1、第十八章 小结(2)矩形中的折叠问题人教版 课标版数学八年级下册第1页，共16页。忆一忆忆一忆1 1：如图矩形：如图矩形ABCDABCD，你能说说它有哪些性质？，你能说说它有哪些性质？边：边：AB=CD ,BC=ADAB=CD ,BC=AD ABCD ,BCADABCD ,BCAD角：角：BAD=ABC=BCD=CDA=90BAD=ABC=BCD=CDA=90对角线：对角线：OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD第2页，共16页。活动规则：把手中的矩形纸片活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次折叠一次。请你再试折几次，从几何学习的角度，你对折叠后的哪个图形最感请你再试折几次，从几何学习的角度
2、，你对折叠后的哪个图形最感兴趣？兴趣？你想一想为什么折叠生成了不同的图形？你想一想为什么折叠生成了不同的图形？折一折折一折第3页，共16页。问题问题1 1：如图：如图,矩形纸片矩形纸片ABCABCD.D.若若P P是边是边ABAB上一点，沿折痕上一点，沿折痕PDPD折叠折叠,使点使点A A落在落在BCBC上的上的E E处处.请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。找一找找一找第4页，共16页。由折叠的性质：AP=PE,AD=DE,A=PED=90,APD=EPD,EDP=ADP.请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。对照表格，反思问题2的解题过程，你从
3、中领悟到了什么？两者结合的新数量关系：DE=BC,BPE=CED,BEP=CDE.角平分线遇平行线时出现的等腰三角形；（2）问题解决主要采用了什么方法？问题1：如图,矩形纸片ABCD.问题1：如图,矩形纸片ABCD.问题3：如图，矩形纸片ABCD，沿折痕PQ折叠,使点A落在BC上的E处.第十八章 小结(2)矩形中的折叠问题角平分线遇平行线时出现的等腰三角形；首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决折叠问题的基本条件.请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。问题问题1 1：如图：如图,矩形纸片矩形纸片ABCABCD.D.若若P
4、P是边是边ABAB上一点，沿折痕上一点，沿折痕PDPD折叠折叠,使点使点A A落在落在BCBC上上的的E E处处.在找图中相等的线段和相等的角时，你关注了哪些方面的知识？在找图中相等的线段和相等的角时，你关注了哪些方面的知识？理一理理一理由矩形的性质：由矩形的性质：AB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC,A=B=C=ADC=90 A=B=C=ADC=90,CED=EDA,CED=EDA由折叠的性质：由折叠的性质：AP=PE,AD=DE,A=PED=90AP=PE,AD=DE,A=PED=90,APD=EPD,EDP=ADP.APD=EPD,EDP=ADP.两者结合的新数量关系：两者结合
5、的新数量关系：DE=BC,DE=BC,BPE=CED,BEP=CDE.BPE=CED,BEP=CDE.第5页，共16页。问题问题1 1：如图：如图,矩形纸片矩形纸片ABCABCD.D.若若P P是边是边ABAB上一点，沿折痕上一点，沿折痕PDPD折叠折叠,使点使点A A落在落在BCBC上的上的E E处处.若若ABAB=6cm=6cm，BC=10cmBC=10cm，你能求出哪些线段的长？，你能求出哪些线段的长？练一练练一练第6页，共16页。理一理理一理对照表格，反思问题对照表格，反思问题1 1的解题过程，要解决好折叠问题，你要关注什么？的解题过程，要解决好折叠问题，你要关注什么？相关的知识点相关
6、的知识点涉及的基本图形涉及的基本图形解题思想方法解题思想方法 全等形全等形 直角三角形直角三角形“K”K”型型数形结合数形结合勾股定理勾股定理方程思想方程思想第7页，共16页。角平分线遇平行线时出现的等腰三角形；问题3：如图，矩形纸片ABCD，沿折痕PQ折叠,使点A落在BC上的E处.关注图中的等线段，等角；在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK.人教版 课标版数学八年级下册若AB=6cm，BC=10cm，你能求出哪些线段的长？请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。（2）问题解决主要采用了什么方法？问题1：如图,矩形纸片ABCD.
