1、4.2.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用用坐标方法解决平面几何问题的用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”【思考思考】利用坐标法解决直线与圆的问题时利用坐标法解决直线与圆的问题时,建立坐标建立坐标系需要遵循的原则是什么系需要遵循的原则是什么?提示提示:一般借助图形中的对称轴、对称中心分别为坐标一般借助图形中的对称轴、对称中心分别为坐标轴、原点建系轴、原点建系,如果图形没有对称性如果图形没有对称性,则利用图形中的则利用图形中的边为坐标轴边为坐标轴,尽可能多的把图形中的点、线放到坐标轴尽可能多的把图形中的点、线放到坐标轴上上.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的
2、打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建以随便建.()(2)(2)圆圆O O上一动点上一动点M M与圆与圆O O外一定点外一定点P P的距离的最小值为的距离的最小值为|PO|-|OM|.|PO|-|OM|.()(3)(3)已知点已知点P(xP(x1 1,y,y1 1)和和Q(xQ(x2 2,y,y2 2),),若若x x1 1=x=x2 2,y,y1 1yy2 2,则则PQPQ与与x x轴垂直轴垂直.()【提示提示】(1)(1).建立不同的坐标系建立不同的坐标系,对解决问题有直接对解决问题有直
3、接影响影响,应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系.(2).(2).数形结合可知数形结合可知,当当P,O,MP,O,M三点共线三点共线,且且M M在在P,OP,O之间之间时时,距离最小距离最小.(3).(3).若若x x1 1=x=x2 2,y,y1 1yy2 2,则直线则直线PQPQ的斜率不存在的斜率不存在,直线直线PQPQ与与x x轴垂直轴垂直.2.2.方程方程y=y=对应的曲线是对应的曲线是()24x【解析解析】选选A.A.由方程由方程y=,y=,得得x x2 2+y+y2 2=4(y0),=4(y0),它它表示的图形是圆表示的图形是圆x x2
4、2+y+y2 2=4=4在在x x轴以下的部分轴以下的部分.24x3.3.如图如图,圆弧形拱桥的跨度圆弧形拱桥的跨度AB=12AB=12米米,拱高拱高CD=4CD=4米米,则拱则拱桥的直径为桥的直径为_._.【解析解析】设圆心为设圆心为O,O,半径为半径为r,r,则由勾股定理得则由勾股定理得OBOB2 2=OD OD2 2+BD+BD2 2,即即r r2 2=(r-4)=(r-4)2 2+6+62 2,解得解得r=,r=,所以拱桥的直径所以拱桥的直径为为1313米米.答案答案:1313米米132类型一直线与圆的实际应用问题类型一直线与圆的实际应用问题【典例典例】为了适应市场需要为了适应市场需要
5、,某地准备建一个圆形生猪某地准备建一个圆形生猪储备基地储备基地(如图所示如图所示),),它的附近有一条公路它的附近有一条公路.从基地中从基地中心心O O处向东走处向东走1 km1 km是储备基地的边界上的点是储备基地的边界上的点A,A,接着向东接着向东再走再走7 km7 km到达公路上的点到达公路上的点B;B;从基地中心从基地中心O O向正北走向正北走8 km8 km到达公路的另一点到达公路的另一点C.C.现准备在储备基地的边界上选一现准备在储备基地的边界上选一点点D,D,修建一条由修建一条由D D通往公路通往公路BCBC的专用线的专用线DE,DE,求求DEDE的最短的最短距离距离.【思维思维
6、引引】建立坐标系建立坐标系,写出直线写出直线BCBC的方程的方程,点点O O到直到直线线BCBC的距离减去半径的距离减去半径,即为即为DEDE的最短距离的最短距离.【解析解析】以以O O为坐标原点为坐标原点,过过OB,OCOB,OC所在的直线分别为所在的直线分别为x x轴和轴和y y轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系(图略图略),),则圆则圆O O的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2=1.=1.因为点因为点B(8,0),C(0,8),B(8,0),C(0,8),所以直线所以直线BCBC的方程为的方程为 =1,=1,即即x+y=8.x+y=8.当点当点D D为与直线为与直线BCBC平
7、行的直线平行的直线(距距BCBC较近的一条较近的一条)与圆的切点时与圆的切点时,|DE|,|DE|为最短距离为最短距离,此时此时DEDE的的长为长为 -1=(4 -1)km.-1=(4 -1)km.xy88|0 0 8|2 2【类题类题通通】求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤(1)(1)认真审题认真审题,明确题意明确题意.(2)(2)建立直角坐标系建立直角坐标系,用坐标表示点用坐标表示点,用方程表示曲线用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程从而在实际问题中建立直线与曲线的方程.(3)(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题利用直线与圆的
