1、三角形全等的判定三角形全等的判定观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？几何图形吗？你能再举出生活中的一些类似例子吗？你能再举出生活中的一些类似例子吗？请同学们把一块三角尺按在纸板上，请同学们把一块三角尺按在纸板上，画下图形后，比较观察这两个三角形有画下图形后，比较观察这两个三角形有何关系？从同一张底片冲洗出来的两张何关系？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？能够完全重合吗？全等三角形：全等三角形：能够完全重合的两个三角能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形形叫做全
2、等三角形全等三角形的概念全等三角形的概念点点A 与点与点D、点、点B 与点与点E、点点C 与点与点F 重合，称为重合，称为对应顶点对应顶点；边边AB 与与DE、边、边BC 与与EF、边边AC 与与DF 重合，称为重合，称为对应边对应边；A 与与D、B 与与E、C 与与F 重合，称为重合，称为对应角对应角 请同学们观察下图中的两个三角形，请同学们观察下图中的两个三角形，它们有何对应关系？它们有何对应关系？AB C D E FABC与与DEF是全等的，是全等的，记作：记作：“ABC DEF”，读作：读作：“ABC 全等于全等于DEF”你能用符号表示出这两个全等三角形吗？你能用符号表示出这两个全等三
3、角形吗？AB C D E F全等三角形的对应边全等三角形的对应边相等、对应角相相等、对应角相等等全等三角形的对应边和对应角有何大小关系？全等三角形的对应边和对应角有何大小关系？AB C D E FABCDEFL如图以直线如图以直线L为对称轴，画出三角为对称轴，画出三角形形ABC的对称图形，并指出他们的对称图形，并指出他们的对应顶点，对应边和对应角的对应顶点，对应边和对应角从上面的图形中可以看出，若已知从上面的图形中可以看出，若已知A=60，B=80，相信你一，相信你一定可以求出定可以求出ABC的各个角的大小：的各个角的大小：D=_，E=_，F=_608040已知：如图，已知：如图，ABC DE
4、F（1）若）若DF=10 cm，则，则AC 的长为的长为 ；（2）若）若A=100，则：，则：D 的度数为的度数为 ；10 cm 100AB C D E F如图，如图，OCA OBD，点，点C 和点和点B，点，点A与点与点D是对应点，则下列结论错误的是（是对应点，则下列结论错误的是（）（A）COA=BOD；（B）A=D；（C）CA=BD；（D）OB=OA D课堂练习课堂练习CBOADA=AAB=AB已知已知ABC AB C，找出其中相等，找出其中相等的边与角：的边与角：满足满足这六个条件可以保证这六个条件可以保证ABCABCABCA BC B=BBC=BCC=CAC=AC追问当满足一个条件时，
5、追问当满足一个条件时，ABC 与与ABC全等吗？全等吗？动脑思考，分类辨析动脑思考，分类辨析 思考思考如果只满足这些条件中的一部分，那如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证么能保证ABC ABC吗？吗？思考思考如果只满足这些条件中的一部分，那么如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证能保证ABC ABC吗？吗？两边两边 一边一角一边一角 两角两角两个条件两个条件 追问当满足两个条件时，追问当满足两个条件时，ABC 与与ABC全等吗？全等吗？动脑思考，分类辨析动脑思考，分类辨析 思考思考如果只满足这些条件中的一部分，那么能如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证保证ABC ABC吗？吗？三边三
6、边 三角三角 两边一角两边一角 两角一边两角一边三个条件三个条件 追问追问当满足三个条件时，当满足三个条件时，ABC 与与ABC全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？动脑思考，分类辨析动脑思考，分类辨析 画法画法:（1）画线段）画线段BC=BC；（2）分别以）分别以B、C为圆心，为圆心，BA、BC 为半径画弧，两为半径画弧，两 弧交于点弧交于点A；（3）连接线段）连接线段AB，A动手操作，验证猜想动手操作，验证猜想 先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画出一个，再画出一个ABC，使使AB=AB，BC=BC，AC=AC把画好的把画好的ABC剪下，放
