1、12.2.2椭圆的简单椭圆的简单几何性质（几何性质（2）2标准方程标准方程范围范围对称性对称性 顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系22221(0)xyabab|x|a,|y|b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短短半轴长为半轴长为b.b.ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|b,|y|a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(
2、0,-c)同前同前同前同前同前同前3例例:求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于长轴长等于20，离心率，离心率3/5。22194xy解解：方法一：设方程为方法一：设方程为mx2ny21（m0，n0，mn），），将点的坐标将点的坐标方程，求出方程，求出m1/9,n1/4。方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点分别是椭圆长轴与短轴
3、的一个端点，故，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定型；定型；定量定量22110064xy22110064yx或或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程43 3：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P P（3 3，0 0），），求椭圆的方程。求椭圆的方程。2222119981xxyy或分类讨论分类讨论的数学思想的数学思想232ab3ab3,1ab39ba或，5是离心率
4、常数定直线叫椭圆的准线定点是椭圆的焦点这个点的轨迹是椭圆时（常数比是到一条定直线的距离的与一个定点的距离和它当点eeac,)10eM椭圆第二定义:xyl l.FF O.Md62.2.2 2.2.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质1-点、直线与椭圆的位置关系点、直线与椭圆的位置关系2-弦长公式弦长公式7探究探究点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？类比圆可类比圆可以吗？以吗？点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系8D练一下练一下9回忆：直线与圆的位置关系回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法(
5、代数法代数法)联立直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与圆相交直线与圆相交有两个公共点；有两个公共点；(2)=0 直线与圆相切直线与圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点；(3)0 直线与圆相离直线与圆相离无公共点无公共点通法通法10直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类种类:相离相离(没有交点没有交点)相切相切(一个交点一个交点)相交相交(二个交点二个交点)11 直线与椭圆的位置关系的判定直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m 0）Ax+By+C=0由方程组：由方程组：0相交相交方程组有两解方程组有两解两个交
6、点两个交点代数方法代数方法=n2-4mp12222xy+=ab121.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法(代数法代数法)联立直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点；(2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公有且只有一个公共点；共点；(3)k-3366-k0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？则原方程组有两组解则原方程组有两组解.-(1)由韦达定理由韦达定理
7、51542121xxxx222212121212126()()2()2()425ABxxyyxxxxx x 1.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系18设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜的斜率为率为k弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk2.弦长公式弦长公式19例例3.已知斜率为已知斜率为1的直线的直线l过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长2.弦长公式弦长公式20例例 4.已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点引一弦，使弦在这点被平
8、分，求此弦所在直线的方程被平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造弦中点问题弦中点问题21点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差弦中点问题弦中点问题例例 4.已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程被平分，求此弦所在直线的方程.22例例4.已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，
9、求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，弦中点问题弦中点问题231、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式：|AB|=（适用于任何曲线
10、）（适用于任何曲线）21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结结243、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式：|AB|=（适用于任何曲线）（适用于任何曲线）21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结
11、结251.1.对于椭圆对于椭圆 222210 xyabba椭圆上的点到椭圆中心的距离椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值的最大值和最小值分别是和最小值分别是O OM Mx xy y最大值为最大值为a a，最小值为，最小值为b.b.新知探究新知探究椭圆中的几个最值：椭圆中的几个最值：262.2.椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最 大值和最小值分别是什么？大值和最小值分别是什么？O OM Mx xy yF F新知探究新知探究27A1F2F1B2B1A2xyOM化为关于化为关于x的二次函数的最值问题的二次函数的最值问题.2200221xyab又M00设（x,y）22MF|=2
12、200则|（x-c)+y2222cMF|=aa220|（x-)caa 0 x2|;a MFac 0当x，有最大值2|;a MFac0当x，有最小值28A1F2F1B2B1A2xyOM|MF2|min=|A2F2|=a-c|MF2|max=|A1F2|=a+c293.3.点点M M在椭圆上运动，当点在椭圆上运动，当点M M在什么位在什么位置置 时，时，F F1 1MFMF2 2为最大？为最大？F F1 1O OF F2 2x xy yM M 点点M M为短轴的端点为短轴的端点.新知探究新知探究此时此时F F1 1MFMF2 2的面的面积最大积最大30专题：求变量的取值范围或最值专题：求变量的取值
13、范围或最值思想方法：思想方法：1.1.函数法：函数法：2.2.不等式法：不等式法：3.3.几何法：几何法：化归为求函数值域或最值化归为求函数值域或最值建立变量不等式并求解建立变量不等式并求解从几何图形中确定临界值从几何图形中确定临界值31例例3：(1)椭圆椭圆 的左焦点的左焦点 是两个顶点，如果到是两个顶点，如果到F1直线直线AB的的距距 离为离为 ，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率e=.22221(0)xyabab1(,0),Fc(,0),(0,)AaBb7b题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题:0ABbxayab解 直线方程为122.7FABbcabbdba222bac2227(
14、)2acac2251480aacc24.acac或51.2cea 1232例例3：(2)设设M为椭圆为椭圆 上一点，上一点，为椭圆的焦点，为椭圆的焦点，如果如果 ，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。22221(0)xyabab12FF、122175,15MFFMF F题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题012211275,1590MFFMF FFMF解：，1212sin15sin75sin90MFMFFF由正弦定理：1212sin75sin15sin90MFMFFF22sin75sin15sin90acsin903sin75sin153cea 33练习：练习：12212FFFPFPF()221.C.2-2.2122ABD1.设椭圆的两个焦点分别为、，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ，D34练习：已知椭圆练习：已知椭圆 的离心率的离心率 求求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。标、顶点坐标。22(3)(0)xmym m3,2e 2213xymmm椭圆：222(2),33mm mam bcmm22334mem1m22a长轴长21b短轴长3,0)2焦点坐标(11,0),(0,)2顶点坐标(