8、方程的有关知识求解问题.(4)(4)把代数结果还原为实际问题的解把代数结果还原为实际问题的解.提醒提醒:在实际问题中在实际问题中,有些量具有一定的条件有些量具有一定的条件,转化成代转化成代数问题时要注意范围数问题时要注意范围.【习练习练破破】如图所示如图所示,l是东西走向的一条水管是东西走向的一条水管,在水管北侧有两个在水管北侧有两个半径都是半径都是10 m10 m的圆形蓄水池的圆形蓄水池A,B(A,BA,B(A,B分别为蓄水池的圆分别为蓄水池的圆心心),),经测量经测量,点点A,BA,B到水管到水管l的距离分别为的距离分别为55 m55 m和和25 m,25 m,AB=50 m.AB=50
9、m.以以l所在直线为所在直线为x x轴轴,过点过点A A且与且与l垂直的直线为垂直的直线为y y轴轴,建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系(O(O为坐标原点为坐标原点).).(1)(1)求圆求圆B B的方程的方程.(2)(2)计划在水管计划在水管l上的点上的点P P处安装一接口处安装一接口,并从接口出发铺设两条水管并从接口出发铺设两条水管,将将l中的水中的水引到引到A,BA,B两个蓄水池中两个蓄水池中,问点问点P P到点到点O O的距离为多少时的距离为多少时,铺铺设的两条水管总长度最小设的两条水管总长度最小?并求出该最小长度并求出该最小长度.【解析解析】(1)(1)过点过点
10、B B作作BCOABCOA于点于点C,C,如图所示如图所示,则在则在RtRtABCABC中中,AB=50,AC=55-25=30,AB=50,AC=55-25=30,所以所以BC=40.BC=40.又又B B到到x x轴轴的距离为的距离为25,25,所以所以B(40,25),B(40,25),所以圆所以圆B B的方程为的方程为(x-40)(x-40)2 2+(y-25)+(y-25)2 2=100.=100.(2)(2)设圆设圆A A关于关于x x轴对称的圆为圆轴对称的圆为圆D,D,则圆则圆D:xD:x2 2+(y+55)+(y+55)2 2=100,D(0,-55).=100,D(0,-55
11、).又又B(40,25),B(40,25),所以所以k kDBDB=2,=2,所以直线所以直线BDBD的方程为的方程为2x-y-55=0.2x-y-55=0.因为因为|AP|=|DP|,|AP|=|DP|,所以所以|AP|+|BP|=|DP|+|BP|,|AP|+|BP|=|DP|+|BP|,所以当点所以当点D,P,BD,P,B三点共线时三点共线时|DP|+|BP|DP|+|BP|最小最小,即即|AP|+|BP|AP|+|BP|最小最小,最最小值为小值为|BD|=|BD|=255540 0（）22408040 5.由由 解得解得 即点即点P P到点到点O O的距离为的距离为 m m时时,铺设的
12、两条水管总长度最小铺设的两条水管总长度最小,最小为最小为(40 -(40 -20)m.20)m.2xy550y0 ，55x2y0，5525【加练加练固固】如图如图,一座圆拱桥一座圆拱桥,当水面在当水面在m m位置时位置时,拱顶离水面拱顶离水面2 2米米,水面宽水面宽1212米米.当水面下降当水面下降1 1米后水面宽多少米米后水面宽多少米?【解析解析】以圆拱拱顶为坐标原点以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直以过拱顶顶点的竖直直线为直线为y y轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系,设圆心为设圆心为C,C,水面所在弦的端点为水面所在弦的端点为A,B,A,B,则由已知可得则由已知可得:A(6,-2)
13、,A(6,-2),设圆的半径为设圆的半径为r,r,则则C(0,-r),C(0,-r),即圆的方程为即圆的方程为x x2 2+(y+r)+(y+r)2 2=r=r2 2.将将A A的坐标代入圆的方程可得的坐标代入圆的方程可得r=10,r=10,所以所以圆的方程是圆的方程是:x:x2 2+(y+10)+(y+10)2 2=100,=100,则当水面下降则当水面下降1 1米后可设米后可设AA的坐标为的坐标为(x(x0 0,-3)(x,-3)(x0 00)0)代入圆的方程可得代入圆的方程可得x x0 0=,=,所以当水面下降所以当水面下降1 1米后米后,水面宽为水面宽为2 2 米米.5151类型二坐标