7、到剪下，放到ABC 上，它们全等吗？上，它们全等吗？1如图，将如图，将AOB绕点绕点O旋转旋转180，得，得到到COD，这时，这时AOB_三角三角形这两个三角形的对应边是：形这两个三角形的对应边是：AO与与_，OB与与_，BA与与_；对应；对应角是：角是：AOB与与_，OBA与与_，BAO与与_CODCOODCODODCDCODCBDCAO2如图，如图，ADBC，AD=BC，AEBC，将，将ABE沿沿AD方向平移，方向平移，使点使点A与点与点D重合，点重合，点E平移至点平移至点F，则，则ABE_，F=_=_DCF90BDCAFE3如图，点如图，点D是是ABC内一点，内一点，BAC=90，AB=
8、AC，将，将ABD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90，点，点D旋转至点旋转至点E，则则ABD_，AD=_，BD=_ACEAECEBDCAE探索：探索：先任意画出一个先任意画出一个ABC，再画，再画出一个出一个A1B1C1，使，使A1B1=AB，A1C1=AC，A1=A（即有两（即有两边和它们的夹角对应相等）把边和它们的夹角对应相等）把画好的画好的A1B1C1剪下，放到剪下，放到ABC上，它们全等吗？上，它们全等吗？做一做：做一做：画一个三角形，使它的一个画一个三角形，使它的一个内角为内角为60度，夹这个角的一条边度，夹这个角的一条边为为6厘米，另一条边长为厘米，另一条边长为5厘米厘米ABCAM
9、NCB总结：总结：（简记为（简记为S.A.S.或边角边或边角边）ABCA1B1C1如果两个三角形的两边及夹角分别如果两个三角形的两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全对应相等，那么这两个三角形全等等AB =A1 B1 A=A1 AC =A1 C1 ABC A1 B1 C1（S.A.S.）在在ABC和和A1B1C1中中ABCA1B1C18930o8530o8830o8930o8830o8585530o8比眼力：找全等比眼力：找全等如图，有一池塘，为测量池塘两端如图，有一池塘，为测量池塘两端A、B的距的距离，设计了如下方案：如图，先在平地上取离，设计了如下方案：如图，先在平地上取一个可直接到达
10、一个可直接到达A、B的点的点C，再连结，再连结AC、BC并分别延长并分别延长AC至至D、BC至至E，使，使CD=CA，CE=CB，最后测得，最后测得DE的距离即为的距离即为AB的的长你知道其中的道理吗？长你知道其中的道理吗？CAEDB我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等由个三角形全等由“两边及其中一边的对角两边及其中一边的对角对应相等对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？为什么？探究：探究：做一做：做一做：画一个三角形，使它的一个内画一个三角形，使它的一个内角为角为60度，这个角的对边为度，这个角的对边
11、为 6厘米，厘米，另一条边长为另一条边长为5 厘米厘米 画一个三角形，使它的一个内角画一个三角形，使它的一个内角为为45度，这个角的对边为度，这个角的对边为 3厘米，另厘米，另一条边长为一条边长为4厘米厘米两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形全等吗？全等吗？思考：思考：如图，在如图，在ABC 和和ABD 中，中，AB=AB，AC=AD，B=B，但但ABC 和和ABD 不全等不全等A B C D 由由“两边及其中一边的对角对两边及其中一边的对角对应相等应相等”的条件不能判定两个的条件不能判定两个三角形全等三角形全等总结：总结：问题：问题：有一块三角形的
12、玻璃打碎成如图有一块三角形的玻璃打碎成如图的两块，如果要到玻璃店去照样的两块，如果要到玻璃店去照样配一块，带哪一块去？配一块，带哪一块去？已知：如图，要得到已知：如图，要得到ABC ABD，已经隐，已经隐含有条件是含有条件是_根据所给的判定方法，在根据所给的判定方法，在下列横线上写出还需要的两个条件下列横线上写出还需要的两个条件（1）(SAS)(2)(SAS)ABCDAB=ABAC=ADCAB=DABBC=BDCBA=DBA如果两个三角形有两个角、一条边分别如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？对应相等，那么这两个三角形能全等吗？全等全等全等全等 如图，已知两个
