1、3.3.2 简单的线性规划问题第1课时 简单的线性规划问题 某工厂用某工厂用A,BA,B两种配件生产甲、乙两种产品，两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用每生产一件甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1 h1 h，每生产，每生产一件乙产品使用一件乙产品使用4 4个个B B配件耗时配件耗时2 h2 h，该厂每天最多，该厂每天最多可从配件厂获得可从配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工配件，按每天工作作8 h8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？2841641200.xyxyxy ，将上述不等式组表示成平
2、面上的区域将上述不等式组表示成平面上的区域,区域内所有区域内所有坐标为整数的点坐标为整数的点 时时 ,安排生产任务安排生产任务 都都是有意义的是有意义的.(,)P x y,x y 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x,yx,y件，由已知条件，由已知条件可得二元一次不等式组：件可得二元一次不等式组：yOx434828xy4x =3y上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域，上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域，本节课我们将继续研究本节课我们将继续研究简单的线性规划问题简单的线性规划问题.进一步，若生产一件甲种产品获利进一步，若生产一件甲种产品获利2 2万元万元,生产
3、生产一件乙种产品获利一件乙种产品获利3 3万元万元,采用哪种生产安排利润最采用哪种生产安排利润最大大?提示：设生产甲产品提示：设生产甲产品x x件，乙产品件，乙产品y y件时，工厂获件时，工厂获得的利润为得的利润为z,z,则则z=2x+3y.z=2x+3y.上述问题就转化为：当上述问题就转化为：当x,yx,y满足不等式组并且满足不等式组并且为非负整数时，为非负整数时，z z的最大值是多少？的最大值是多少？探究点探究点1 1 简单线性规划问题及有关概念简单线性规划问题及有关概念z z把把z z变变形形为为,这这是是斜斜率率为为z z在在 轴轴上上的的截截距距为为 的的直直线线,2223,3333
4、xyyxy 当当点点在在可可允允许许的的取取值值范范围围内内变变化化时时，z z求求截截距距的的最最值值,即即可可得得z z的的最最值值.3P当当 变变化化时时，可可以以得得到到一一组组互互相相平平行行的的直直线线.z故故可可先先作作出出过过原原点点的的直直线线，再再作作 的的平平行行线线002:.3lyxl 提示提示:02:3lyx Ox434828xy4x =3y(4,2)M233428yxxxy 由由图图可可知知当当直直线线经经过过直直线线与与直直线线z z即即 的最大值为的最大值为z2 43 214.z 所以，每天生产甲产品所以，每天生产甲产品4 4件，乙产品件，乙产品2 2件时，工件
5、时，工厂可获得最大利润厂可获得最大利润1414万元万元.z3最大值为最大值为14.3的交点的交点(4,2)M时，截距时，截距的值最大，的值最大，y y上述问题中，不等式组上述问题中，不等式组 是一组对变量是一组对变量 x,y x,y的约束条件，这组约束条件都是关于的约束条件，这组约束条件都是关于x,yx,y的一次不等式，所以又称为的一次不等式，所以又称为线性约束条件线性约束条件.2841641200 xyxyxy ，1.1.线性约束条件线性约束条件 我们把要求最大值的函数我们把要求最大值的函数z=2x+3yz=2x+3y称为称为目标目标函数函数.又因为又因为z=2x+3yz=2x+3y是关于变
6、量是关于变量x,yx,y的一次解析的一次解析式，所以又称为式，所以又称为线性目标函数线性目标函数.2.2.线性目标函数线性目标函数3.3.线性规划线性规划 一般一般的的，在线性约束条件下求线性目标函数，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为的最大值或最小值问题，统称为线性规划线性规划问题问题.满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)(x,y)叫做叫做可行解可行解.由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做可行域可行域.使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的叫做这个问题的最优解最优解.4.4.可行解、可行域、
7、最优解可行解、可行域、最优解（1 1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3 3万元，每生产一件乙产品获利万元，每生产一件乙产品获利2 2万元，则如何安万元，则如何安排生产才能获得最大利润？排生产才能获得最大利润？（2 2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？的关系吗？设生产甲产品设生产甲产品x x件件,乙产品乙产品y y件时，工厂获得的利件时，工厂获得的利润为润为z,z,则则z=3x+2y.z=3x+2y.【即时练习即时练习】3332,2222zxyyxy 把把变变形形为为,这,这是是斜斜率率为为在