14、法的应用类型二坐标法的应用【典例典例】如图如图,在在ABCABC中中,D,E,F,D,E,F分别为分别为BC,AC,ABBC,AC,AB的中的中点点,用坐标法证明用坐标法证明:(|AB|:(|AB|2 2+|BC|+|BC|2 2+|AC|+|AC|2 2)=|AD|)=|AD|2 2+|BE|BE|2 2+|CF|+|CF|2 2.34【思维思维引引】建立直角坐标系建立直角坐标系,设出点设出点A,B,C,DA,B,C,D的坐标的坐标,利用已知关系确定坐标关系即可利用已知关系确定坐标关系即可.【解析解析】以以B B为原点为原点,BC,BC为为x x轴建立平面直角坐标系如图轴建立平面直角坐标系如
15、图所示所示:设设C(a,0),A(b,c),C(a,0),A(b,c),则则 由左边公由左边公式可得式可得,左边左边=(|AB|=(|AB|2 2+|BC|+|BC|2 2+|AC|+|AC|2 2)=(b)=(b2 2+c+c2 2+a+a2 2+a+a2 2-2ab+b-2ab+b2 2+c+c2 2)=(a)=(a2 2+b+b2 2+c+c2 2-ab),-ab),同理可得同理可得,右边右边=|AD|=|AD|2 2+|BE|+|BE|2 2+|CF|+|CF|2 2=(a =(a2 2+b+b2 2+c+c2 2-ab),-ab),所以所以 (|AB|(|AB|2 2+|BC|+|B
16、C|2 2+|AC|AC|2 2)=|AD|)=|AD|2 2+|BE|+|BE|2 2+|CF|+|CF|2 2.ab cab cD(,0),F(,),E(,)22 222，343432222aba(b)c24222cbc(a)4243234【内化内化悟悟】利用坐标法证明几何问题有什么优点利用坐标法证明几何问题有什么优点?提示提示:将图形关系证明转化为坐标计算将图形关系证明转化为坐标计算,简化了烦琐的简化了烦琐的几何证明过程几何证明过程.【类题类题通通】坐标法建立直角坐标系应坚持的原则坐标法建立直角坐标系应坚持的原则(1)(1)若有两条相互垂直的直线若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为一
17、般以它们分别为x x轴和轴和y y轴轴.(2)(2)充分利用图形的对称性充分利用图形的对称性.(3)(3)让尽可能多的点落在坐标轴上让尽可能多的点落在坐标轴上,或关于坐标轴对称或关于坐标轴对称.(4)(4)关键点的坐标易于求得关键点的坐标易于求得.【习练习练破破】已知点已知点P P为正方形为正方形ABCDABCD内一点内一点,且满足且满足PAB=PBA=PAB=PBA=15 15,用坐标法证明用坐标法证明PCDPCD为等边三角形为等边三角形.(tan 15(tan 15=2-)=2-)3【证明证明】设正方形的边长为设正方形的边长为2,2,以以P P为坐标原点建立如图为坐标原点建立如图所示的坐标
18、系所示的坐标系,则则B(1,-tan15B(1,-tan15),C(1,2-tan15),C(1,2-tan15),D(-1,2-tan15),D(-1,2-tan15),),因为因为tan15tan15=2-,=2-,所以所以C(1,),D(-1,),C(1,),D(-1,),所以所以|PC|=|PD|=|CD|=2,|PC|=|PD|=|CD|=2,所以所以PCDPCD为等边三角形为等边三角形.333【加练加练固固】在在ABCABC中中,D,D是是BCBC边上任意一点边上任意一点(D(D与与B,CB,C不重合不重合),),且且|AB|AB|2 2=|AD|=|AD|2 2+|BD|DC|,
19、+|BD|DC|,求证求证:ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.【证明证明】如图如图,作作AOBC,AOBC,垂足为垂足为O,O,以以BCBC所在直线为所在直线为x x轴轴,以以OAOA所在直线为所在直线为y y轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系.设设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为因为|AB|AB|2 2=|AD|=|AD|2 2+|BD|+|BD|DC|,|DC|,所以由两点间的距离公式所以由两点间的距离公式,得得b b2 2+a+a2 2=d d2 2+a+a2 2+(d-b)(c-d),+(d-b)(
20、c-d),即即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d),-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d),又又d-d-b0,b0,故故-b-d=c-d,-b-d=c-d,即即-b=c,-b=c,所以所以ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.类型三与圆相关的最值问题类型三与圆相关的最值问题角度角度1 1利用几何意义求最值利用几何意义求最值【典例典例】(2019(2019抚顺高一检测抚顺高一检测)已知方程已知方程x x2 2+y+y2 2+4x-+4x-2y-4=0,2y-4=0,则则x x2 2+y+y2 2的最大值是的最大值是()A.6 A.6 B.3+B.3+C.14+6 C.14+6 D.
