1、2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3激趣诱思知识点拨在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?激趣诱思知识点拨知识点一、奇、偶函数的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,激趣诱思知识点拨名师点析对函数奇偶性定义的理解(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原
2、点对称.激趣诱思知识点拨微练习下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()A.y=x-1B.y=3x2D.y=-x|x|答案:D激趣诱思知识点拨知识点二、奇、偶函数的图像特征(1)偶函数的图像关于y轴对称;反之,结论也成立,即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的图像关于原点对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.名师点析奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0a0时,f(x)
3、=x|x-2|,求当x0时,f(x)的表达式.分析已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式.解:令x0.f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).f(x)=x|x+2|.故当x0时的解析式,则x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x0时的解析式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究若本例题中题干不变,如何求当x0时,f(x)的表达式?解:只需将f(0)单独求出.因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0.又因为f(x)=x|x+2|,x0,所以f(x)=x|x
4、+2|,x0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测奇、偶函数图像的应用奇、偶函数图像的应用例3若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)解析:由偶函数f(x)在(-,0上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在0,+)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如图的草图.由图可知使f(x)0的x的取值范围是(-,-2)(2,+),故选C.答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟函数奇偶性的应用1.研究函数图像时,要注意对函数性质的研究,
5、这样可避免作图的盲目性和复杂性.2.利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图像).探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2奇函数f(x)的定义域为-5,5,它在y轴右侧的图像如图所示,则f(x)0的x的取值集合为.解析:奇函数f(x)在-5,5上的图像如图所示,由图像可知,x(2,5)时,f(x)0.因为其图像关于原点对称,所以x(-5,-2)时,f(x)0;x(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0,
6、或2x5.答案:x|-2x0,或2x5 探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用函数的单调性与奇偶性解不等式利用函数的单调性与奇偶性解不等式典例 设定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数,若f(1-m)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,列出不等式(组),同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.(多选题)下列函数是偶函数的为()A.f(x)=x2B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x2+x4答案:AD探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.有下列说法:偶函数的图像
7、一定与y轴相交;若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,xR;若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图像.其中不正确的是()A.B.C.D.解析:中可举反例f(x)=x2+2,x(-,-2)(2,+);中f(x)在x=0处可能无定义;中也可以是f(x)=0,xA(A为关于原点对称的数集);中该图形可能不是函数的图像.故均错误.答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x(-,0)时,f(x)=x-x4;当x(0,+)时,f(x)=.解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,即答案为-x-x4.方法二:设x(0,+),则-x(-,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x).f(x)在区间(0,+)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.答案:-x-x4探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)如图是f(x)在区间0,+)内的图像,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像,请说明你的作图依据;(2)求证:f(x)+g(x)=1(x0).探究一探究二探究三素养形成当堂检测f(x)的图像关于y轴对称,其图像如图所示.
