1、北师大版高中数学选修1-2课件1第三章 推理与证明1 归纳与类比1.1 归纳推理 历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望，希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休望，希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地为人类服务止地为人类服务.人们提出过人们提出过许多永动机的设计方案许多永动机的设计方案.最早最早永动机的设计方案是永动机的设计方案是1313世纪世纪的法国人亨内考提出的，后的法国人亨内考提出的，后来人们又提出了各种永动机来人们又提出了各种永动机的设计方案的设计方案.滚珠永动机滚珠永动机软臂永动机软臂永动机阿基米德螺旋永动机阿基米德螺旋永动机磁力型永动机
2、磁力型永动机 从大量的失败案例中，科学界归纳出了一个结从大量的失败案例中，科学界归纳出了一个结论论:不可能制造出永动机不可能制造出永动机.后来，著名科学家罗蒙诺后来，著名科学家罗蒙诺索夫提出了能量守恒定律，从理论上说明了制造永索夫提出了能量守恒定律，从理论上说明了制造永动机是不可能的动机是不可能的.在这里我们用到了数学中的什么原理？请进入在这里我们用到了数学中的什么原理？请进入本节的学习！本节的学习！1.1.结合已学过的数学实例，了解结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义归纳推理的含义.（重点）（重点）2.2.能利用归纳进行简单的推理能利用归纳进行简单的推理.（重点）（重点）3.3.体会并认
3、识归纳推理在数学发体会并认识归纳推理在数学发现中的作用现中的作用.NoImage 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture)是世界是世界近代三大数学难题之一近代三大数学难题之一.哥德巴赫是德国一位中学教哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当年当选为俄国彼得堡科学院院士选为俄国彼得堡科学院院士.1742.1742年，哥德巴赫在教年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两个素数之和的偶数都是两个素数之和.如如6
4、63 33 3，12125 57 7等等.探究点探究点 归纳推理归纳推理公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫写信给当时的大数学家日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想欧拉，提出了以下的猜想:(a)(a)任何一个大于或等于任何一个大于或等于6 6的偶数，都可以表示成两的偶数，都可以表示成两个素数之和个素数之和.(b)(b)任何一个大于或等于任何一个大于或等于9 9的奇数，都可以表示成三的奇数，都可以表示成三个素数之和个素数之和.歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：3 37 71010，3 317172020，131317173030，歌德巴赫猜想歌德巴
5、赫猜想:“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个素数之和的偶数都等于两个素数之和”即即偶数素数素数偶数素数素数改写为改写为:101037，20317，3013176 63+33+3，1 000 1 00029+97129+971，8 83+53+5，1 002=139+863,1 002=139+863,10105+5,5+5,12125+75+7，14147+77+7，16165+11,5+11,18=7+11,18=7+11,，这个结论是否正确呢？人们验证了许多偶这个结论是否正确呢？人们验证了许多偶数，都满足这个规律，但是至今还没有得数，都满足这个规律，但是至今还没有得到证明，
6、这个结论仍然是猜想到证明，这个结论仍然是猜想.例例1 1 在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系棱数、面数满足的关系.解：解：考察一些多面体，考察一些多面体，如图如图1 1所示，将这些多所示，将这些多面体的面数（面体的面数（F F）、）、棱数（棱数（E E）、顶点数）、顶点数（V V）列出，得到）列出，得到右表：右表：多面多面体体面数面数（F F）棱数棱数（E E）顶点顶点数（数（V V）三棱三棱锥锥4 46 64 4四棱四棱锥锥5 58 85 5五棱五棱锥锥6 610106 6三棱三棱柱柱图图1 1从这些事实中，可以归纳出：从
7、这些事实中，可以归纳出：F FV VE E2 2这就是著名的欧拉公式这就是著名的欧拉公式.例例2 2 如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论小？试猜测结论.解：解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作正八边形，它们的周长分别记作p3,p4,p6,p8,可得下表可得下表p3p4p6p84.5643.723.64归纳上述结果，可以发现：面积一定的正多边形中，归纳上述结果，可以发现：面积一定的正多边形中，边数越多，周长越小边数越多，周长越小.于是得到猜测：图形面积一