8、在 轴轴上上的的截截距距为为 的的直直线线.z zz z322428yxxxy 由由图图可可知知当当直直线线经经过过直直线线与与z z03:2lyx Ox434828xy4x =3y(4,2)My最大值为最大值为8.的交点的交点(4,2)M 时，截距时，截距 的值最大，的值最大，即即 的最大值为的最大值为z3 42 216.z 所以，每天生产甲产品所以，每天生产甲产品4 4件，乙产品件，乙产品2 2件时，件时，工厂获得最大利润工厂获得最大利润1616万元万元.（2 2）将目标函数）将目标函数 变形为变形为 将求将求z z的最值问题转化为求直线的最值问题转化为求直线 在在 轴上的截距轴上的截距
9、的最值问题；的最值问题；z(0)axby bz,ayxbb yzb 在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：图解法求最优解的步骤为：（1 1）在平面直角坐标系内画出可行域；）在平面直角坐标系内画出可行域；zayxbb 【提升总结提升总结】（3 3）画出直线）画出直线=0axby 并平行移动，并平行移动，或最后经过的点为最优解；或最后经过的点为最优解；平移过程中最先平移过程中最先（4 4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值数的最值.例例 1.设设,x y满足满足约束约束条件条件
10、 3,4,4312,4336.xyxyxy 求求目标函数目标函数23zxy的最小值的最小值与与最大值最大值.探究点探究点2 2 简单线性规划问题的图解方法简单线性规划问题的图解方法解解：作出可行域（如图作出可行域（如图阴影部分阴影部分）.令令0z，作直线，作直线:230lxy.当当把把直线直线l向下平移时，所对应的向下平移时，所对应的23zxy的函数值随之减小，的函数值随之减小，所以，当直线所以，当直线l经过可行域的顶点经过可行域的顶点 B B 时，时，23zxy取取得最小值得最小值.:230lxyyxo4336xy4y 4312xy3x ABCD4 42 2顶点顶点 B B 为直线为直线3x
11、 与直线与直线4y 的交点，的交点，其坐标为其坐标为3,4；当当把把直线直线l向上平移时，所对应的向上平移时，所对应的23zxy的函数值随之的函数值随之增增大，大，所以，当直线所以，当直线l经过可行域的顶点经过可行域的顶点 D D 时，时，23zxy取取得最大值得最大值.yxo4336xy4y 4312xy3x :230lxyABCD4 42 2顶点顶点 D D 为直线为直线4312xy与直线与直线4336xy的交点，的交点，解方程组解方程组 4312,4336.xyxy 可以求得顶点可以求得顶点 D D 的坐标为的坐标为3,8 此时，顶点此时，顶点3,4和顶点和顶点 D D3,8为最优解为最
12、优解 所以所以 minmax2(3)3(4)18,2 33 830.zz yxo4336xy4y 4312xy3x :230lxyABCD4 42 2求求 的的最大值和最小值最大值和最小值.已知已知 满足满足1,53,5315.yxxyxy ,x y2zxy12.22由由得得zzxyyx解：解：作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，作作并并平平行行移移动动,0:20,lxy【变式练习变式练习】351xo o5315xy1yx53xyB(1.5,2.5)B(1.5,2.5)A A(-2,-1)C(3,0)y20 xy当直线当直线l经过点经过点B B时，对应时，对应的的z z最小，当直线最小
13、，当直线l经过点经过点C C时，对应的时，对应的z z最大最大.所以所以z z最小值最小值=1.5-2=1.5-22.52.5=-3.5,=-3.5,z z最大值最大值=3-0=3.=3-0=3.解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（2 2）移：移：在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；截距最大或最小的直线；（3 3）求：求：通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解；（4 4）答：答：作出答案作出答案.（1 1）画：画：画出线性约束条件所表示的可行域
14、；画出线性约束条件所表示的可行域；最优解一般在可行域的顶点处取得最优解一般在可行域的顶点处取得【提升总结提升总结】例例已已知知满满足足设设若若 取取得得最最大大值值时时，对对应应点点有有无无数数个个，求求 的的值值43,2,3525,(0),1.xyx yxyzaxy axza 分析：分析：对应无数个点，即直线与边界线重合对应无数个点，即直线与边界线重合.作出可行域，结合图形，看直线作出可行域，结合图形，看直线与哪条边界线重合时，可取得最大值与哪条边界线重合时，可取得最大值.:lyaxz 33,.553.5AClkkaa 因因为为所所以以即即解：解：当直线当直线 与边界线重合时，有无与边界线重
15、合时，有无数个点使函数值取得最大值，数个点使函数值取得最大值，:lyaxz .lACkk 此时有此时有yxOCB1x 43xy 3525xy【变式练习变式练习】由由z=2x+y,z=2x+y,得得y=-2x+z,y=-2x+z,平移直线平移直线y=-2x+z,y=-2x+z,由图象可知当直线由图象可知当直线y=-2x+zy=-2x+z经过点经过点A A，直线直线y=-2x+zy=-2x+z的截距最小，此时的截距最小，此时z z最小，最小，【解析解析】选选B.B.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：y1,x=1,yx,y1,由解得即即A A（-1-1，