7、由折叠的性质：AP=PE,AD=DE,A=PED=90,APD=EPD,EDP=ADP.若AB=6cm，BC=10cm，你能求出哪些线段的长？你能猜出重叠部分MBD是什么形状，说明理由。其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊图形，这些是解决问题的关键.人教版 课标版数学八年级下册关注图中的等线段，等角；若AB=6cm，BC=8cm，当点E与点C重合时，求出折痕PQ的长.问题问题2 2：如图，矩形纸片：如图，矩形纸片ABCABCD.D.沿折痕沿折痕BDBD折叠折叠,BE,BE与与ADAD交于交于M M点点.你能猜出
8、重叠部分你能猜出重叠部分MBDMBD是什么形状，说明理由。是什么形状，说明理由。猜一猜猜一猜第8页，共16页。问题问题2 2：如图，矩形纸片：如图，矩形纸片ABCABCD.D.沿折痕沿折痕BDBD折叠折叠,使点使点A A落在落在BCBC上的上的E E处，处，BEBE与与ADAD交于交于M M点点.若若ABAB=6cm=6cm，BC=10cmBC=10cm，求重合部分，求重合部分MBDMBD的面积。的面积。练一练练一练第9页，共16页。理一理理一理对照表格，反思问题对照表格，反思问题2 2的解题过程，你从中领悟到了什么？的解题过程，你从中领悟到了什么？相关的知识点相关的知识点涉及的基本图形涉及的
9、基本图形解题思想方法解题思想方法 关注图中的等线段，等角，关注图中的等线段，等角，直角；直角；角平分线遇平行线时出现角平分线遇平行线时出现的等腰三角形。的等腰三角形。等腰三角形等腰三角形 直角三角形直角三角形勾股定理勾股定理方程思想方程思想第10页，共16页。问题问题3 3：如图，矩形纸片：如图，矩形纸片ABCABCD D，沿折痕，沿折痕PQPQ折叠折叠,使点使点A A落在落在BCBC上的上的E E处处.连接连接AP,EQ.AP,EQ.请你猜一猜四边形请你猜一猜四边形APEQAPEQ是什么形状？并证明之。是什么形状？并证明之。证一证证一证第11页，共16页。问题问题3 3：如图，矩形纸片：如图
10、，矩形纸片ABCABCD D，沿折痕，沿折痕PQPQ折叠折叠,使点使点A A落在落在BCBC上的上的E E处处.连接连接AP,EQ.AP,EQ.证明四边形证明四边形APEQAPEQ是菱形，你还有新方法吗？是菱形，你还有新方法吗？想一想想一想O O第12页，共16页。问题问题3 3：如图，矩形纸片：如图，矩形纸片ABCABCD D，沿折痕，沿折痕PQPQ折叠折叠,使点使点A A落在落在BCBC上的上的E E处处.连接连接AP,EQ.AP,EQ.若若ABAB=6cm=6cm，BC=8cmBC=8cm，当点，当点E E与点与点C C重合时，求出折痕重合时，求出折痕PQPQ的长的长.练一练练一练第13
11、页，共16页。理一理理一理对照表格，反思问题对照表格，反思问题3 3的解题过程，你从中领悟到了什么？的解题过程，你从中领悟到了什么？相关的知识点相关的知识点涉及的基本图形涉及的基本图形解题思想方法解题思想方法 关注图中的等线段，等角；关注图中的等线段，等角；角平分线遇平行线时出现的等角平分线遇平行线时出现的等腰三角形；腰三角形；对称点的连线被对称轴垂直平对称点的连线被对称轴垂直平分；分；等腰三角形等腰三角形 直角三角形直角三角形“X”X”型型菱形菱形数形结合数形结合转化思想方转化思想方程思想勾股程思想勾股定理定理等面积法等面积法第14页，共16页。对照下面几个问题谈谈你本节课的收获：对照下面几
12、个问题谈谈你本节课的收获：（1 1）本节课的研究了什么问题？）本节课的研究了什么问题？（2 2）问题解决主要采用了什么方法？）问题解决主要采用了什么方法？（3 3）还有那些疑问？）还有那些疑问？说一说说一说矩形中的折叠矩形中的折叠矩形中的折叠问题的解题常规思路：矩形中的折叠问题的解题常规思路：首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决折叠问题的基本条件相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决折叠问题的基本条件.其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识
13、经验，挖掘常见的基其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊图形，这些是解决问题本图形，从而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊图形，这些是解决问题的关键的关键.再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理，是计算边长的常用的数学思再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理，是计算边长的常用的数学思想方法想方法.第15页，共16页。如图，如图，ABCDABCD是一张矩形纸片，是一张矩形纸片，ADAD=BCBC=1=1，ABAB=CDCD=5.=5.在矩形在矩形ABCDABCD的边的边ABAB上取上取一点一点M M，在，在CDCD上取一点上取一点N N，将纸片沿，将纸片沿MNMN折叠，使折叠，使MBMB与与DNDN交于点交于点K K，得到，得到MNK.MNK.21(1)(1)MNKMNK的面积能否小于的面积能否小于?若能，求出此时若能，求出此时1 1的度数；若不能，试说的度数；若不能，试说明理由；明理由；(2)(2)如何折叠能够使如何折叠能够使MNKMNK的面积最大的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况，请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。求最大值。能力延伸能力延伸 第16页，共16页。