21、14D.14555【思维思维引引】利用利用x x2 2+y+y2 2=的几何意的几何意义求最值义求最值.222(x0y0)（）【解析解析】选选C.C.方程方程x x2 2+y+y2 2+4x-2y-4=0+4x-2y-4=0变形为变形为(x+2)(x+2)2 2+(y-+(y-1)1)2 2=9,=9,表示圆心为表示圆心为(-2,1),(-2,1),半径为半径为3 3的圆的圆,画出相应的图画出相应的图形形,如图所示如图所示:连接连接OBOB并延长并延长,与圆与圆B B交于交于A A点点,此时此时x x2 2+y+y2 2的最大值为的最大值为|AO|AO|2 2,又又|AO|=|AB|+|BO|
22、=|AO|=|AB|+|BO|=则则|AO|AO|2 2=(3+)=(3+)2 2=14+6 ,=14+6 ,即即x x2 2+y+y2 2的最大值为的最大值为14+6 .14+6 .2232135，555【素养素养探探】在利用几何意义求最值时在利用几何意义求最值时,常常用到核心素养中的直观常常用到核心素养中的直观想象想象,可以将式子变形可以将式子变形,赋予其几何意义赋予其几何意义,再利用几何性再利用几何性质求最值质求最值.本例的条件不变本例的条件不变,试求试求|x+y+6|x+y+6|的最小值的最小值.【解析解析】|x+y+6|=|x+y+6|=表示圆上点到直线表示圆上点到直线x+y+6=0
23、 x+y+6=0的距离的的距离的 倍倍,最小为圆心到直线的距离减最小为圆心到直线的距离减半径的半径的 倍倍,即即 22xy62,1122222 1 62(3)53 2.11 角度角度2 2与切线相关的最值与切线相关的最值【典例典例】点点P P在直线在直线4x+3y+20=04x+3y+20=0上上,PA,PB,PA,PB与圆与圆x x2 2+y+y2 2=4=4相切于相切于A,BA,B两点两点,则四边形则四边形PAOBPAOB面积的最小值为面积的最小值为_._.【思维思维引引】利用切线的性质表示出面积利用切线的性质表示出面积,确定决定面确定决定面积最值的量积最值的量,从而求该量的最小值从而求该
24、量的最小值.【解析解析】根据题意根据题意,圆的方程为圆的方程为x x2 2+y+y2 2=4,=4,则圆心则圆心(0,0),(0,0),半径半径r=2,r=2,又由又由|PA|=|PB|,PAOA,PBOB,|PA|=|PB|,PAOA,PBOB,则则S S四边形四边形PAOBPAOB=2S=2SPAO PAO=2=2|PA|PA|AO|=2PA,AO|=2PA,在在RtRtPAOPAO中中,有有|PA|PA|2 2=|PO|=|PO|2 2-r r2 2=|PO|=|PO|2 2-4,-4,则当则当POPO最小时最小时,PA,PA最小最小,此时所求的面积也最此时所求的面积也最小小,点点P P
25、是直线是直线4x+3y+20=04x+3y+20=0上的动点上的动点,则则POPO的最小值为的最小值为d=d=4,PA =4,PA的最小值为的最小值为 故故S S四边形四边形PAOBPAOB=2PA4 .=2PA4 .12201692d4 2 3，3答案答案:4 4 3【类题类题通通】1.1.利用直线与圆的方程解决最值问题的方法利用直线与圆的方程解决最值问题的方法(1)(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题的直观性来分析解决问题
26、,常涉及的几何量有斜率、截常涉及的几何量有斜率、截距、距离等距、距离等.(2)(2)转化成函数解析式转化成函数解析式,利用函数的性质解决利用函数的性质解决.2.2.涉及与圆有关的最值问题涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质可借助图形性质,利用数利用数形结合求解形结合求解,一般地一般地:(1)(1)形如形如u=u=形式的最值问题形式的最值问题,可转化为动直线斜可转化为动直线斜率的最值问题率的最值问题.ybxa(2)(2)形如形如(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2形式的最值问题形式的最值问题,可转化为点可转化为点(x,y)(x,y)与点与点(a,b)(a,b)的距离最值问题
