1、正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为三角形的外接圆半径）为三角形的外接圆半径）CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222ABCacb:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在;)1(测量距离;)2(测量高度.)3(测量角度包含不可达到的点问题问题1.A、B两点在河的两岸两点在河的两岸(B点不可到达点不可到达)，要测量，要测量 这两点之间的距离。（备用工具：皮尺、测角仪）这两点之间的距离。（备用工具：皮尺、测角仪）测量者在测量者在A的同侧，在所在的
2、河岸边选定一点的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55m，BAC51o，ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m).分析：所求的边分析：所求的边AB的对角是已知的的对角是已知的,又知三角形的又知三角形的一边一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边根据三角形内角和定理可计算出边AC的的对角对角,根据正弦定理根据正弦定理,可以计算出边可以计算出边AB.ABC你能根据所学知识设计一种测量方案吗你能根据所学知识设计一种测量方案吗?解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A、B两点间的距离约为两点间的距离约为65.7米。米。sinsin
3、sin55sinsinsin55sin7555sin7565.7()sin(1805175)sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABC例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。ABCCDABCD解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量
4、者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并且在并且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离222cosABACBCACBC在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA 两点的距离两点的距离，求，求，千米，千米，定定的距离，在河的这边测的距离，在河的这边测两点间两点
5、间、如图，为了测量河对岸如图，为了测量河对岸课堂练习：课堂练习：ABCD30453060分析：分析：1.在在ABD中求中求AB2.在在ABC中求中求AB46AB 练习练习1、分析题意，弄清已知和所求；、分析题意，弄清已知和所求；2、根据题意，画出示意图；、根据题意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；已知所求；4、正确运用正、余弦定理解三角形。、正确运用正、余弦定理解三角形。5、检验并作答。、检验并作答。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤：练习练习:教材教材1414 1,2 1,2思考思考?如何测量地球与月亮之
6、间如何测量地球与月亮之间的距离的距离?AB 背景背景资料资料早在早在1671年年,两位法国天文学家为了测量地两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角午线的柏林与好望角,测量计算出测量计算出,的大小的大小和两地之间的距离和两地之间的距离,从而算出了地球与月球从而算出了地球与月球之间的距离约为之间的距离约为385400km.解决有关三角形应用性问题的思路、解决有关三角形应用性问题的思路、步骤和方法步骤和方法实际问题实际问题 抽象概括抽象概括 画示意图画示意图 建立数学模型建立数学模型推理推理 演算演算数学模型的解数学模型
7、的解实际问题实际问题的的 解解检验作答检验作答还原说明还原说明课堂小结：通过本节课，你有什么收获？课堂小结：通过本节课，你有什么收获？练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m）（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度
8、最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（精确到的长（精确到0.01m0.01m）最大角度最大角度最大角度最大角度
9、最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m，夹角夹角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 有关测量术语有关测量术语:a.仰角和俯角仰角和俯角是指与目标视线在同一垂直平是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水其中目标视线在水平平视线的目标视线上方时叫仰角视线的目标视线上方时叫仰角,目标视线在目标视线在水水平
10、视线的下方的时叫俯角平视线的下方的时叫俯角.b.方向角方向角是指从指定方向线到目标方向线的是指从指定方向线到目标方向线的水平角水平角,如北偏东如北偏东300,南偏西南偏西450.c.方位角方位角是指从正北方向是顺时针旋转到目是指从正北方向是顺时针旋转到目标方向线的角标方向线的角.d.坡度坡度是坡面与水平面所成的角的度数是坡面与水平面所成的角的度数.3,.ABBAAB例、是底部 不可到达的一个建筑物为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度的方法,HGH G B解：选择一条水平基线使三点在同一条直线上。,H GCDa由在两点用测角仪测得A的仰角分别是，测角仪器的高是h.sinACDAC,sin()a
11、在中，=AB=AE+h =ACsin+hsinsin =.sin()ah).1(,3.27.150,4054,400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶、如图例00C,90,.ABCBAD解：在 AB 中，BCA=90+-,BAC=0sin()cos.sin()sin()BCBC90+根据正弦定理，AB=Rtcossin.sin()BC解ABD,得BD=ABsin BADcossin.sin()BCBCCD=BD-BC=150).m把测量数据代入，CD（150.答：山的高度约为米例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，
