1、八年级八年级 上册上册13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题引言：引言：前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题将军饮马问题”引入新知引入新知问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里
2、有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马
3、问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知探索新知BAl追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl（1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路
4、程之和；地的路程之和；探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小
5、（如图）的和最小（如图）BAlC追问追问1对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度相等？相等？探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlA追问追问2你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？探索新知探索新知问题问题2 如图，点
6、如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？BlA作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC探索新知探索新知问题问题
7、3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC证明：证明：在在ABC中中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+
8、BC 最短最短若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC，就说明，就说明AC+BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC追问追问1证明证明AC+BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？BlABCC运用新知运用新
9、知练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥运用新知运用新知基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC
10、上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥造桥选址问题造桥选址问题如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从乔早在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析思维分析BA 1、如图假定任选位置造、如图假定任选位置造桥，连接和，从桥，连接和，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短那么怎样确定什么情况下最短呢？呢？2、利用线段公理解决问题
11、我们遇到了什、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？么障碍呢？我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BN的前提的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？我们呢？思维火花思维火花各抒己见各抒己见1、把、把A平移到岸边平移到岸边.2、把、把B平移到岸边平移到岸边.3、把桥平移到和、把桥平移到和A相连相连.4、把桥平移到和、把桥平移到和B相连相连.上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请不变呢？请检验检验.合作与交流合作与交流1、2两种方法改变了两种方法改变了.怎样调整呢？怎样调整呢？把把A或或B分别向下或上平移一个桥长
12、分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢?问题解决问题解决BAA1MN如图，平移如图，平移A到到A1，使，使A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此交河岸于作桥，此时路径时路径最短最短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转转化为化为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN问题延伸一问题延伸一如图，如图，A和和B两地之间两地之间有两条河，现要在两有两条河，现要在两条河上各造一座桥条河上各造一座桥MN和和PQ.桥分别建在何处桥分别建在
13、何处才能使从才能使从A到到B的路径的路径最短？（假定河的两最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）要与河岸垂直）思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+桥桥MN和和PQ在中间，且方向不在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用能改变，仍无法直接利用“两两点之间，线段最短点之间，线段最短”解决问题，解决问题，只有利用平移变换转移到两侧只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移平移的方法有三种：两个桥长都平移到到A点处、都平移到点处、都平移到B点处、点处、MN平移平移到到A点处
14、，点处，PQ平移到平移到B点处点处思维方法一思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至点至AA1使使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题，此时问题转化为问题基本题型两点（型两点（A1、B点）和一条河建桥（点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至至A2，使使A1A2=PQ.（2）连接）连接A2B交交A2的对岸的对岸Q点，在点处建桥点，在点处建桥PQ.3、确定、确定PQ的位置，也确定了的位置，也确定了BQ和和PQ，此时问题，此时问题可
15、转化为由可转化为由A点、点、P点和第一条河确定桥点和第一条河确定桥MN的位置的位置.连接连接A1P交的对岸于点，在点处建桥交的对岸于点，在点处建桥问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把点、，使点、，使，；连接交于点相邻连接交于点相邻河岸于点，建桥；河岸于点，建桥；连接交的对岸连接交的对岸于点，建桥；于点，建桥；从点到点的最短路径从点到点的最短路径为为MMN思维方法二思维方法二 沿垂直于第一条河岸方沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接点至点，连接A1B1 分别交分别交A、B的对岸于的对岸于N、P两点
16、，建桥两点，建桥MN和和PQ.最短路径最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三思维方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B点平移至点平移至B、B，使，使BBPQ，BBMN；连接连接BA交于交于A点相邻河点相邻河岸于岸于M点，建桥点，建桥MN；连接连接BN交交B的对岸于的对岸于P点，建桥点，建桥PQ；从点到点的最短路径从点到点的最短路径为为MMNNP转化转化为为AB2+B2B1+B1B问题延伸二问题延伸二如图，如图，A和和B两地之间两地之间有三条河，现要在两有三条河，现要在两条河上各造一座桥条河上各造一座桥MN、PQ和和GH.桥分别建在桥分
17、别建在何处才能使从何处才能使从A到到B的的路径最短？（假定河路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）桥要与河岸垂直）思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB桥桥MN、PQ和和GH在中间，且方在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”解决解决问题，只有利用平移变换转移问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移平移的方法有四种：三个桥长都平移到到A点处；都平移到点处；都平移到B点处
18、；点处；MN、PQ平移到平移到A点处；点处；PQ、GH平移到平移到B点处点处问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平点平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接连接A3B交于交于B点相邻河岸于点相邻河岸于H点，建桥点，建桥GH；连接连接A2G交第二河与交第二河与G对岸的对岸的P点，建桥点，建桥PQ；连接连接A1P交第一条河与交第一条河与A的对岸的对岸于于N点，建桥点，建桥MN.此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平点平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接连
19、接A3B交于交于B点相邻河岸于点相邻河岸于H点，建桥点，建桥GH；连接连接A2G交第二河与交第二河与G对岸的对岸的P点，建桥点，建桥PQ；连接连接A1P交第一条河与交第一条河与A的对岸的对岸于于N点，建桥点，建桥MN.此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平移点平移至至A，使，使AAMN，平移，平移B点至点至B1、B2,使使BB1GH，B1B2=PQ；连接连接A1B2交第一条河与交第一条河与A点相对河点相对河岸于岸于N点，交第二条河与点，交第二条河与N相邻河岸相邻河岸于于P点，建桥点，建桥MN、PQ；连接连接B1Q交第三条河与
20、交第三条河与Q相邻河岸相邻河岸的的G点，建桥点，建桥GH；此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平移点平移至至A、A2，使，使AAMN，平移，平移B点至点至B1,使使BB1GH；连接连接AB交第三条河与点相对交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、河岸于点，建桥、PQ；连接连接1交第一条河与相邻河岸交第一条河与相邻河岸的点，建桥；的点，建桥；此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决延伸小结延伸小结同样，当、两点之间有、同样，当、两点之间有、，条河时，我们仍可以利用，条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题平移转化桥长来解决问题 例如例如：沿垂直于河岸方向平移点依次至沿垂直于河岸方向平移点依次至、3，An,平移距离分平移距离分别等于各自河宽，别等于各自河宽，AnB交第交第n条河近条河近B点河岸于点河岸于Nn,建桥建桥MnNn,连接连接MnAn-1交第交第(n-1）条河近）条河近B点河岸与点河岸与Nn-1,建桥建桥Mn-1Nn-1，.，连接，连接M1A交第一条河近交第一条河近B点河岸于点河岸于N1，建桥，建桥M1N1,此时所走路径最短此时所走路径最短.