16、-1-1），此时），此时z=-2-1=-3z=-2-1=-3，此时，此时n=-3n=-3，平移直线平移直线y=-2x+z,y=-2x+z,由图象可知当直线由图象可知当直线y=-2x+zy=-2x+z经过点经过点B,B,直线直线y=-2x+zy=-2x+z的截距最大，此时的截距最大，此时z z最大，最大，y1,x=2,xy1,y1,由解得由由B(2,-1),B(2,-1),此时此时z=2z=22-1=32-1=3，即，即m=3m=3，则则m-n=3-m-n=3-（-3-3）=6=6，故选故选B.B.2.2.（20132013陕西高考）若点陕西高考）若点(x,y)(x,y)位于曲线位于曲线y=|x
17、|y=|x|与与y=2y=2所围成的封闭区域所围成的封闭区域,则则2x2xy y的最小值的最小值为为()()A.A.6 B.6 B.2 C.0 D.22 C.0 D.2A A3.（2013四川高考）若变量四川高考）若变量,x y满足约束条件满足约束条件 8,24,0,0,xyyxxy且且5zyx的的 abab最大值为最大值为，最小值为，最小值为，则，则的值是（的值是（）A.48 B.30 C.24 D.16A.48 B.30 C.24 D.16C C4 42.2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤线性目标函数的最值的图解法及其步骤.最优解在可行域的顶点或边界取得最优解在可行域的顶点或边界取得.
18、把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.1.1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念的理解；行解等基本概念的理解；3.3.线性规划的有关概念线性规划的有关概念名称名称定义定义约束条件约束条件由变量由变量x x，y y组成的不等式组组成的不等式组线性约束条件线性约束条件由变量由变量x x，y y组成的一次不等式组组成的一次不等式组目标函数目标函数关于关于x x，y y的函数解析式的函数解析式线性目标函数线性目标函数关于关于x x
19、，y y的一次函数解析式的一次函数解析式可行解可行解满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x,yx,y）可行域可行域所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合最优解最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称线性规划问题问题统称线性规划问题第2课时 简单线性规划的应用在实际问题中常遇到两类问题：在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；下，
20、如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理地安排和规划二是给定一项任务，如何合理地安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.一、用量最省问题一、用量最省问题例例1 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供供0.075 kg0.075 kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06 kg,0.06 kg的蛋白质的蛋白质,0.06 kg,0.06 kg的脂肪的脂肪.1 kg.1 kg食物食物A A含有含有0.10
21、5 kg0.105 kg碳水化合物碳水化合物,0.07 kg,0.07 kg蛋白质蛋白质,0.14 kg,0.14 kg脂肪脂肪,花费花费2828元元;而而1 kg1 kg食物食物B B含有含有0.105 kg0.105 kg碳水化合物碳水化合物,0.14 kg,0.14 kg蛋白质蛋白质,0.07 kg,0.07 kg脂肪脂肪,花花费费2121元元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时同时使花费最低使花费最低,需要同时食用食物需要同时食用食物A A和食物和食物B B多少多少kg?kg?探究点探究点1 1 简单线性规划问题及在实际问题中的应用简单线性规划问
22、题及在实际问题中的应用分析分析:将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：0.070.070.140.140.1050.1050.140.140.070.070.1050.105B BA A脂肪脂肪/kg/kg蛋白质蛋白质/kg/kg碳水化合物碳水化合物/kg/kg食物食物/kg/kg解解:设每天食用设每天食用x kgx kg食物食物A,y kgA,y kg食物食物B,B,总成总成本为本为z.z.那么那么x,yx,y满足的约束条件是满足的约束条件是:0 1050 1050 0750 070 140 060 140 070 06 00.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.目标函数为目标函数为
23、z=28x+21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域即可行域.775,7146,1476,0,0.xyxyxyxy 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于z zz z是是 直直在在 y y上上 的的 截截 距距，取取 最最 小小 值值，2 21 12 21 1z z的的 值值 最最 小小.然然 直直要要 与与 可可 行行 域域 相相 交交，即即 在在足足束束件件目目函函z z=2 28 8x x+2 21 1y y取取 得得 最最 小小值值.线轴当时当线满约条时标数4 4z z 考考z z=2 28 8x x+2 21 1y y，它它形