12、到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只要只要测出高所在的直角三角形测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以长。根据已知条件，可以计算出计算出BC的长。的长。分析：要测出高分析：要测出高CD,只要只要测出高所在的直角三角形测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的的另一条直角
13、边或斜边的长。根据已知条件，可以长。根据已知条件，可以计算出计算出BC的长。的长。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得处时测得公路南侧远处一山顶公路南侧远处一山顶D在东偏南在东偏南15的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到后到达达B处，测得此山顶在东偏南处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=15,C=25-15=10.根据正弦定理，根据正弦定理，CABABCsinsin).(4524.710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtan
14、DBCBCtan81047(m)答：山的高度约为答：山的高度约为1047米。米。000,7567.5,3254.0.,(0.1,0.01).AnmileBBnmileCACnmile例6、如图 一艘海轮从 出发 沿北偏东的方向航行后到达海岛然后从 出发 沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航行直接从 出发到达此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到距离精确到220 ACABBC2ABBC cos =67.5542 67.5 54 cos137 =113.15ABC 2 22 2根根据据余余弦弦定定理理可可知知：=BC sinACCABABC 根根据据正正弦弦定定理理可可知知：si
15、 nsi n0sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC00019 7556CABCAB答：此船应该沿北偏东答：此船应该沿北偏东560的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.15 n mile.0000 ABC ABC=1807532137解解：在在 中 中，3.3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。63.77四、面积公式推导ch,abcABCBC CA ABh h h在中，边上的高分别记为sinsin,sinsin,sinsin.abchbCcBhcAaChaBbA可得：CBAD12
16、Sah根据三角形的面积公式，111sin,sin,sin.222SabCSbcASacB7 ABC S0.12 2例例在在 中中，根根据据下下列列条条件件，求求三三角角形形的的面面积积(精精确确到到c cm m)0 0(1 1)已已知知 a a=1 14 4.8 8c cm m ,c c=2 23 3.5 5c cm m,B B=1 14 48 8.5 501 1 Ssin21 S23.5 14.5 sin148.590.92caB2 2解解：（）应应用用=可=可得得=（=（cm）cm）应用四：有关三角形计算应用四：有关三角形计算bbsinC c=sinBsinsinBcC（2）2）根根据据正
17、正弦弦定定理理，1S221sinsinsin2sinCAbcAbB=222221sin65.8 sin51.5S3.164.0()2sin62.7cm00222A=180()180(62.765.8)51.5BC0,C=65.8,3.16 bcm 0 0(2 2)已已知知 B B=6 62 2.7 77 ABC S0.12 2例例在在 中中，根根据据下下列列条条件件，求求三三角角形形的的面面积积(精精确确到到c cm m)22223 238.741.427.3 =0.76972 38.7 41.4abca 2 22 2（）根根据据余余弦弦定定理理可可得得：c ccosB=cosB=22sin1
18、cos10.76970.6384BB211Ssin38.7 41.4 0.6384511.4()22caBcm应应用用(3)41.4 ,27.3,38.7acmbcm ccm 已已知知三三边边的的长长分分别别为为 例例8:如图如图,在某市进行城市环境建设中，要把一在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为三角形区域的三条边分别为68m,88m,127m,这个这个区域的面积是多少？（精确到区域的面积是多少？（精确到0.1m2）应用四：有关三角形计算应用四：有关三角形计算 解：设解：设a=68
19、m,b=88m,c=127m,根据余弦根据余弦定理可得：定理可得：2222221276888cos0.753222 12768cabBac2sin10.75320.6578B 211sin127680.65782840.4()22SacBm答：这个区域的面积是答：这个区域的面积是2840.4m2应用五：三角形恒等式证明应用五：三角形恒等式证明22222 ABCsinsin 1 si9 n2在三角形中，求证：a（）例：bABcC 1 (0)k kabCabC证证明明：（）根根据据正正弦弦定定理理可可得得：si nAsi nBsi nCsi nAsi nBsi nC222222222222sins
20、in=sinsinsin.sin左边右边abkAkBckCABC 2222222222222222222222=2bcca+ab)222 ()(bcacababcbccaabbcacababcabc（）根根据据余余弦弦定定理理的的推推论论：右右边边（)+()+()=左=左边边222ABC (2)a+b+c2(coscoscos)9例在三角形中，求证：bcAcaBabC应用五：三角形恒等式证明应用五：三角形恒等式证明1 1、审题（分析题意，弄清已知和所求，、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；根据提意，画出示意图；2.2.建模（将实际问题转化为解斜三角形建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）的数学问题）3.3.求模（正确运用正、余弦定理求解）求模（正确运用正、余弦定理求解）4 4，还原。，还原。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤：