13、角和一条线段，以这两个如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形一个三角形把你画的三角形与其他同学画的三角形进把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？行比较，所有的三角形都全等吗？换两个角和一条线段，试试看，是否有同换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论样的结论都全等都全等4、在、在ABC 与与ABC中，中，若若AB=AB，A=A，B=B，那么，那么ABC 与与ABC全等吗？全等吗？CBACBAA.S.A全等全等如果如果两个两个三角形有三角形有两个两个角及其角及其夹边夹边分分别对
14、应别对应相等，那相等，那么么这两个这两个三角形全等三角形全等简记为简记为A.S.A.A.S.A.（或角（或角边边角）角）在在ABC和和DEF中，中，ABC DEF用符号语言表达为：用符号语言表达为：DEFABCBEBCEFCF 如图，要证明如图，要证明ACE BDF，根据给定的条件，根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上（1）ACBD，CE=DF，(SAS)（2）AC=BD，ACBD，(ASA)（3）CE=DF，(ASA)（4）C=D，(ASA)C BAEFDAEC=BFDAC=BDA=BC=DAC=BDA=B已知已知ABCDCB，ACB
15、 DBC，求证求证：ABC DCB ABCDCBBCCBACBDBC证明：证明：在在ABC和和DCB中，中，ABC DCB（）A.S.A.如图如图:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？已知：已知：AA，BB，ACAC求证：求证：ABC ABC证明证明AA，BB又又ABC180（三角形的内角和等于（三角形的内角和等于180）同理同理ABC180CC在在ABC和和ABC中中AAACACCCABC ABC（A.S.A.）定理：定理：如果如果两个两个三三角角形有形有两个两
16、个角和其中一角和其中一个个角角的的对边对边分分别对应别对应相等，那相等，那么这两个么这两个三三角角形形全等全等简记为简记为A.A.S.A.A.S.（或（或角角角角边边）DEFABC如图，已知如图，已知AB=AC，ADB=AEC，求证：，求证：ABD ACEABCDE证明：证明：AB=AC，B=C（等边对等角）（等边对等角）ADB=AEC，AB=AC，ABD ACE（AAS）1如图，如图，1=2，C=D求证：求证：AC=ADABCD12在在ABC和和ABD中中证：已知证：已知1=2，C=D，1=2，(已知已知)AB=AB，(公共边公共边)ABC ABD(AAS)AC=AD(全等三角形的对应边全等
17、三角形的对应边相等相等)C=D，(已知已知)ABCDEF2如图，如图，ABCD，AECF，BF=DE试找试找 出图中其他的相等关系，并给出证明出图中其他的相等关系，并给出证明解：解：ABCD，AECF，B=D，AEB=CFD在在ABE和和CDF中中B=D，AEB=CFD，BE=DF，ABE CDF(ASA)BF=DE，BE=DFA=C，AB=CD，AE=CF请说出目前判定三角形全等的请说出目前判定三角形全等的3种方法：种方法：SAS，ASA，AAS 思考：如果两个三角形有思考：如果两个三角形有三个角三个角分别分别对应相等，那么这两个三角形一定全对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？等吗？如果将
18、上面的如果将上面的三个角三个角换成换成三条边三条边，结，结果又如何呢？果又如何呢？ABCABC不一定，如下面的两不一定，如下面的两个三角形就不全等个三角形就不全等 做一做：如图，已知三条线段，以这做一做：如图，已知三条线段，以这三条线段为边，画一个三角形三条线段为边，画一个三角形完成作图后，请把你画的三角形剪下，并完成作图后，请把你画的三角形剪下，并与周围同学的三角形作比较，你有什么发与周围同学的三角形作比较，你有什么发现？现？发现：发现：给定三条线段，如果它们能组成三给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的角形，那么所画的三角形都是全等的边边边公理边边边公理:三边三边