24、形y y=-x x+，3 32 21 14 4是是斜斜率率-、z z化化的的一一族族平平行行直直.3 3虑将变为这为随 变线xO1476xy7146xy37475767137576743yx y775xyM由图知由图知,当直线当直线经过可行域上的点经过可行域上的点M M时时,截距截距最小最小,即即z z最小最小.2821zxyz21解方程组解方程组得得M M的坐标为的坐标为7751476xy,xy,14()77,.所以所以z zminmin=28x+21y=16.=28x+21y=16.答：每天食用食物答：每天食用食物A A约约143 g143 g，食物，食物B B约约571 g571 g，能
25、够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为成本为1616元元.解线性规划应用问题的一般步骤：解线性规划应用问题的一般步骤：1.1.理清题意，列出表格；理清题意，列出表格；2.2.设好变量，列出线性约束条件（不等式组）设好变量，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数；与目标函数；3.3.准确作图；准确作图；4.4.根据题设精确计算根据题设精确计算.【提升总结提升总结】铁矿石铁矿石A和和B的含铁率的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量的排放量b及每万吨铁矿石的价格及每万吨铁矿石的价格c如下表：如下表：ab(万吨万吨)c(百万元百万
26、元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产某冶炼厂至少要生产1.9(万吨万吨)铁，若要求铁，若要求CO2的排放的排放量不超过量不超过2(万吨万吨)，则购买铁矿石的最少费用为，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元百万元)【变式练习变式练习】1515目标函数为目标函数为z3x6y，当目标函数经过，当目标函数经过(1,2)点时点时目标函数取最小值，最小值为：目标函数取最小值，最小值为：zmin316215.例例2 2 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A A，B B，C C三种规三种规格格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表
27、所示如下表所示:A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板2 21 11 12 21 13 3 今需要今需要A A，B B，C C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15,18,2715,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求各截这块，用数学关系式和图形表示上述要求各截这两种钢板多少张可得所需两种钢板多少张可得所需A A，B B，C C三种规格成品，三种规格成品，且使所用钢板张数最少？且使所用钢板张数最少？规格类型规格类型钢板类型钢板类型分析：分析：列表列表A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板2 21
28、11 12 21 13 3张数张数成品块数成品块数xy2xy2xy3xy解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，共张，共需截这两种钢板共需截这两种钢板共z z张，则张，则21521832700 xy,xy,xy,x,y.线性目标函数线性目标函数.zxy2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy0 xyM作出一组平行直线作出一组平行直线 z=x+yz=x+y，当直线经过可行域上的，当直线经过可行域上的点点M M时，时，z最小最小.作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：由于由于 都不是整数，而此问题中的最优解都不是整数，而此问题中的最优解中，中，
29、必须都是整数，所以点必须都是整数，所以点 不是最不是最优解优解.解方程组解方程组327,215,xyxy 18 39(,).55M18 39,55得得(,)x y,x y18 39(,)55使截距使截距z z最小的直线为最小的直线为 ，经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，=12xy 它们是最优解它们是最优解.z=12.min答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板第一种钢板3 3张，第二种钢板张，第二种钢板9 9张；第二种截
30、法张；第二种截法是截第一种钢板是截第一种钢板4 4张，第二种钢板张，第二种钢板8 8张；两种截张；两种截法都最少要两种钢板法都最少要两种钢板1212张张.两类药片有效成分如下表所示，若要求至少两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供提供12毫克阿司匹林，毫克阿司匹林，70毫克小苏打，毫克小苏打，28毫克可毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？格最低？成分成分种类种类阿司匹林阿司匹林小苏打小苏打可待因可待因每片价格每片价格(元元)A A(毫克毫克/片片)2 25 51 10.10.1B B(毫克毫克/片片)1 17 76 60.20.
