-/2-ln(1+(1+x)+1由由 即即 得得x1.,0)1(210)(xxxf 注意到函数的定义域是注意到函数的定义域是(-1,+),故故f(x)的递增区间的递增区间 是是(1,+);由由 解得解得-1x100,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(100,+).,0)(xf说明说明:(1)由于由于f(x)在在x=0处连续处连续,所以递增区间可以扩大所以递增区间可以扩大 到到0,100)(或或0,100).(2)虽然在虽然在x=100处导数为零处导数为零,但在写单调区间时但在写单调区间时,都可以把都可以把100包含在内包含在内.练习练习2设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间恰有三个
7、单调区间,试确定试确定a的取值的取值 范范 围围,并求其单调区间并求其单调区间.解解:.13)(2 axxf若若a0,对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)(xf若若a=0,此时此时f(x)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾.,01)(xf若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a()0只是函数只是函数f(x)在该区间上为增在该区间上为增(减减)函数的充分不必要条件函数的充分不必要条件.)(xf 小结小结6.利用导数的符号来判断函数的单调区间利用
8、导数的符号来判断函数的单调区间,是导是导数几何数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用意义在研究曲线变化规律的一个应用,它它充分体现了数形结合的思想充分体现了数形结合的思想.5.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当则当函数函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续时上连续时,那么单调区间那么单调区间可以扩大到闭区间可以扩大到闭区间a,b上上.4.利用求导的方法可以证明不等式利用求导的方法可以证明不等式,首先要根首先要根据题意构造函数据题意构造函数,再判断所设函数的单调性再判断所设函数的单调性,利利用单调性的定义用单调性的定义,证明要证的不等式证明要证的不等式.当函数的单当函数的单调区间与函数的定义域相同时调区间与函数的定义域相同时,我们也可用求导我们也可用求导的方法求函数的值域的方法求函数的值域.课本课本59页页 练习练习课后作业课后作业
