1、 探究探究 类比不等式类比不等式a2+b22ab的推导过程，通过乘法及的推导过程，通过乘法及配方，研究关于它的不等关系配方，研究关于它的不等关系.分析分析 把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。把该式首先展开，再用配方法，问题就可以解决。解：解：展开乘积得展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2即即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2而而(ad-bc)20,因此因此(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2提示提示 上式上式(1)是本节课所
2、要研究的柯西不等是本节课所要研究的柯西不等式式.1.1.认识二维柯西不等式的代数和向量形式认识二维柯西不等式的代数和向量形式.理解二维柯理解二维柯西不等式的几何意义西不等式的几何意义.3.3.掌握柯西不等式的应用掌握柯西不等式的应用.2.2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯通过探究，思考和讨论，使学生从数形两方面认识柯西不等式的代数和向量的等价关系。西不等式的代数和向量的等价关系。1.1.通过探究，从式子变形的角度证出柯西不等式，从通过探究，从式子变形的角度证出柯西不等式，从而认识其代数形式而认识其代数形式.2.2.借助平面向量，从数量积的角度推出二维柯西不借助平面向量，从数量积
3、的角度推出二维柯西不等式的向量形式等式的向量形式.从而给出几何意义。从而给出几何意义。锻炼学生分析问题，解决问题的能力，锻炼学生分析问题，解决问题的能力，并培养其审美观。并培养其审美观。定理定理(1)和定理和定理(2).数形结合认识数形结合认识(1)与与(2)两式的等价关系两式的等价关系.定理定理1（二维形式的柯西不等式）（二维形式的柯西不等式）若若a,b,c,d都是实数，则都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当且仅当当ad=bc时，等号成立时，等号成立.分析分析 你能否证明你能否证明2222abcdacbd 证证 明明 22222222abcdabcd 2.acb
4、dacbd 22222222,.a b c dabcdacbdabcdacbd 对对 于于 任任 何何 实实 数数有有 不不 等等 式式 成成 立立：讨论讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。0 xy,a b,c d 设在平面直角坐标系设在平面直角坐标系xoy中有向量中有向量=(a,b),=(c,d)，与之，与之间的夹角为间的夹角为，0 （如图）（如图）根据向量数量积的定义，有根据向量数量积的定义，有.=cos 用平面向量的坐标表示不等式用平面向量的坐标表示不
5、等式(2)得：得：2222,acbdabcd所以所以.=cos 因为因为cos1,所以所以.定理定理2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式）设设，是两个向量，则是两个向量，则.,当且仅当当且仅当是是零向量或存在实数零向量或存在实数k,使使=k时，等号成立时，等号成立.探究探究 试从不等式试从不等式(1)推导不等式推导不等式(2)，再进行反方向的，再进行反方向的推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。推导，从数形结合的角度体会两者的等价关系。观察观察 如图，在平面直角坐标系中，设点如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据，根
6、据oP1P2 的边长关系，你能发现这四个实数的边长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小关系吗？蕴含着何种大小关系吗？0 xy 111,Pxy 222,Pxy0 xy 111,Pxy 222,Pxy.定理定理3(二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式)112222222211221212,xyxyRxyxyxxyy 设设那那 么么能用柯西不等式证能用柯西不等式证明吗？明吗？证证 明明 22222112222222222111122222xyxyxyxyxyxy x12+y12+2x1x2+y1y2+x22+y22 x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y2
7、2=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2 22222211221212xyxyxxyy 所所 以以分析分析 不等式不等式(3)(3)对于任何实数都成立，于是可以得到：对于任何实数都成立，于是可以得到：2222131323232212124xxyyxxyyxxyy 探究探究 请结合平面直角坐标系，解释不等式请结合平面直角坐标系，解释不等式(4)的的几何意义。几何意义。例例1分析分析 虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西
8、不等式的一致性，既可以避免繁杂了。西不等式的一致性，既可以避免繁杂了。已知已知a,b为实数。为实数。试证试证(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)证证 明明根据柯西不等式，有根据柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2反思反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算思路，又可以简化运算.例例21102.xx 求求 函函 数数 y y=5 5分析分析 利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件
9、。这个函数的解析式一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化成是两部分的和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不等式的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。求其最大值。22221 50.5125521563215512763.27yyxxxxxxx 解解：函函 数数 的的 定定 义义 域域 为为，且且当当 且且 仅仅 当当时时，等等 号号 成成 立立，即即时时 函函 数数 取取 最最 大大 值值例例3,114.a bab 设设R R，a a+b b=1 1,求求 证证分析分析 问题中问题中a+b=1这个条件，由于常数这个条件，由于常数1的特殊性，的特殊性，用用a
10、+b去乘任何数或式子，都不会改变它们的值去乘任何数或式子，都不会改变它们的值.证证 明明 2,11114.1,114.a bRabababababab 由由 于于根根 据据 柯柯 西西 不不 等等 式式，得得又又所所 以以1.1.二维形式的柯西不等式的代数形式二维形式的柯西不等式的代数形式.若若a,b,c,d都是实数，都是实数，则则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当当且仅当ad=bc时，时，等号成立等号成立.2.二维形式的柯西不等式的向量形式二维形式的柯西不等式的向量形式.设设，是两个向量是两个向量，则则.,当且仅当当且仅当是零向量或存在实数是零向量或存在实数k,使使=k时
11、时，等号成等号成立立.3.二维形式的柯西不等式的应用二维形式的柯西不等式的应用.112222222211221212,xyxyRxyxyxxyy 设设那那 么么1.3546yxx 求求 函函 数数的的 最最 大大 值值.225 60.354634565.yyxxxx 解解：函函 数数 定定 义义 域域 为为，且且222.236,211.xyxy 已已 知知求求 证证 222236,1422311.23211.yxyxyxy 证证 明明：因因 为为 2 2x x所所 以以因因 此此习题习题3.1（第（第36页）页）函函 数数 定定 义义 域域 为为，且且当当 且且 仅仅 当当即即时时，函函 数数 有有 最最 大大 值值221.5 6y0y=3x-5+46-x(3+4)(x-5+6-x)=5 4x-5=36-x,134 x=5.25三三 维维 柯柯 西西 不不 等等 式式三三 维维 三三 角角 不不 等等 式式22222221231231122332222221112222221212122.(a+a+a)(b+b+b)(a b+a b+a b);x+y+z+x+y+z(x-x)+(y-y)+(z-z)