31、2【变式练习变式练习】由于由于A不是整点，因此不是不是整点，因此不是z的最优解，结合图的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是线是xy11，经过的整点是，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此因此z的最小值为的最小值为11.药片最小总数为药片最小总数为11片片同理可得，当同理可得，当x3，y8时，时，k取最小值取最小值1.9，因此当因此当A类药品类药品3片、片、B类药品类药品8片时，药品价片时，药品价格最低格最低例例3 3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮
32、甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t4 t、硝酸盐、硝酸盐18 t18 t；生；生产产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t1 t、硝酸、硝酸盐盐15 t15 t现在库存磷酸盐现在库存磷酸盐10 t10 t、硝酸盐、硝酸盐66 t66 t，在此基，在此基础上生产这两种混合肥料础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域若生产系式，并画出相应的平面区域若生产1 1车皮甲种肥料，车皮甲种肥料，产生的利润为产生的利润为10 00010 000元；生产元；生产1 1车皮乙种肥料，产生
33、的车皮乙种肥料，产生的利润为利润为5 0005 000元元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？车皮，能够产生最大的利润？二、效益最佳问题二、效益最佳问题解：解：设生产设生产x x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y y车皮乙种肥料，能够车皮乙种肥料，能够产生利润产生利润z z万元，则目标函数为万元，则目标函数为分析：分析：列表列表4 418181 11515甲种肥料甲种肥料乙种肥料乙种肥料磷酸盐磷酸盐(t)(t)硝酸盐硝酸盐(t(t）总吨数总吨数车皮数车皮数4xy1815xyxy利润利润(元元)10 00010 0005 0005 000410
34、18156600.，约束条件为，xyxyxyz0.5.xyyxO123452468104=10 xy1815=66xy作出可行域，作出可行域，2yx M直直y=-2x+2z可y=-2x+2z可行行域域上上的的M，M，z最z最大大.当线经过点 时变为把把z=x+0.5y形z=x+0.5y形y=-2x+2z,y=-2x+2z,得到斜率为得到斜率为-2-2，在，在y y轴轴上的截距为上的截距为2z2z，随，随z z变变化的一族平行直线化的一族平行直线.maxmax18x+15y=66,18x+15y=66,解解方方程程得得M的M的坐坐(2,2).(2,2).4x+y=10,4x+y=10,所所以以z
35、=2+0.5z=2+0.52=3.2=3.组标为答：生产甲、乙两种肥料各答：生产甲、乙两种肥料各2 2车皮，能够产生车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润，最大利润为3 3万元万元.某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品已知生产甲种产品1 1 t t需耗需耗A A种矿石种矿石10 t10 t、B B种矿石种矿石5 t5 t、煤、煤4 t4 t；生产；生产乙种产品乙种产品1 t1 t需耗需耗A A种矿石种矿石4 t4 t、B B种矿石种矿石4 t4 t、煤、煤9 t.9 t.每吨甲种产品的利润是每吨甲种产品的利润是600600元，每吨乙种产品的利元，每吨乙种产品的
36、利润是润是1 0001 000元元.工厂在生产这两种产品的计划中要工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗求消耗A A种矿石不超过种矿石不超过300 t300 t、B B种矿石不超过种矿石不超过200 t200 t、煤不超过、煤不超过363 t.363 t.甲、乙两种产品应各生产甲、乙两种产品应各生产多少吨，能使利润总额达到最大多少吨，能使利润总额达到最大?【变式练习变式练习】将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：分析：分析：A A种矿石种矿石(t)(t)B B种矿石种矿石(t)(t)煤煤(t)(t)甲产品甲产品(1 t)(1 t)乙产品乙产品(1 t)(1 t)资源限额资源限额(t)(t)利润