27、的距离最值问题.(3)(3)形如形如|Ax+By+C|Ax+By+C|形式的最值问题形式的最值问题,可以转化为点可以转化为点(x,y)(x,y)到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离的最值的的距离的最值的 倍问题倍问题.22AB【习练习练破破】1.(20191.(2019长春高一检测长春高一检测)已知两点已知两点A(0,-3),B(4,0),A(0,-3),B(4,0),若点若点P P是圆是圆x x2 2+y+y2 2-2y=0-2y=0上的动点上的动点,则则ABPABP面积的最小面积的最小值为值为()A.6A.6B.B.C.8C.8D.D.112212【解析解析】选选B.B.
28、求求ABPABP面积的最小值面积的最小值,即求即求P P到直线到直线ABAB的的最小值最小值,即为圆心到直线即为圆心到直线ABAB的距离减去半径的距离减去半径.直线直线ABAB的的方程为方程为3x-4y-12=0,3x-4y-12=0,圆圆x x2 2+y+y2 2-2y=0,-2y=0,即即x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,圆心圆心为为(0,1),(0,1),半径为半径为1.1.因为圆心到直线因为圆心到直线ABAB的距离为的距离为d=d=所以所以P P到直线到直线ABAB的最小值为的最小值为 因为因为|AB|=5,|AB|=5,所以所以ABPABP面积的最小值为面积的最小
29、值为 4 121655，1611155，111115.252 2.2.已知实数已知实数x,yx,y满足方程满足方程x x2 2+y+y2 2-4x-1=0,-4x-1=0,则则y-2xy-2x的最小的最小值和最大值分别为值和最大值分别为()A.-9,1A.-9,1B.-10,1B.-10,1C.-9,2C.-9,2D.-10,2D.-10,2【解析解析】选选A.A.根据题意根据题意,设设z=y-2x,z=y-2x,则则y=2x+z,y=2x+z,则则z z可看可看作是直线作是直线y=2x+zy=2x+z在在y y轴上的截距轴上的截距,方程方程x x2 2+y+y2 2-4x-1=0,-4x-1
30、=0,即即(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=5,=5,表示以表示以(2,0)(2,0)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆,如如图所示图所示,5当直线当直线y=2x+zy=2x+z与圆相切时与圆相切时,纵截距纵截距z z取得最大值或最小取得最大值或最小值值,此时有此时有 解得解得z=-9z=-9或或1,1,则则y-2xy-2x的最的最大值为大值为1,1,最小值为最小值为-9.-9.2 20z55，【加练加练固固】(2019(2019海淀高一检测海淀高一检测)由直线由直线y=x+3y=x+3上的点向圆上的点向圆(x-(x-3)3)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1引切线引切线,则
31、切线长的最小值为则切线长的最小值为_._.【解析解析】根据题意根据题意,设圆设圆(x-3)(x-3)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1的圆心为的圆心为C,C,则则C(3,-2),C(3,-2),其半径为其半径为1,1,设设P P为直线为直线y=x+3y=x+3上任意一点上任意一点,过过点点P P向圆向圆C C引切线引切线,切点为切点为T,T,则则|PT|=,|PT|=,则当则当|PC|PC|最小时最小时,|PT|,|PT|最小最小,而而|PC|PC|的最小值为的最小值为C C到直线的到直线的2PC1距离距离d,d,且且d=d=则切线长则切线长|PT|PT|的最小值的最小值为为 答案答案:3234 21 1，32 131.31