8、定，于是得到猜测：图形面积一定，圆的周长最小圆的周长最小.提示：提示：在以上各例的推理过程中，它们的共同在以上各例的推理过程中，它们的共同之处是：根据一类事物中部分事物具有某种属之处是：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理我们将这种推理方式称为归纳推理.思考：思考：上述各例的推理过程中，它们的共同之处是上述各例的推理过程中，它们的共同之处是什么？什么？归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理的含义归纳推理的含义观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论
9、获得新结论由部分到整体、由由部分到整体、由个别到一般的推理个别到一般的推理归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立注意注意点评点评:由归纳推理获得的结论由归纳推理获得的结论,仅仅是一种猜想仅仅是一种猜想,未必未必可靠可靠.因此不一定正确因此不一定正确.费马猜想费马猜想:任何形如任何形如 的数都是素的数都是素数数221(N)nn 反例：反例：5229 9216449772 7060417641.12215,222117,422165 537,3221257,例如法国数学家费马观察到例如法国数学家费马观察到1.1.观察观察1+3=4=21+3=4=22 2；1+3+5=9=31+3+5=9
10、=32 2；1+3+5+7=16=41+3+5+7=16=42 2；1+3+5+7+9=25=51+3+5+7+9=25=52 2.你能得出的一般性结论为你能得出的一般性结论为_._.分析：分析：观察各式两边数字特点可得观察各式两边数字特点可得1+3+5+(2n-1)=n1+3+5+(2n-1)=n2 22.2.观察观察(x(x2 2)=2x,(x)=2x,(x4 4)=4x)=4x3 3,(cosx)=-sinx,(cosx)=-sinx，由归，由归纳推理可得：若定义在纳推理可得：若定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(-x)f(-x)=f(x)=f(x)，记，记g(x)g
11、(x)为为f(x)f(x)的导函数，则的导函数，则g(-x)=()g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】【解析】由已知观察偶函数的导函数是奇函数，而由已知观察偶函数的导函数是奇函数，而f(x)f(x)是是R R上的偶函数，所以其导函数上的偶函数，所以其导函数g(x)g(x)必为奇函数，必为奇函数，故故g(-x)=-g(x).g(-x)=-g(x).D D3.(20123.(2012江西高考江西高考)观察下列各式：观察下列各式：a+b=1a+b=1，a a2 2+b+b2 2=3=3，a a3 3+b+b3
12、 3=4=4，a a4 4+b+b4 4=7=7，a a5 5+b+b5 5=11=11，则，则a a1010+b+b1010=()=()A.28 B.76 C.123 D.199A.28 B.76 C.123 D.199分析：分析：由前几项发现规律，归纳猜想结果由前几项发现规律，归纳猜想结果.C C4.4.观察下列各式：观察下列各式：1=11=12 2，2+3+4=32+3+4=32 2，3+4+5+6+7=53+4+5+6+7=52 2，4+5+6+7+8+9+10=74+5+6+7+8+9+10=72 2，可以得出的一般结论是，可以得出的一般结论是（）（）A An+n+（n+1n+1）+
13、（n+2n+2）+（3n-23n-2）=n=n2 2B Bn+n+（n+1n+1）+（n+2n+2）+（3n-23n-2）=（2n-12n-1）2 2C Cn+n+（n+1n+1）+（n+2n+2）+（3n-13n-1）=n=n2 2D Dn+n+（n+1n+1）+（n+2n+2）+（3n-13n-1）=（2n-12n-1）2 2解析解析：分析题设中分析题设中1=11=12 2，2+3+4=32+3+4=32 2，3+4+5+6+7=53+4+5+6+7=52 2，4+5+6+7+8+9+10=74+5+6+7+8+9+10=72 2，各式子左右两边的形式，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一个数的值等，归纳分析后，包括项数，每一个式子第一个数的值等，归纳分析后，即可得到结论即可得到结论.B B1.1.归纳推理的一般思维过程归纳推理的一般思维过程:实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论2.2.归纳推理的特点归纳推理的特点由部分到整体、个别到一般的推理由部分到整体、个别到一般的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础,推测新的结论推测新的结论;具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定成立结论不一定成立.回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？如果你希望成功，当以恒心为良友，以经验为参谋，以当心为兄弟，以希望为哨兵.爱迪生