19、对应对应 相等的两个三角形相等的两个三角形全等全等(SSS)ABCDEF如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，ABCD求证求证:ABC CDA 证明：在证明：在ABC和和CDA中，中，CBAD（已知）（已知）ABCD（已知）（已知）ACCA（公共边）（公共边）ABC CDA（S.S.S.）1、已知、已知:如图，如图，AB=DC，AD=BC求证求证:A=CABDC提示：连结提示：连结BC后，证后，证ABD CDB，再根据全，再根据全等三角形对应角相等推出等三角形对应角相等推出A=C对应相对应相等的元等的元素素两边一角两边一角两角一边两角一边 三角三角三边三边两边两边及其及其夹角夹
20、角两边及两边及其中一其中一边的对边的对角角两角两角及其及其夹边夹边 两角及两角及其中一其中一角的对角的对边边 三角形三角形是否全是否全等等 一定一定(S.A.S)不一定不一定一定一定(A.S.A)一定一定(A.A.S)不一定不一定一定一定(S.S.S)判定三角形全等至少有一组边判定三角形全等至少有一组边根据条件分别判定下面的三角形是否全等根据条件分别判定下面的三角形是否全等（1）线段线段AD与与BC相交于点相交于点O，AODO，BOCO ABO与与BCO；（2）ACAD，BCBD ABC与与ABD；（3）AC，BD ABO与与CDO；（4）线段线段AD与与BC相交于点相交于点E，AEBE，CE
21、DE，ACBD ABC与与BAD？全等（全等（SAS）全等（全等（SSS）不能判定全等不能判定全等全等（全等（SSS）已知：如图，已知：如图，AB=DC，AC=DB求证：求证：A=DABDC提示：提示：BC为公共边，由为公共边，由SSS可得两三角形全等，可得两三角形全等，全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等请说出目前判定三角形全请说出目前判定三角形全等的等的4种方法：种方法：SAS，ASA，AAS，SSS问题任意画一个问题任意画一个RtABC，使，使C=90，再画，再画一个一个RtABC使使C=90，BC=BC，AB=AB，然后把画好的，然后把画好的RtABC剪下来放到剪下来放到RtABC
22、上，你发现了什么？上，你发现了什么？ABCABC现象：现象：两个直角三角形能重合两个直角三角形能重合说明：说明：这两个直角三角形全等这两个直角三角形全等A NMCB参照教材中的画法画完后，参照教材中的画法画完后，发现：发现：斜边和一条直角边分别相等的两个斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为直角三角形全等（简写为“斜边、直角斜边、直角边边”或或“HL”）证明：证明：ACBC，BDAD，C 和和D 都是直角都是直角在在RtABC 和和 RtBAD 中，中，AB=BA，AC=BD，RtABC RtBAD（HL）BC=AD如图，如图，ACBC，BDAD，AC=BD求证：求证：BC=AD
23、ABCD证：证：D为为BC的中点的中点BD=CD又又DEAB，DFACBED=CFD=90在在RtBED和和RtCFD中中ABCDEFBD=CD(已求已求)DE=DF(已知已知)RtBEDRtCFD(HL)1如图，在如图，在ABC中，中，D为为BC的中点，的中点，DE AB，DFAC，点，点E、F为垂足，为垂足，DE=DF，求，求 证：证：BEDCFD2如图，如图，AC=AD，C=D=90，求证：，求证：BC=BDABCD证：证：AB为为ABC和和ABD的公共边，的公共边，AB=AB在在RtABC和和RtABD中中AB=ABAC=ADRtABC RtABD(HL)BC=BD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)（1）同学们自己归纳三角形全等的判定方法）同学们自己归纳三角形全等的判定方法（2）掌握三角形全等的判定方法，并且能灵活应用）掌握三角形全等的判定方法，并且能灵活应用 适当的判定定理进行证明、计算适当的判定定理进行证明、计算