37、利润(元元)10105 54 46006004 44 49 91 0001 000300300200200363363解：解：设生产甲、乙两种产品分别为设生产甲、乙两种产品分别为x tx t、y ty t，利润总额为利润总额为z z元，则元，则10 x4y300,5x4y200,4x9y363,x0,y0;作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，3zz600 x1 000yyx.51 000 可变形为z600 x1 000y.54200 xyyxO1010104300 xy49363xy03:5lyx l线0 03 3作作:y=-x及:y=-x及其其平平行行，5 5M3z3z直直y=-x+
38、M，y=-x+M，51 00051 000z最z最大大.当线经过点 时解方程组：解方程组：5x4y200,4x9y363,标标为为得得M的M的坐坐(12,35).(12,35).答：甲、乙两种产品应各生产答：甲、乙两种产品应各生产12 t,35 t12 t,35 t，能使利润，能使利润总额达到最大，利润总额最大为总额达到最大，利润总额最大为42 20042 200元元.maxz600 12 1 000 3542200.（元）得点得点例例4 4 若二次函数若二次函数 的图象过原点，且的图象过原点，且 求求 的范围的范围.()yf x(2)f 3(1)4,f1(1)2,f设条关数数围线规识2 2f
39、 f(x x)=a ax x+b bx x(a a 0 0),由由已已知知件件可可以以得得到到于于二二次次函函y y=f f(x x)的的系系a a,b b的的不不等等式式，f f(-2 2)=4 4a a-2 2b b的的范范可可用用性性分分：划划知知析析求求解解.探究点探究点2 2 利用简单线性规划求变量的范围利用简单线性规划求变量的范围2 2y=f(x)的y=f(x)的象象原原，所所以以f(x)=ax+bx(af(x)=ax+bx(a0).0).所所以以f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-1)=a-b,f(1)=a+b.1a-b2,1a-b2,所所以以3a+b4.3a+b4.f(
40、-2)=4a-2b.f(-2)=4a-2b.令令z=4a-2bz=4a-2b解解：因因.图过点设 为作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，变为线l0 0z zz=4a-2b可z=4a-2b可形形b=2a-.b=2a-.2 2作作:b=2a及:b=2a及其其平平行行.Oba1 2 2424AB2ba 3ab1ab4ab2ab由图可知，由图可知，z z直直b b=2 2a a-2 2可可行行域域上上的的A A，z z截截距距-最最大大，即即z z最最小小.2 2z zB B，截截距距-最最小小，2 2即即z z最最大大.当线经过点 时经过点 时组组组组minminmaxmaxa-b=1,a-
41、b=1,由由方方程程得得A(2,1).A(2,1).a+b=3a+b=3所所以以z=4a-2b=4z=4a-2b=42-22-21=6.1=6.a-b=2,a-b=2,由由方方程程得得B(3,1).B(3,1).a+b=4a+b=4所所以以z=4a-2b=4z=4a-2b=43-23-21=10.1=10.所所以以6f(-2)10.6f(-2)10.将求变量范围的问题巧妙地转化为简单将求变量范围的问题巧妙地转化为简单的线性规划问题进行求解，减少了失误的线性规划问题进行求解，减少了失误.【提升总结提升总结】已已知知f(x)=(3a-1)x+b-a,xf(x)=(3a-1)x+b-a,x0,1,0
42、,1,若若f(x)f(x)1 1恒恒成成立立，则则a+ba+b的的最最大大值值是是.53【变式练习变式练习】C C1.（2013湖南高考）若变量湖南高考）若变量,x y满足约束条件满足约束条件 ，5-205352ABCD（）D DD D4.4.（20132013北京高考）设北京高考）设D D为不等式组为不等式组 表示的平面区域，区域表示的平面区域，区域D D上的点与上的点与点（点（1 1，0 0）之间的距离的最小值为）之间的距离的最小值为_._.2 55 1.1.设所求的未知数；设所求的未知数；2.2.列出约束条件；列出约束条件；3.3.建立目标函数；建立目标函数；4.4.作出可行域；作出可行域；5.5.运用图解法，求出最优解运用图解法，求出最优解;6.6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解优解.一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.
